6.4-子群及其陪集剖析課件

1、6.4 子群及其陪集6.4.1 子群的定義 6.4.2 子群的判別條件 6.4.3 循環(huán)群 6.4.4 陪集 16.4.1 子群的定義定義6.4.1 設(shè)(G，)是一個(gè)群，HG，如果(H，)仍是一個(gè)群，則(H，)叫做(G，)的子群。如果G的一個(gè)子群H不等于G，即HG，則(H，)叫做(G，)的真子群。注：G的子群H的運(yùn)算必須與G的運(yùn)算一樣。比如， (C*，)不是(C，+)的子群。 2例：(mZ，+)是整數(shù)加法群(Z，+)的一個(gè)子群，其中m為整數(shù)。(C，+)以(R，+)、(Q，+)、(Z，+)為其真子群。 (C*，)以(R*，)、(Q*，)為其真子群。行列式等于1的所有n階矩陣作成實(shí)數(shù)域上所有n階非

2、奇異矩陣的乘法群的一個(gè)真子群。n次交代群是n次對(duì)稱群的一個(gè)真子群。 3平凡子群任一群G都有兩個(gè)明顯的子群，稱為G的平凡子群；由其單位元素組成的子群1，稱為G的單位子群；G本身。其余的子群(如果有的話)稱為非平凡子群。 46.4.2 子群的判別條件判別條件一定理6.4.1 群G的一個(gè)子集H是G的一個(gè)子群的充分必要條件是：1) 若aH，bH，則abH；2)若aH，則a-1H；3) H非空。 5判別條件一證明：必要性 若H是G的子群，則(1)、(3)顯然?，F(xiàn)要證(2)。(錯(cuò)誤證法：由H是G的子群知，H是群，故對(duì)aH，有bH，使得ab=1，所以b是a的逆，由a的逆的唯一性，知a-1=b，而bH ，故

3、a-1H。)6判別條件一先證H中的單位元就是G中的單位元。設(shè)1G是G中的單位元， 1H是H中的單位元。任取aH，則在H中有：1Ha=a，故在G中也成立。以a-1右乘得：(1H a)a-1=aa-1，即，1H (aa-1)=1G ，1H1G=1G，故，1H=1G。7判別條件一由群的定義，對(duì)于H中的a，應(yīng)有bH，使，ab=1H，而1H=1G ，因此， ab=1G，此式在G中亦成立，以a-1左乘得b=a-11G=a-1因而a-1H，即(2)成立。必要性證畢。8充分性：設(shè)(1),(2),(3)成立。由(3)，H非空。由(1)，H內(nèi)運(yùn)算封閉.在G中成立的結(jié)合律在子集H中自然成立。往證H中有單位元1G。任

4、取aH，由(2)，a-1H，由(1)，aa-1H，即1GH；1G在G中適合1Ga=a，故在H中亦有此性質(zhì)，1G也是H的單位元。往證H中任意元素a有逆。因由(2)，a-1H，但是G中，a-1a=1G，此式在H中亦應(yīng)成立，故a-1是a在H中之逆。綜上，H在G的運(yùn)算下是一個(gè)群，故是G的子群。 判別條件一9子群H與大群G的關(guān)系：H的單位元就是G的單位元，H中任一元素a在H中的逆元也就是a在G中的逆元。 判別條件一10應(yīng)用判別條件一 例：設(shè)(H1，)，(H2，)是群(G，)的兩個(gè)互不包含的子群，證明：H1H2G。證明：因H1H2 G，故只需證 G中存在一個(gè)元素，它既不屬于H1，也不屬于H2。由H1，H2

