人教版導(dǎo)與練總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)一輪課時作業(yè)：第六章第1節(jié)　平面向量的概念及線性運(yùn)算

1、第1節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算知識點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練平面向量的概念1平面向量的線性運(yùn)算2,3,4,5,8向量共線7,911,13綜合問題610,12,1415,161.設(shè)a是非零向量,是非零實(shí)數(shù),則下列結(jié)論正確的是(B)A.a與a的方向相反B.a與2a的方向相同C.|-a|a|D.|-a|a解析:對于A,當(dāng)0時,a與a的方向相同,當(dāng)0,則ABC為銳角三角形解析:由向量的運(yùn)算法則知AB-AC=CB,AB+BC+CA=0,故A錯,B對;因?yàn)?AB+AC)(AB-AC)=AB2-AC2=0,所以AB2=AC2,即|AB|=|AC|,所以ABC為等腰三角形,故C對;因?yàn)锳CAB0,

2、所以角A為銳角,但三角形不一定是銳角三角形,故D錯.故選BC.7.已知向量e1,e2是兩個不共線的向量,若a=2e1-e2與b=e1+e2共線,則=.解析:法一因?yàn)閍與b共線,所以a=xb,所以x=2,x=-1,故=-12.法二由已知-1=12,所以=-12.答案:-128.如圖所示,已知B=30,AOB=90,點(diǎn)C在AB上,OCAB,若用OA和OB來表示向量OC,則OC=.解析:由題意易知OC=OA+AC=OA+14AB=OA+14(OB-OA)=34OA+14OB.答案:34OA+14OB9.已知a,b不共線,OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,設(shè)tR,如果3a=c,2b=d

3、,e=t(a+b),是否存在實(shí)數(shù)t使C,D,E三點(diǎn)在一條直線上?若存在,求出實(shí)數(shù)t的值;若不存在,請說明理由.解:由題設(shè)知,CD=d-c=2b-3a,CE=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k,使得CE=kCD,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.因?yàn)閍,b不共線,所以有t-3+3k=0,t-2k=0,解得t=65.故存在實(shí)數(shù)t=65使C,D,E三點(diǎn)在一條直線上.10.(多選題)設(shè)點(diǎn)M是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),則下列說法正確的是(ACD)A.若AM=12AB+12AC,則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)B.若AM=2AB-A

4、C,則點(diǎn)M在邊BC的延長線上C.若AM=-BM-CM,則點(diǎn)M是ABC的重心D.若AM=xAB+yAC,且x+y=12,則MBC的面積是ABC的面積的12解析:若AM=12AB+12AC,則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn),故A正確;若AM=2AB-AC,即AM-AB=AB-AC,即BM=CB,則點(diǎn)M在邊CB的延長線上,故B錯誤;若AM=-BM-CM,即AM+BM+CM=0,則點(diǎn)M是ABC的重心,故C正確;如圖,AM=xAB+yAC,且x+y=12,可得2AM=2xAB+2yAC,設(shè)AN=2AM,則M為AN的中點(diǎn),則MBC的面積是ABC的面積的12,故D正確.故選ACD.11.(多選題)設(shè)a,b是不共線的兩個

5、平面向量,已知PQ=a+sin b,其中(0,2),QR=2a-b.若P,Q,R三點(diǎn)共線,則角的值可以為(CD)A.6 B.56 C.76 D.116解析:由題意1(-1)-2sin =0,sin =-12.又(0,2),故的值可為76或116.故選CD.12.在直角梯形ABCD中,A=90,B=30,AB=23,BC=2,點(diǎn)E在線段CD上,若AE=AD+AB,則的取值范圍是.解析:由已知可得AD=1,CD=3,所以AB=2DC.因?yàn)辄c(diǎn)E在線段CD上,所以DE=DC (01).因?yàn)锳E=AD+DE,又AE=AD+AB=AD+2DC =AD+2DE,所以2=1,即=2.因?yàn)?1,所以012.答案

