微波技術(shù)：第3章 波導(dǎo)理論3

1、矩形波導(dǎo)中TE與TM模式的場解分布函數(shù)縱向分量波動方程分離變量關(guān)于x的常微分方程關(guān)于y的常微分方程縱橫關(guān)系邊界條件分布函數(shù)縱向通解總解縱向場法矩形波導(dǎo)的主要特征：“高通低不通”； 色散；多模；主模TE10 ( H10 )；簡并第三節(jié) 矩形波導(dǎo)中電磁波的通解取坐標(biāo)系如圖(采用直角坐標(biāo)系）:設(shè) (a) 縱向無限長 (b)均勻 (c)波導(dǎo)內(nèi)無介質(zhì)（空氣） (d)波導(dǎo)內(nèi)壁為理想導(dǎo)體 求波導(dǎo)內(nèi)的導(dǎo)行波解 波導(dǎo)內(nèi)只能傳輸TE波和TM波，不能傳輸TEM波。 一、矩形波導(dǎo)中TE波的場方程 TE波（H波）：Ez=0，Hz 0 。 yxzab代入（3-54），得對Hz分離變量，令 為常量，等式左邊為兩個互不相關(guān)的

2、獨立變量之和，故而必須分別為常數(shù)。令為二階常微分方程，其通解為：代入(3-55)得: H0=AB、k1、k2、j1、j2 均為待定常數(shù), 由邊界條件求出。TE波的縱橫關(guān)系根據(jù)邊界條件確定常數(shù)H0=AB、k1、k2、j1、j2 ： 由于波導(dǎo)內(nèi)壁為理想導(dǎo)體 ，其邊界條件（空氣與理想導(dǎo)體邊界）是所有內(nèi)壁上的電場切向分量均為零。yxzab代入（3-58）得m、n 不得同時為零。 H0由端接條件確定，因(3-61)各場分量均含有H0 ，故H0的大小并不影響場的分布形狀?？傻肨E波的全部時諧場分量（加縱向通解）：m , n 可取任意正整數(shù)和零，但不可同時為零；每取一組m , n 值，對應(yīng)一種能在均勻矩形波

3、導(dǎo)中獨立存在特定的場分布，或場結(jié)構(gòu)，稱其為一種模式； m , n 取不同組合值，對應(yīng)于不同的場分布，或不同的模式，記為m , n 稱為模序數(shù),乘上時間因子 e jw t 得(3-65) 后取實部，即得各分量的瞬時值。因此，不同模式具有不同的截止波長對Ez( x , y )分離變量，得其解 二、矩形波導(dǎo)中TM波的場方程 TM波（E波）： Hz = 0 ， Ez 0 。 Ez( x , y )為各內(nèi)壁切向方向，邊界條件是所有四壁上Ez為零，代入yxzab根據(jù)邊界條件確定常數(shù)k1、k2、j1、j2 ：代入(3-67)得E0的大小由激勵源定。 由TM波的縱橫關(guān)系可得矩形波導(dǎo)TM 波的分布函數(shù)橫向分量的

4、表達式(3-70)。 2) 橫磁波(TM波)，又稱電波(E波) 其特征為： Hz = 0 而 Ez 0 ，代入式(3-33)得：TM波的縱橫關(guān)系由此可得TM波全部時諧場分量表達式： (3-71)中，m , n 取不同正整數(shù)(二者均不得為零)時對應(yīng)著不同的TM模式，記為矩形波導(dǎo)中的模式： 1）由TE、TM（波）場分布表達式可知，在無介質(zhì)、理想導(dǎo)體均勻矩形波導(dǎo)中可以存在（可以支撐）除 、 外無窮多種 模式 ，每一種模式對應(yīng)一種特定的場結(jié)構(gòu)。每一種模式都有各自的截止波長（截止頻率） 對于給定（尺寸）的矩形波導(dǎo) ，某種頻率的波源是否能夠在其中激發(fā)出某種模式，需要將這種模式在該波導(dǎo)中的截止波長（或截止頻