5、互不包含知，存在x，y，使得xH1，且xH2，yH2，且yH1。往證：xyH1，且xyH2。11用反證法。若xyH1，則由xH1 及由H1是G的子群知，x-1H1，故， x-1(xy)H1，即，yH1，與yH1矛盾。若xyH2，則由yH2 及由H2是G的子群知，y-1H2，故， (xy)y-1H2，即，xH2，與xH2矛盾。因此，xyH1H2，而xyG，所以H1H2G。12判別條件二定理6.4.2 判別條件一中的兩個(gè)條件(1)，(2)可以換成下面一個(gè)條件(*) 若aH，bH，則ab-1H。證明：設(shè)(1),(2)成立，往證(*)成立。設(shè)aH，bH，由(2)，b-1H，故由(1)，ab-1H，因而

6、(*)成立。13設(shè)(*)成立，往證(1),(2)成立。設(shè)aH，由(*)可推得，aH，aH，故aa-1H，即1H。若aH，又由(*)可推得，1H，aH，則1a-1H，即a-1H，因而(2)成立。設(shè)aH, bH，因?yàn)?2)已證，故b-1H。再由(*)推知，aH，b-1H，則a(b-1)-1H，即abH，故(1)成立。 14應(yīng)用判別條件二 例：給定整數(shù)m，證明(mZ，+)是一個(gè)群。證明：注意到(Z，+)是一個(gè)群， mZ是Z的非空子集，因此，只需證(mZ，+)是(Z，+)的子群。對(duì)任意x,ymZ，存在k,lZ，使得x=km，y=lm，于是： x-y=km-lm=(k-l)mmZ 。因此， (mZ，+)

7、是(Z，+)的子群，當(dāng)然本身是一個(gè)群。15判別條件三定理6.4.3 設(shè)H是群G的一個(gè)有限非空子集，則H是G的子群的充分必要條件是H對(duì)G的運(yùn)算是封閉的，即若aH，bH，則abH 。提示：充分性證明可用教材201頁(yè)習(xí)題2得出的結(jié)論：若集合非空、有限、運(yùn)算封閉、且適合結(jié)合律、消去律，則為群。還可以利用判別條件一證。16證明：必要性顯然。充分性。由判別條件一知，只需證明：若aH，則a-1H即可。任取aH，則由運(yùn)算封閉性，a,a2,a3,.H。 因?yàn)镠有限，所以i, j，有 ai=aj，ji，故 aj-i=1，aaj-i-1=1 a)若j-i1，則a-1=aj-i-1H。b)若j-i=1，則a=1，故a

8、-1=aH。因此，H是G的子群。17應(yīng)用判別條件三 例：設(shè)G是n次對(duì)稱群，判斷其非空子集是否是群只需驗(yàn)證運(yùn)算是否封閉。試判斷下面子集在置換的乘法下是否是群：1)所有偶置換的集合2)所有奇置換的集合 3)I, (1 2)4)I, (12), (13)186.4.3 循環(huán)群 定理6.4.4 設(shè)a是群G的一個(gè)元素。于是a的所有冪的集合an，n=0,1,2,做成G的一個(gè)子群，記為(a)。此群稱為由a生成的子群。證明：顯然，(a)G。1)(a)非空，至少a0=1(a)。2)任取(a)中二元素am, an，有am(an)-1=ama-n=am-n(a)故由判別條件二，(a)做成G的一個(gè)子群。(還可用子群的

9、定義或其他判別條件證明)196.4.3 循環(huán)群定義6.4.2 如果群G可以由它的某元素a生成，即有aG，使G=(a)，則G叫做一個(gè)循環(huán)群，或巡回群。上面定理中的(a)稱為由a生成的循環(huán)子群。 例：整數(shù)加法群(Z，+)是由1生成的循環(huán)群。(mZ，+)是由m生成的循環(huán)群。例：設(shè)G是4次對(duì)稱群(本身不是循環(huán)群)，由(1 2)生成的循環(huán)子群為I, (1 2)。 20元素的周期看由元素a所生成的循環(huán)群(a)：，a-2，a-1，a0，a，a2， (1)情形10 如果(1)中所有元素都彼此不同，則稱a的周期為無(wú)窮大或0。此時(shí)，對(duì)任意兩個(gè)不同的整數(shù)s與t，asat。情形20 如果(1)中出現(xiàn)重復(fù)的元素，即有整

