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1、高 等 數(shù) 學(xué) (上)第四章 不定積分 高等數(shù)學(xué)（上）BTS總體方案設(shè)計(jì)報(bào)告第一節(jié) 原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念 定義 1 如果在區(qū)間I 內(nèi)，可導(dǎo)函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)為 ，即對(duì) ，都有 或則就稱 為 在區(qū)間 I 上的原函數(shù).例如 ，故 問(wèn)題1：原函數(shù)的存在性問(wèn)題:原函數(shù)函數(shù)求導(dǎo)是否存在定理1(原函數(shù)存在定理) 定義在區(qū)間 I 上的連續(xù)函數(shù) 在 I 上一定有原函數(shù).即：連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù).問(wèn)題2：原函數(shù)的惟一性問(wèn)題:定理2 如果函數(shù) 在區(qū)間I上的原函數(shù)存在,則它的任意兩個(gè)不同的原函數(shù)只相差一個(gè)常數(shù).若 為 的原函數(shù)，則 的所有原函數(shù)的集合為：證 若 和 都是 的原函數(shù),（ 為任意常

2、數(shù)） 定義2 若 為 在區(qū)間 I 上的原函數(shù)， 則稱 （ 為任意常數(shù)）為 在 I 上的不定積分，記為積分號(hào)被積函數(shù)被積表達(dá)式 稱為積分變量例1 求 .解例2 求 .解例3 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為 ，根據(jù)題意知由曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2），故有 .因而，所求曲線方程為所以注（）的幾何意義：考慮曲線（），使得 則（）這是一簇由一條積分曲線沿縱軸上下平移得到的在橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處的切線是平行的(2) 由不定積分的定義，可知結(jié)論 微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.例如(1)(2)(3)二、 基本積分表(5)(12)(13)例4 求積分 .解三、 不定積分的性質(zhì)證等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）注:(1)求積分是利用積分表和積分性質(zhì)來(lái)試,要變形,技巧大.設(shè)法變形為積分表中函數(shù)的線性組合形式,以求出積分的方法稱為直接積分法.(2)不是所有函數(shù)都肯定能積

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