5、率）與波源（或被導(dǎo)波）的工作波長（頻率）比較，如果該模式的截止波長大于工作波長（頻率高于截止頻率），則在該波導(dǎo)中可以激發(fā)這一模式（該波導(dǎo)支持電磁能量以該模式傳播）。 （2）在給定的矩形波導(dǎo)中，可支持的模式（電磁場）以行波形式沿縱向 (z) 傳播, z=c 的平面為等相位面，因此為平面波，但等相位面上各點處的振幅不同，因此為非均勻平面波。而在截面上，呈駐波分布，沿波導(dǎo)寬邊有m個半波長，沿波導(dǎo)窄邊有n個半波長。 三、矩形波導(dǎo)中的電磁波型的傳輸特性 1. “高通低不通” 矩形波導(dǎo)中不能傳輸TEM波，可以傳輸TE、TM波。每一種模式存在著各自的截止波長 lc 和截止頻率 fc ?！案咄ā?： 頻率大于

6、 fc 的TE、TM波才能在矩形波導(dǎo)中傳輸，即l fc ) 則導(dǎo)通。 相位常數(shù)： 相速：滿足傳輸條件的矩形波導(dǎo)內(nèi)導(dǎo)行波的傳輸參量：g = j b 波阻抗(真空中)： 相波長(導(dǎo)波波長)： 群速： “低不通” ： l lc ( f fc ) 則截止，矩形波導(dǎo)中只有軸向衰減場,而無波的傳播，此時, g = a ； 場的衰減常數(shù)： 2. 色散 TEmn、TMmn都是色散波, 其群速、相速都隨頻率而變 色散?？觳?3. 多模 在l ( l c)mn ， 即導(dǎo)通條件下, 在矩形波導(dǎo)中能存在無窮多個TEmn ( m、n 不得同時為零)、TMmn ( m、n 都不得為零)模式, 它們都能單獨滿足矩形波導(dǎo)的邊

7、界條件。 4. 矩形波導(dǎo)中的主模(基模) TE10 ( H10 )可見，a、b確定時，模序數(shù) m、n 越小，則( l c)mn 越大。 M=1,n=0: M=0,n=1 M=2,n=0: 1) 矩形波導(dǎo) l c 分布圖及其應(yīng)用 為便于判定對給定的工作波長的電磁波在波導(dǎo)內(nèi)能以什么模式傳播，可由給定的 a、b 計算出( l c)mn ，并畫出其分布圖。 圖中給出了a =7.2cm, b =3.4cm 的矩形波導(dǎo)中各模式的 lc 分布圖, 以豎直線表示各模式的 lc , 工作波長 l標(biāo)在橫軸上，其左邊的模式(lc l )則可導(dǎo)通。圖中有三個區(qū): (1) 截止區(qū)：H02H20H01E11,H11E22

8、,H22E21,H21E31,H31H30H02E12,H12l cm截止區(qū)a =7.2cm, b =3.4cm 的矩形波導(dǎo)中各模式的 l c 分布示意圖全部模式都截止。此時的波導(dǎo)稱為“截止波導(dǎo)”。單模區(qū)多模區(qū)14.47.2 實用波導(dǎo)一般采用單模波導(dǎo)。 TE10 的 lc 最長， f c 最小，單模工作的工作頻帶最寬( a l l 1.05 a。此時的波導(dǎo)稱為“多模波導(dǎo)”。(2) 單模區(qū)：此時的波導(dǎo)稱為“單模波導(dǎo)”。5. 簡并 對于給定尺寸（a、b）, 對TEmn、TMmn模，只要 m、n 數(shù)值相同(m、n 0 )，則其kc、 lc 的值就相同。根據(jù)導(dǎo)通條件，如果波導(dǎo)中能傳輸某一 m、n 值的

9、TEmn ，一定能傳輸相同m、n 值的TMmn 。顯然，二者具有不同的場分布。這種具有不同的場分布而具有相同的傳輸參量的現(xiàn)象叫做“簡并”。矩形波導(dǎo)的這種簡并稱為“ E-H”簡并。矩形波導(dǎo)中所有m 0 且n 0 的TEmn、TMmn模都是“雙重簡并”模式。對TE、TM波，有思考題: 2-4, 2-7作 業(yè)：2-5，2-6 （1）矩形波導(dǎo)內(nèi)可以支撐除 、 外無窮多種 模式 ，每一種模式對應(yīng)一種特定的場結(jié)構(gòu)。每一種模式都對應(yīng)各自的截止波長對于給定（尺寸）的矩形波導(dǎo) ，某種頻率的波源是否能夠在其中激發(fā)出某種模式，需要將這種模式在該波導(dǎo)中的截止波長（或截止頻率）與波源（或被導(dǎo)波）的工作波長（頻率）比較，