10、數(shù) st，使as=at。不妨設(shè)st，于是s-t0且as-t=1， 即有正整數(shù)m使am=1。若n為適合an=1的最小正整數(shù)，則稱a的周期為n。 21結(jié)論：群的單位元的周期為1，(1)=1。 結(jié)論：群中任一元素和它的逆元具有同樣的周期。證明：若a的周期為無(wú)窮大，則顯然a-1的周期也為無(wú)窮大。若a的周期為n，a-1的周期為m， 由(a-1)n=a-1n=(an)-1=1-1=1，知mn(m|n)。由am=(a-1)m)-1=1-1=1，知nm(n|m)。因此，m=n。22周期的例例：4次對(duì)稱群中(1 2 3 4)的周期是4，因?yàn)?(1 2 3 4)2=(1 3)(2 4) (1 2 3 4)3=(1

11、 4 3 2) (1 2 3 4)4=I例：在(C*，)中，1的周期為1，-1的周期為2，i的周期為4。23周期的例例：設(shè)(G，)是群，x,yG，且yxy-1=x2，其中x1，y的周期是2，試求x的周期。解：由已知x1，斷言x21。反證：若x2=1，由已知，yxy-1=x2，得yxy-1=1，即，y(xy-1)=1。又由群中任意元素的逆是唯一的得y-1=xy-1，兩邊同時(shí)右乘y，得x=1，與已知矛盾。24由yxy-1=x2，得：x4=(yxy-1)(yxy-1) =(yx)(y-1y)(xy-1) =(yx)1(xy-1) = yx2y-1 = y(yxy-1)y-1 由已知： = y2xy-

12、2由y的周期是2知，y2=1，且y-2=1。因此，x4=1x1=x。即，x3=1。因此，3是滿足xn=1的n的最小正整數(shù)，即，x的周期是3。 25周期的性質(zhì) 定理6.4.5 若群G中元素a的周期為n，則1) 1, a, a2, a3, , an-1為n個(gè)不同元素；2)am=1當(dāng)且僅當(dāng)nm;3) as=at當(dāng)且僅當(dāng)n(s-t)。 26證明：因?yàn)槿我庹麛?shù)m恒可唯一地表為m=nq+r，0rn故：am=anqar=(an)qar=1qar=lar=ar；由于0rn，故按周期的定義知ar=1 iff r=0所以，am=1 iff r=0 iff nm即(2)得證。由(2)即知： as=at iff as

13、-t=1 iff n(s-t)，即(3)得證，最后由(3)立即可得(1)。 27設(shè)a為群G的一個(gè)元素，1)如果a的周期為無(wú)窮大，則(a)是無(wú)限循環(huán)群，(a)由彼此不同的元素 ，a-2，a-1，1，a，a2，組成。2)如果a的周期為n，則(a)為n元循環(huán)群，它由n個(gè)不同的元素1，a，a2，a3，an-1組成。結(jié)論 28加法群中元素的周期在加法群中，(a)應(yīng)換為a的所有倍數(shù)的集合：，-2a，-a，0，a，2a， *當(dāng)(*)中的所有元素均彼此不同時(shí)，稱a的周期為無(wú)窮大或?yàn)?；否則當(dāng)n為適合na=0的最小正整數(shù)時(shí)，稱a的周期為n。定理6.4.5若加法群中a的周期為n，則有1) 0, a, 2a, ,

