金融時間序列的多重分形分析(共32頁)

1、 金融時間(shjin)序列的多重分形分析MULTIFRACTAL ANALYSIS OF FINANCIAL TIME SERIES指 導 教 師：申請(shnqng)學位級別：學 士論文提交(tjio)日期：2014年6月12日摘 要 有效市場假說(EMH)是現(xiàn)代金融市場的基礎理論，該理論認為市場的價格反映了市場的全部信息，市場價格的波動之間相互獨立而且不可預測，收益率服從隨機游走，收益率分布服從正態(tài)分布或對數(shù)正態(tài)分布.但是，現(xiàn)實中的種種限制因素決定著這一傳統(tǒng)的金融理論有著很大的局限性，實際的資本市場并不是傳統(tǒng)理論所描述的線性系統(tǒng)，而是一個非線性的系統(tǒng)，這也意味著分形理論開始應用在金融市場

2、.分形理論則認為金融市場具有明顯的分形結構和尖峰(jin fn)厚尾的分布特征，金融時間序列在一定的標度范圍內有著持續(xù)性與反持續(xù)性的特征，而且不同幅度的波動能夠表現(xiàn)出多重分形特征.分形理論比有效市場理論更能有效揭示金融市場的波動本質，同時也能更有效地揭示出金融市場的基本規(guī)律.本文選取上證綜指（上海證券綜合指數(shù)）和深證成指（深圳證券成分指數(shù)）2005年1月5日至2014年5月22日的每日收盤價的股指收益數(shù)據(jù)位樣本，分別采取R/S、DFA、MF-DFA方法對我國股市的分形及多重分形特征進行實證研究與分析.主要驗證了兩時間序列的分形及多重分形特征；分析比較(bjio)了兩時間序列的市場有效性特征，通

3、過計算并比較的大小，得出(d ch)了上海證券市場比深證證券市場有效；分析比較了兩時間序列的市場風險，通過計算并比較多重分形譜的寬度，得出了上海證券市場存在的風險比深證證券市場的要大.關鍵詞：分形； 多重分形； 廣義Hurst指數(shù)；市場有效性； 市場風險ABSTRACT Efficient Market Hypothesis (EMH) is the basis of modern finance theory, the main idea of EMH is that the financial market prices presents all information of market

4、, fluctuation of market price are not only independent but also unpredictable, the returns follow a random walk hypothesis, and the distributions of the returns is normal or logarithm normal distribution. Yet many abnormal financial visions in reality means that the traditional financial theories ha

5、ve great limitation, it shows that the actual capital market is not a linear system which as the traditional theory described, but a nonlinear system. This also means the appearance and development of fractal theory.The basic view of fractal theory is that the financial market has obvious fractal st

6、ructure and fat tail characteristics. The financial time series is persistent and anti persistence in a certain scale, different amplitude fluctuations can show multi fractal characteristics. So the fractal theory can reveal the volatility nature more accurately than that of traditional capital mark

7、et theory, and can effectively reveal basic law of the finance market. This thesis chooses the stock return data on the day closing price between January 5, 2005 to May 22, 2014 of the Shanghai Stock Exchange Composite Index and the Partial Index of Shenzhen Stock Market as a sample. And adopt R/S,

8、DFA, MF-DFA fractal method doing empirical research and analysis of our country stock market and the multi fractal characteristics. The main work includes the validation of two time series fractal and multi fractal characteristics, by analysis the effectiveness of market of two time series, and give

9、 the result that the Shanghai stock market is more effective than the Shenzhen stock market, by analysis and compare the two time series of market risk, and give the result that the risk of Shanghai stock market is bigger than the Shenzhen stock market.Key word: Fractal; multi-fractal; generalized h

10、urst exponent; stock market efficiency; financial market risk目 錄TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc32689 1 引言(ynyn) 1 引言(ynyn)1.1 研究背景(bijng)與意義 1.1.1 研究(ynji)背景中國的金融市場從20世紀90年代興起以來，直到現(xiàn)在在中國的經濟體系中它已成為了一個重要的成分.金融在現(xiàn)代經濟中處于核心的地位，它在促進生產要素的重新組成以及建立一個不斷完善的社會主義市場經濟中，占據(jù)著越來越重要的地位，同時金融市場在促進社會主義經濟市場的發(fā)展與優(yōu)化資源配置等各個方面也起著