10、如果該模式的截止波長大于工作波長（頻率高于截止頻率），則在該波導(dǎo)中可以激發(fā)這一模式（該波導(dǎo)支持電磁能量以該模式傳播）。 （2）根據(jù)矩形波導(dǎo)截止波長公式，對給定的矩形波導(dǎo)，m、n越小，截止波長越長（截止頻率越底），對于不同結(jié)構(gòu)尺寸的矩形波導(dǎo)，各模式截止波長的排序不盡相同，在矩形波導(dǎo)中 模的截止波長最長（截止頻率最低），稱為矩形波導(dǎo)的主模（基模）。 在實際應(yīng)用中，希望矩形波導(dǎo)工作在單模狀態(tài)，（即波導(dǎo)內(nèi)只激發(fā)有 一種模式），這就要求波源（或被導(dǎo)波）的工作波長小于 模在該波導(dǎo)中的截止波長，大于截止波長僅次于 模的模式的截止波長。（3）在給定的矩形波導(dǎo)中，可支持的模式（電磁場）以行波形式沿縱向 (z)

11、傳播, z=c 的平面為等相位面，因此為平面波，但等相位面上各點處的振幅不同，因此為非均勻平面波。而在截面上，呈駐波分布，沿波導(dǎo)寬邊有m個半波長，沿波導(dǎo)窄邊有n個半波長。(4) 對于可傳輸?shù)哪Ｊ剑杉ぐl(fā)），傳輸參數(shù)為：相位常數(shù)： 相速：g = j b 波阻抗(真空中)： 相波長(波導(dǎo)波長)： 群速： 矩形波導(dǎo)的主要特征“高通低不通”色散多模主模TE10 ( H10 )5. 簡并四、部分（局部平面）波概念 TEM波不能沿波導(dǎo)的軸向傳播，但可以向波導(dǎo)的側(cè)壁斜入射。對于在波導(dǎo)中沿軸向方向傳播的電磁波，可以看作是一些均勻平面波 (TEM波)在波導(dǎo)兩個側(cè)壁的內(nèi)表面之間來回反射疊加而成的, 這些TEM波稱

12、為部分波（元波）。部分波概念可使我們從另一個角度去理解電磁波在矩形波導(dǎo)中的一些傳播特性，比如vp c 的問題。 為簡單起見，以TE10 波為例。但分析的結(jié)論適用于所有其它模式的波。TEM波在波導(dǎo)側(cè)面的反射 1. TE10波是部分波的疊加 設(shè) TE10波沿 z 方向傳播，把m =1，n =0, kc = p / a 代入式(3-65) 的各電場分量, 得 Ex = 0 , Ez = 0 , 可見，沿 z 方向傳播的TE10波，可以看作是沿z1和z2方向傳播的兩個TEM波的疊加。則xz1z2qzoa2. 用部分波概念分析TE10波的傳輸特性 下圖中，z1、z2分別為TEM波的入、反射波的方向，紅線

13、、綠線分別代表入射波、反射波的波陣面，實線、虛線分別代表波峰、波谷的波陣面。xz1z2ABCEqzoaDF1) 截止波長 lc 截止時, q =0 , 得 lc = 2axz1z2ABCEqzoaDF波導(dǎo)中, 沿 z 軸不能傳輸TEM波若可能, 則 q = 90 ; 由3) 相波長 (波導(dǎo)波長) lg 實際不存在。xz1z2ABCEqzoaDF4) 相速 vp群速 vg 在T 時間內(nèi), 能量沿z 軸傳播的距離是BF導(dǎo)行波的場方程求解( 縱向場法 )麥?zhǔn)戏匠? 3 - 4 )波動方程( 3 - 12 )分布函數(shù)波動方程( 3 - 19 )旋度方程( 3 - 29 )傳播狀態(tài)下導(dǎo)行波的解( 3 - 31 )分布函數(shù)縱向分量波動方程( 3 - 28 )( 3 - 30 )分布函數(shù)各分量間關(guān)系( 3 - 32 )用縱向分量表示橫向分量( 3 - 33 )對 z分離變量分解為