14、(n-1)a為n個(gè)不同元素；2) ma=0當(dāng)且僅當(dāng)nm；3) sa=ta當(dāng)且僅當(dāng)n(s-t)。29循環(huán)群的生成元素 定理6.4.6 1)無(wú)限循環(huán)群(a)一共有兩個(gè)生成元：a及a-1。2)n元循環(huán)群(a)中，ak是(a)的生成元的充要條件是(n, k)=1。所以(a)一共有(n)個(gè)生成元素。 301)如果ak是(a)的一個(gè)生成元，那么(a)中每個(gè)元素都可表示為ak的方冪。特別地，a也可表示為ak的方冪。設(shè)a=(ak)m=akm由(a)是無(wú)限循環(huán)群知，km=1。因此，k=1。即，a及a-1為無(wú)限循環(huán)群(a)的生成元。證明： 312)必要性：若ak是(a)的一個(gè)生成元，那么(a)中每個(gè)元素都可表示為

15、ak的方冪。特別地，a也可表示為ak的方冪。設(shè)a=(ak)m=akm因(a)是一個(gè)n元循環(huán)群，即a的周期為n。由周期的性質(zhì)知，n|km-1。因此， km-1=qn， mk-qn=1。這說(shuō)明k與n互質(zhì)。32充分性。若k與n互質(zhì)，則有s和t，使sk+tn=1，故a1=ask+tn=askatn=(ak)s(an)t=(ak)s。即a可表為ak的若干次方，因此(a)中每個(gè)元素都可表示為ak的方冪， ak是(a)的一個(gè)生成元?？傊?ak是(a)的生成元 iff (n, k)=1。但在0kn中，共有(n)個(gè)k與n互質(zhì)，故共有(n)個(gè)元素ak可生成(a)。 33Euler函數(shù) 設(shè)n是任意正整數(shù)，試看mo

16、d n的任意剩余類A。設(shè)aA。若a和n互質(zhì)，則A中任意數(shù)和n互質(zhì)。此時(shí)我們稱剩余類A和n互質(zhì)。事實(shí)上，若ba(mod n)，則a=b+qn，倘若b和n 有一個(gè)大于1的公因數(shù)d，則d也是a的因數(shù)，因而是a和n的公因數(shù)，此為矛盾?？梢?jiàn)，若A中有一個(gè)數(shù)和n互質(zhì)，則其中所有的數(shù)都和n互質(zhì)。故A 中的數(shù)或者都和n互質(zhì)，或者都和n不互質(zhì)。 34Euler函數(shù) 和n互質(zhì)的剩余類的個(gè)數(shù)記為(n)，稱為Euler(歐拉)函數(shù)。從和n互質(zhì)的每一個(gè)剩余類中取出一個(gè)數(shù)，這樣得到的(n)個(gè)數(shù)便稱之為作成mod n的一個(gè)簡(jiǎn)化剩余系。顯然，從mod n的一個(gè)完全剩余系中取出與n互質(zhì)的那些數(shù)就得到mod n的一個(gè)簡(jiǎn)化剩余系，

17、因而(n)等于n的正數(shù)中和n互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)。例如：n=10，則mod n的一個(gè)完全剩余系為0, 1, , 9，一個(gè)簡(jiǎn)化剩余系為1, 3, 7, 9，(10)=4。 35例：(Z, +)的生成元只能是1和-1。若G=(a)是元數(shù)為12的群， (12)=4，與12互質(zhì)的數(shù)有1, 5, 7, 11，因此a, a5, a7, a11是G的所有4個(gè)生成元。366.4.4 陪集合同關(guān)系定義6.4.3 設(shè)G是群，H是G的子群，a,bG，若有hH，使得a=bh，則稱a合同于b(右模H)，記為ab(右mod H)。37例：設(shè)G是三次對(duì)稱群：G=I, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (

18、1 3 2)，H是由(1 2 3)生成的子群H=I, (1 2 3), (1 3 2)。因?yàn)橛蠭H，使得(1 2)=(1 2)I，所以 (1 2)(1 2)(右mod H)。因?yàn)橛?1 2 3)H，使得(2 3)=(1 2)(1 2 3)，所以(2 3)(1 2)(右mod H)。可驗(yàn)證：(1 2)(2 3)(右mod H)， (1 2)(1 3)(右mod H)， (1 3)(1 2)(右mod H)， (1 3)(2 3)(右mod H)， (2 3)(1 3)(右mod H)，H中元素互相合同。38結(jié)論：合同關(guān)系(右模H)是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。證明：1)證自反性。因?yàn)閷?duì)任意aG，有1H，使得a