6、:0,1213.如圖,在ABC中,D為BC的四等分點(diǎn),且靠近B點(diǎn),E,F分別為AC,AD的三等分點(diǎn),且分別靠近A,D兩點(diǎn),設(shè)AB=a,AC=b.(1)試用a,b表示BC,AD,BE;(2)證明:B,E,F三點(diǎn)共線.(1)解:在ABC中,因?yàn)锳B=a,AC=b,所以BC=AC-AB=b-a,AD=AB+BD=AB+14BC=a+14(b-a)=34a+14b,BE=BA+AE=-AB+13AC=-a+13b.(2)證明:因?yàn)锽E=-a+13b,BF=BA+AF=-AB+23AD=-a+23(34a+14b)=-12a+16b=12(-a+13b),所以BF=12BE,BF與BE共線,且有公共點(diǎn)B

7、,所以B,E,F三點(diǎn)共線.14.經(jīng)過OAB的重心G的直線與OA,OB分別交于點(diǎn)P,Q,設(shè)OP=mOA,OQ=nOB,m,nR.(1)證明:1m+1n為定值;(2)求m+n的最小值.(1)證明:設(shè)OA=a,OB=b.由題意知OG=2312(OA+OB)=13(a+b),PQ=OQ-OP=nb-ma,PG=OG-OP=(13-m)a+13b,由P,G,Q三點(diǎn)共線得,存在實(shí)數(shù),使得PQ=PG,即nb-ma=(13-m) a+13b,從而-m=(13-m),n=13,消去得1m+1n=3.(2)解:由(1)知,1m+1n=3,于是m+n=13(1m+1n)(m+n)=13(2+nm+mn)13(2+2

8、)=43.當(dāng)且僅當(dāng)m=n=23時,m+n取得最小值,最小值為43.15.已知A1,A2,A3為平面上三個不共線的定點(diǎn),平面上點(diǎn)M滿足A1M=(A1A2+A1A3)(是實(shí)數(shù)),且MA1+MA2+MA3是單位向量,則這樣的點(diǎn)M有(C)A.0個 B.1個 C.2個 D.無數(shù)個解析:法一由題意得,MA1=-(A1A2+A1A3),MA2=MA1+A1A2,MA3=MA1+A1A3,所以MA1+MA2+MA3=(1-3)(A1A2+A1A3),如圖所示,設(shè)D為A2A3的中點(diǎn),所以(1-3)(A1A2+A1A3)是與A1D共起點(diǎn)且共線的一個向量,顯然直線A1D與以A1為圓心的單位圓有兩個交點(diǎn),故有兩個值,

9、即符合題意的點(diǎn)M有兩個.故選C.法二以A1為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系(圖略),設(shè)A2(a,b),A3(m,n),則A1A2+A1A3=(a+m,b+n),所以M(a+m),(b+n),所以MA1=(-(a+m),-(b+n),MA2=(a-(a+m),b-(b+n),MA3=(m-(a+m),n-(b+n),所以MA1+MA2+MA3=(1-3)(a+m),(1-3)(b+n).因?yàn)镸A1+MA2+MA3是單位向量,所以(1-3)2(a+m)2+(b+n)2=1,因?yàn)锳1,A2,A3是平面上三個不共線的定點(diǎn),所以(a+m)2+(b+n)20,所以關(guān)于的方程有兩解,故滿足條件的M有兩個.故選C.16.(2021浙江杭州高三模擬)正2 021邊形A1A2A2 021內(nèi)接于單位圓O,任取它的兩個不同的頂點(diǎn)Ai,Aj,構(gòu)成一個有序點(diǎn)對(Ai,Aj),滿足|OAi+OAj|1的點(diǎn)對(Ai,Aj)的個數(shù)是(C)A.2 021673 B.2 021674C.2 0211 346 D.2 0211 348解