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1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載解三角形常見題型歸納正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形類型的重要工具，其主要作用是將已知 條件中的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系。題型之一：求解斜三角形中的基本元素進而求出三角形的三線指已知兩邊一角（或二角一邊或三邊），求其它三個元素問題, 線、角平分線、中線）及周長等基本問題.1.在 AABC 中，AB=3 , AC=2 ,BC= V10 ,則 AB AC =(【答案】D2. (1)在 MBC 中，已知 A =32.00 , B=81.8,a =42.9 cm,解三角形;（2）在AABC中，已知a20cm, b=28cm, AH00 ,解三角形（角度精確到1,邊長

2、精確到1cm）。3. (1)在 ABC中，已知 a =26，c=46 +應(yīng),B=600,求 b及 A;(2)在 ZkABC中，已知 a=134.6cm, b=87.8cm, c=161.7cm,解三角形冗4（2005年全國高考江蘇卷）AABC中，A =, 3BC = 3,則AABC的周長為（）r ( nr (A . 4j3sin . B 十 一 1十3 b, 4V3sin BI 3 JC. 6sin 1 B + + 3 D. 6sinb +- | + 3 3.6分析：由正弦定理，求出 b及c,或整體求出b+c,則周長為3+b + c而得到結(jié)果.選（D）.4.6-5 （ 2005年全國局考湖北卷

3、）在A ABC中，已知 AB =, cosB =36,AC邊上的中6線BD=v5 ,求sinA的值.分析：本題關(guān)鍵是利用余弦定理，求出AC 及 BC,再由正弦定理,即得sinA.解：設(shè)E為BC的中點，連接DE,貝U DE/AB,且在A BDE中利用余弦定理可得:BD2 = BE 2ED2 -2BE EDcosBEDx = -7 （舍去），3 TOC o 1-5 h z 2 82. 6. 6,5 =x2 + +2父父 x,解得x=1 ,336一一，一。o o282 21 一. 30故 BC=2 ,從而 AC2 =A +BC2 -2ABBGco$B=,即 AC =,又 sin B =，336學(xué)習(xí)必

4、備歡迎下載故2- sin A2、21sin A = .30.7014在 ABC 中，已知 a = 2, b= 2A,且 0A180, /. A = 300題型之二：判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀. (2005年北京春季高考題)在AABC中，已知2sinAcosB = sinC ,那么AABC一定是 ()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形解法 1：由 2sin AcosB =sinC = sin(A+ B) = sinAcosB+ cosAsinB,即 sinAcosB cosAsinB=0,得 sin(A B)=0,得人=8.故選(B)

5、.sin C ccosB=2ac解法2：由題息，得 cosB=，再由余弦定理，得222a c -b2ac2sin A 2a,即 a2 = b2,得 a= b,故選(B).2a評注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：統(tǒng)一化為角，再判斷(如解法1),統(tǒng)化為邊，再判斷(如解法2).在 ABC 中，若 2cosBsinA= sinC ,則 ABC 的形狀一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形答案：C解析：2sinAcosB= sin (A+ B) + sin (AB)又 2sinAcosB= sinC,.sin (A B) =0, .1. A= B3.在ABC中，若2

6、 ab2ta，試判斷 ABC的形狀。 tan B答案：故4 ABC為等腰三角形或直角三角形。4.在 ABC 中，acosA =bcosP ,判斷 ABC 的形狀。答案： ABC為等腰三角形或直角三角形。題型之三：解決與面積有關(guān)問題主要是利用正、余弦定理，并結(jié)合三角形的面積公式來解題.(2005年全國高考上海卷)在AABC中，若/A=120 , AB = 5, BC=7,則MBC的面積S=.在 AABC 中，sin A+cosA = , AC = 2 , AB = 3,求 tanA 的值和 AABC 的面學(xué)習(xí)必備歡迎下載積。答案：S .ABC=1AC ABsinA=12 326 =-(., 2.

7、6)2244. （07 浙江理 18）已知 zXABC 的周長為 J2 + 1 ,且 sinA+sin B = J2sinC .（I）求邊AB的長；1（II）右 ABC的面積為一sinC,求角C的度數(shù).6解：（I）由題意及正弦定理，得 AB+BC+AC = J2 + 1 , BC+AC=J2AB,兩式相減，得AB =1 .1,1sinC ,得 BCUAC =, 631(II)由 ABC 的面積一BCUACJsinC =2由余弦定理，得cosC =AC2 BC2 - AB22ACLBC(AC BC)2 -2ACBC - AB22ACLBC_ 2所以C =60”題型之四：三角形中求值問題.（200

8、5年全國高考天津卷）在AABC中，/A、NB、2C所對的邊長分別為 a、b、c, 設(shè)a、b、c滿足條件b2+c2bc =a2和 =1 + J3 ,求/ A和tan B的值.b 2分析：本題給出一些條件式的求值問題，關(guān)鍵還是運用正、余弦定理.A =60 TOC o 1-5 h z b c - a1解：由余弦定理cosA =一,因此,2bc2在 ABC 中，Z C=180-Z A-Z B=120-Z B.由已知條件，應(yīng)用正弦定理13 _ c _ sinC _ sin(120 - B)2 b sin B sin B1 斛得 cot B = 2,從而 tan B =.2sin 120 cosB -co

9、s120 sin B .31二cot B 一sin B22B C 一 . AABC的三個內(nèi)角為 A、B、C ,求當(dāng)A為何值時，cosA +2cos 取得最大值, 并求出這個最大值。解析：由 A+B+C=兀,得旦+或=/ A,所以有 cosB+C =sinA。B+CA2A A AcosA+2cos 2 =cosA+2sin 2 =12sin2 + 2sin 2 = - 2(sin2當(dāng)sinA = 1，即A= -3時,cosA+2cosB+C取得最大值為|學(xué)習(xí)必備歡迎下載3.在銳角 ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b,c,已知 sinA = 2,3(1)求,2 B C . 2 A t