19、=a1，所以aa(右mod H)。2)證對(duì)稱性。即證若ab(右mod H)，則ba(右mod H)。由a=bh, hH可以推出b=ah-1，而且h-1H，故ba(右mod H)。3)證傳遞性。即證若ab(右mod H)，bc(右mod H)，則ac(右mod H)。由a=bh，b=ck，h,kH，可得a=ckh，其中khH，故ac(右mod H)。 39陪集定義6.4.4 群G在合同關(guān)系(右模H)下的一個(gè)等價(jià)類叫做H的一個(gè)右陪集。同樣，可以界說(shuō)a合同于b(左模H)：ab(左mod H)和H的左陪集。40結(jié)論：a所在的右陪集為aH=ah|hH。分析：只需證明aH是合同關(guān)系(右模H)下的一個(gè)等價(jià)類

20、即可。即證明：(1)aH中元素互相合同(等價(jià))。(2)若b與aH中某元素c合同(等價(jià))，則baH。(即證aH中任意元素與aH外任意元素不等價(jià))41陪集的例：設(shè)G是整數(shù)加法群。H是m的所有倍數(shù)作成的子群，因?yàn)榧臃ㄟm合交換律，所以左右之分不存在，因而，(左mod H)和(右mod H)是一樣的，左右陪集也是一樣的。 ab(mod H)，即a=b+h(hH)，亦即，a=b+km, m|a-b，故ab(mod m)。可見(jiàn)，H的陪集就是模m的剩余類。 42陪集的例：設(shè)G是所有非0復(fù)數(shù)的乘法群，所有其z=1的復(fù)數(shù)z=ei作成G的一個(gè)子群H。ab(mod H)等于說(shuō)a=bh(hH)，即a=bh=b。在復(fù)平面

21、上，H相當(dāng)單位圓，H的所有陪集相當(dāng)以原點(diǎn)為圓心的所有同心圓。 43求陪集的簡(jiǎn)單方法：若G是一個(gè)有限群，求H的右陪集：首先，H本身是一個(gè)；任取aH,aG，而求aH，又得到一個(gè)；任取bHaH，而求bH又得到一個(gè)；如此類推，因G有限，最后必被窮盡，而G=HaHbH 44設(shè)G是3次對(duì)稱群：I, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)，H：I, (1 2)，H有三個(gè)右陪集：I, (1 2)，(1 3), (1 2 3)，(2 3), (1 3 2)H有三個(gè)左陪集：I, (1 2)，(2 3), (1 2 3)，(1 3), (1 3 2) 例：45定理6.4.7設(shè)H是

22、群G的有限子群，則H的任意右陪集aH的元數(shù)皆等于H的元數(shù)。證明： aH=ahhH，又G中有消去律：由ax=ay可以推出x=y，故H中不同元素以a左乘仍得不同的元素。因而aH的元數(shù)等于H的元數(shù)。 46陪集的性質(zhì)(1)若H為G的有限子群，則|aH| = |H|。(2)H本身也是H的右陪集。證明：因?yàn)镠=1H，所以，H為1所在的右陪集。(3)a在陪集aH中。證明：因?yàn)閍=a1aH，得證。根據(jù)這點(diǎn)，把a(bǔ)叫做右陪集aH的一個(gè)陪集代表。 47(4)aH=H iff aH。 證明：必要性：由a=a1aH, aH=H得aH。充分性(證法一)：由aH, aaH，知aH=H，否則，a在兩個(gè)不同的等價(jià)類中，矛盾。(

23、證法二)：往證 aHH。任取xaH，則x=ah, hH，再由aH，及H是G的子群知，x=ahH，因此aHH。再證HaH。任取xH，x=(aa-1)x=a(a-1x )，由aH,xH，及H是G的子群知a-1xH，因此，x=a(a-1x)aH， HaH。48(5)對(duì)于右陪集aH中任意元素b，都有aH=bH。證法一：由baH知，存在hH，使得b=ah。因此，bH=ahH=a(hH)=aH。 證法二：若aHbH，由baH知，b在右陪集aH中，而又由(3)知，b在右陪集bH中，b在兩個(gè)不同的等價(jià)類中，矛盾。證法三：往證aHbH。任取xaH，則x=ah1，h1H。由baH，知b=ah2，h2H。 因此，x

24、=ah1=a(h2h2-1)h1=ah2(h2-1h1)=b(h2-1h1)bH，因此aHbH。再證bHaH。任取xbH，則x=bh，hH，由baH，知b=ah，hH。因此，x=bh= ahhaH，因此bHaH。(5)說(shuō)明右陪集aH中任一元素都可以取做陪集代表。49陪集的性質(zhì)從(5)還可推出：(6)aH=bH的充分必要條件是a-1bH。 證明：必要性：由bbH，及aH=bH知，baH，故a-1bH。充分性：由a-1bH知，baH，故由性質(zhì)(5)，知 aH=bH。50陪集的性質(zhì)(7)任意兩個(gè)右陪集aH和bH或者相等或者不相交。 證明：如果aH和bH相交，則它們包含公共元素c，即caH，且cbH。

25、因此，由(5)得aH=cH，且bH=cH。故，aH=bH。 51正規(guī)子群 定義6.4.5 設(shè)H是群G的子群，設(shè)對(duì)G中的任意元素g，都有g(shù)H=Hg，則稱H是G的正規(guī)子群。結(jié)論1 “平凡”子群H=1和G都是G的正規(guī)子群。結(jié)論2 Abel群的任意子群是正規(guī)子群。 52結(jié)論3 H是G的正規(guī)子群，必要而且只要對(duì)任意的gG，gHg-1H。證明：必要性。由H是G的正規(guī)子群知，對(duì)于任意gG，gH=Hg，即gHg-1=H，故gHg-1H。充分性。設(shè)對(duì)任意gG，gHg-1H。既然此式對(duì)任意gG成立，則以g-1G代g仍成立：g-1H(g-1)-1H，即，g-1HgH；以g左乘以g-1右乘之，得HgHg-1。因此，H

26、=gHg-1對(duì)任意gG都成立，即，gH=Hg，因而H是正規(guī)子群。 53正規(guī)子群的例設(shè)G是3次對(duì)稱群：I, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)，則：(1)H1=I, (1 2)不是正規(guī)子群，因?yàn)?1 3)H1H1(1 3)；(2) H2=I, (1 2 3), (1 3 2)是正規(guī)子群。證明：對(duì)任意H2，H2=H2=H2(1 2)H2=H2(1 2)=(1 2), (2 3), (1 3)，因(2 3)(1 2)H2，故(2 3)H2=(1 2)H2=H2(1 2)因(2 3)H2(1 2)，故H2(2 3)=H2(1 2)，因此，H2(2 3)=(2 3

27、)H2。 同理，(1 3)H2=H2(1 3)。54結(jié)論4 設(shè)H是G的一個(gè)子群。H是G的正規(guī)子群當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)G中任意的a，都有aHa-1=H，即H只有一個(gè)共軛子群，就是H自己。 H是G的子群，aHa-1=aha-1 |aG, hH也是G的子群，稱H的共軛子群。證明：aHa-1=HaH=Ha，故有定義可知H是G的正規(guī)子群 aHa-1=H，對(duì)G中任意的a成立。55Lagrange定理 設(shè)G為有限群，則G的任意子群H的元數(shù)整除群G的元數(shù)。證明：設(shè)|G|=n，|H|=r。設(shè)H有s個(gè)右陪集，則每個(gè)右陪集的元數(shù)等于H的元數(shù)r；再由不同的右陪集沒(méi)有公共元素，知所有右陪集的并集有元數(shù)rs。 而G等于所有右陪集的