10、an +sin 的值;22(2)若 a = 2, Saabc =J2,求 b 的值。解析：（1）因為銳角2.21ABC 中，A + B+ C= n, sin A =,所以 cosA = 一 ,33si山2 B + C . 2 A2tan + sin =4 222 B Ccos+ sin2 A21-cos(B + C) 1% 八、=十 (1 cosA)1 + cos (B+C)21 + cosA 17=+ 一 =一1 cosA 3 3(2)因為S|_ABC =2,又立ABC =1 . .1 ,2,2一 bcsin A = - bc *,貝U bc= 3。132 22將 a=2, cosA= 一

11、, c=代入余弦te理： a = b + c 2bccos A 中， 3b得 b4 6b2 + 9 = 0 解得 b= J3。點評：知道三角形邊外的元素如中線長、面積、周長等時，靈活逆用公式求得結(jié)果即可。4.在4ABC中，內(nèi)角A, B, C對邊的邊長分別是a, b, c,已知c = 2, C=1 .（i）若 ABC的面積等于 B 求a, b ;(n)若 sinC +sin(B -A) =2sin 2A,求 ABC的面積.三角函數(shù)公式等基礎(chǔ)知識，考查綜合應(yīng)用三角函數(shù)有關(guān)本小題主要考查三角形的邊角關(guān)系, 知識的能力.滿分12分.解：（I）由余弦定理及已知條件得,a2 +b2 -ab =4 , TO

12、C o 1-5 h z 又因為 ABC的面積等于 后,所以ab sin C = J3，得ab = 4 .4分2一 、一. a2 b2 - ab = 4聯(lián)立方程組 r a ，解得a =2, b=2.6分ab =4(n)由題意得 sin( B + A)+sin(BA) =4sin AcosA ,即 sinBcosA =2sin AcosA , 8分當(dāng) cosA =0時,4 3,2 3A = 一， B =, a =, b =,2633學(xué)習(xí)必備歡迎下載當(dāng)cosA#0時，得sinB=2sin A,由正弦定理得b = 2a,聯(lián)立方程組- 2. 2a bb =2a,-ab =4,解得a12分AC ABsin

13、- CBA -sin ACBAC=AB=120m ,圖1所以AABC的面積S absin C =-題型之五：正余弦定理解三角形的實際應(yīng)用利用正余弦定理解斜三角形，在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識，例析如下：（一.）測量問題1.如圖1所示，為了測河的寬度，在一岸邊 選定A、B兩點，望對岸標(biāo)記物 C,測得 Z CAB=30 , / CBA=75 , AB=120cm ,求河 的寬度。分析：求河的寬度，就是求 ABC在AB邊上的高，而在河的一邊，已測出 AB長、/CAB、/ CBA ,這個三角形可確定。解析：由正弦定理得 TOC o 1-5 h z 11 一

14、又, S ABC AB AC sin / CAB = AB CD ,斛得 CD=60m。二 22不過河求河寬問題點評：雖然此題計算簡單，但是意義重大，屬于 （二.）遇險問題2某艦艇測得燈塔在它的東 15北的方向，此艦艇以 30海里/小時的速度向正東前進，30分鐘后又測得燈塔在它的東30。北。若此燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，問此艦艇繼續(xù)向東航行有無觸礁的危險？解析：如圖艦艇在 A點處觀測到燈塔 S 在東150北的方向上；艦艇航行半小時后到 達B點，測得S在東30北的方向上。在 ABC 中，可知 AB=30 0.5=15, ZABS=150 , Z ASB=15 ,由正弦定理得 BS=AB=15 ,

15、過點S作SC,直線 AB ,垂足 為 C,貝U SC=15sin30 =7.5。這表明航線離燈塔的距離為7.5海里，而燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，故繼續(xù)航行有觸礁的危險。點評：有關(guān)斜三角形的實際問題，其解題的一般步驟是: 與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語；（2）畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；（3）分析與所研究問題有關(guān)的一個或幾個三角形，通過合理運用正弦定理和余弦定理求解。（三.）追擊問題（1）準(zhǔn)確理解題意，分清已知圖3C如圖3,甲船在A處，乙船在A處的南偏東45學(xué)習(xí)必備歡迎下載方向，距 A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西150方向航行，若甲船以 28n m

16、ile/h的速度航行，應(yīng)沿什么方向，用多少h能盡快追上乙船？解析：設(shè)用t h,甲船能追上乙船，且在 C處相遇。在 ABC 中,AC=28t , BC=20t , AB=9 ,設(shè)/ ABC形,/ BAC鄧。.”=180 45 15 =120。根據(jù)余弦定理 AC2 = AB2 + BC2 -2AB BC cosct ,21、,2(28t ) =81+(20t ) 2M9M20tM(萬)，128t 60t 27 =0 , (4t3) (32t+9) =0,解得 t=3, t=2 (舍) 4323 . AC=28 =21 n mile ,43BC=20X-=15 n mile 。4根據(jù)正弦定理，得sin = BC蜘：AC15 322114& =120,3為銳角,于是,BC=10 。.sin ACB20?C3 =arcsir濁，又型述女，arcsinl二 1414142144.二甲船沿南偏東arcsin邑叵的方向用 h可以追上乙船。4144點評：航海問題常涉及到解三角形的知識，本題中的/ABC、AB邊已知，另兩邊未知，但他們都是航行的距離，由于兩船的航行速度已知，所以，這兩邊均與時間t有關(guān)。這