28、并集，故|G|=n=rs=|H|s，即，子群H的元數(shù)整除群G的元數(shù)。56H在G中的指數(shù)：有限群G的元數(shù)除以H的元數(shù)所得的商，記為(G：H)，稱作H在G中的指數(shù)。結(jié)論：H的指數(shù)也就是H的右(左)陪集的個(gè)數(shù)。右代表系：從每個(gè)右陪集中選出一個(gè)元素為代表，全體代表的集合叫做一個(gè)右代表系或右代表團(tuán)。結(jié)論：設(shè)G有限而g1, , gs作成一個(gè)右代表系，則g1H，gsH便是H的所有右陪集而G=g1HgsH。57應(yīng)用Lagrange定理定理6.4.8 設(shè)G為有限群，元數(shù)為n，對(duì)任意aG，有an=1。證明：因?yàn)镚有限，a的周期必有限，否則a所生成的循環(huán)子群(a)將無(wú)限，G的元素將無(wú)窮多。命a的周期為m，則a生成一

29、個(gè)m元循環(huán)子群(a)。按Lagrange定理，mn，即n0(mod m)，因此an=1。 58應(yīng)用Lagrange定理例：設(shè)有限交換群(G，)中所有元素之積不等于單位元1，試證明G必為偶數(shù)元群。證明：用反證法。假設(shè)(G，)為奇數(shù)元群，往證(G，)中所有元素之積等于單位元1。由G有限，設(shè)G=1, a1, a2, , a2n。59證明：首先證明對(duì)G中任意非單位元的元素a，aa-1。假設(shè)G中有元素a，a=a-1，則a2=1，顯然(1, a，)是(G，)的元數(shù)為2的子群。由Lagrange定理知，2應(yīng)該整除G的元數(shù)。因?yàn)镚的元數(shù)為2n+1，所以2不整除G的元數(shù)，這就產(chǎn)生了矛盾。 60由于任意元素的逆元

30、素是唯一的，即不同的元素有不同的逆元，所以在a1, a2, , a2n中按如下方法取元素：先任取一ai1及其逆元aj1(i1j1)，再在剩下的2(n-1)個(gè)元素中任取一ai2及其逆元aj2(i2j2)，以此類推n次，直到取出ain及其逆元ajn(injn)。則 =1，由(G，)為交換群知， =a1a2a2n，所以，a1a2a2n=1。這與已知(G，)中所有元素之積不等于單位元1矛盾。所以，G必為偶數(shù)元群。證畢。61習(xí)題1證明6元群中一定有周期為3的元素。證明：根據(jù)定理6.4.8，G中元素的周期是6的因子，所以G中只能有周期為1、2、3和6的元素。但G中有周期為6的元素a時(shí)，a2的周期就是3，得

31、證。若G中不含有周期為6的元素，則G中除1 外，元素周期只能為2或3。下面用反證法證明G中必含周期為3的元素。若不然G中所有元素a，滿足a2=1，即a=a-1。任取G中a, b有ab=(ab)-1=b-1a-1=ba，G是Abel群。取G中非1的a和b，令H=1,a,b,ab，使用子群判定定理易證H是G的子群且有4個(gè)元素，與Lagrange定理矛盾，則得證。62習(xí)題2確定所有可能的4元群。解：因?yàn)樵氐闹芷谑侨旱脑獢?shù)的因子，故可分為以下幾種情況討論：1)G中存在周期為4的元a，則G=(a)。2)G無(wú)周期為4的元，則除單位元1外均為2，G是Abel群。設(shè)G=1,a,b,c，a,b,c的周期為2。因ab1、a、b，所以ab=ba=c，類似有bc=cb=a，a