11、很重要的作用.現(xiàn)在，股票市場更為投資者提供了投資的主要渠道，而且股票價格的變動也為股票市場的變動提供了重要的信息，與此同時，不斷發(fā)展起來的股票市場更需要理論作為其堅實的后盾.自形成以來，金融經濟學一直以一個線性的范式為引導，由此而發(fā)展起來的.有效市場假說成為了現(xiàn)代金融學的基石，有效市場假說（Efficient Markets Hypothesis），簡記為EMH，它是在1970年由尤金法瑪經過深刻研究并提出來的.EMH的意義在于：在任何時刻證券的價格都是完全并正確地反映出所有可以獲取的信息.有效市場假說指的是一種理想狀態(tài)，實際上它體現(xiàn)的是一種均衡、平等競爭的思想.而在這樣的假定下，價格能夠反映

12、出所有的相關信息，而且價格的波動相互之間是獨立的，是無法預測到未來價格變動的，價格的收益率服從隨機游走，收益率的分布呈現(xiàn)出正態(tài)或對數(shù)正態(tài)的分布.以經濟學理論的觀點來看，在有效的市場中，要想連續(xù)不斷地獲取到超額的利潤是幾乎不可能實現(xiàn)的.有效市場假說是當代金融經濟學的支柱性理論之一，雖然該理論指的是理想狀態(tài)，沒有考慮現(xiàn)實市場的各種因素影響，但金融市場的這種線性范式已經成為了金融學進行研究的主流，之后的理論都是以它為基礎發(fā)展起來的. 隨著學者們的深入學習，發(fā)現(xiàn)了最近不斷涌現(xiàn)一些反面的例子，這使人們所熟知的有效市場假說遭遇了很大的沖擊，有效市場理論無法對這些異象作出合理的解釋.比如：小公司效應，小市值

13、的公司股票收益率并不小于大市值的公司股票收益率；雖然小公司股票的相對風險比較大，但是，長期投資于小公司的股票卻獲得了較高的收益；于1987年出現(xiàn)的異?！昂谏瞧谝弧爆F(xiàn)象，美國的股市在這一年10月19日的股災中的平均指數(shù)頓時暴跌；“一月效應”，也就是每年的一月份，股票價格一般會有比較高的漲幅程度，從而可以獲得到超額的收益，而且，這幾乎可以算得上是一種可以預測的現(xiàn)象.“輸家贏家效應”，研究結果表明，前一期絕對的輸方，也就是虧損者趨向于被低估，而前一期絕對的贏方則會相反趨向于被高估.另外，金融市場的數(shù)據(jù)統(tǒng)計則開始出現(xiàn)了長記憶性、尖峰厚尾等特征.由于諸多異?，F(xiàn)象的存在，越來越多的學者開始從不同的角度做

14、出了深入探索，研究成果也各不相同.他們開始將目光轉移到非線性系統(tǒng)，并從非線性系統(tǒng)的角度來分析和研究金融市場，分形理論作為非線性科學理論中的一個非常重要的部分，也開始應運而生，它在金融市場的分析研究中占據(jù)著極其重要的成分. 最初分形理論的研究比較集中在金融市場的單分形特征上，但是單分形僅僅能夠描述出股價波動的長期性的統(tǒng)計行為，適用于對全局的統(tǒng)計，對局部過程的詳細描述卻不夠全面，不能滿足人們的研究需要.為了使價格的波動情況能夠更加的全面描述，學者們開始了對多重分形理論的相關分析與研究.隨著研究的不斷深入，多重分形理論逐漸被接受(jishu)，而且受到了各國學者廣泛的關注，它在復雜的金融系統(tǒng)中有著潛

15、在的應用前景.為了更深入認識和理解中國的股票市場，眾多學者運用了各種方法，不斷對金融市場多重分形的結構進行更加深入的研究. 1.1.2 研究(ynji)意義本論文針對分形及多重分形理論，通過認真學習相關理論知識并將其運用于金融(jnrng)領域，利用金融時間序列的具體實例進行分析研究，主要目的是判斷并研究金融時間序列中的分形及多重分形行為，通過數(shù)據(jù)的擬合，研究市場的長程相關性和波動行為，并計算廣義Hurst指數(shù)，度量并比較不同的市場有效性市場的風險大小.1.2 國內外研究綜述1.2.1 單分形相關的國外文獻綜述 1977年，Mandelbrot分析研究了在不同的時間標度上時間序列的動力學特點1

16、，之后經過多年的研究，提出了“分形”這一概念.Przekota G用Hurst指數(shù)這一指標來識別資本市場的時間序列特征，考察并研究了金融市場時間序列的長期相關性的統(tǒng)計方法2.C.K. Peng等人3 于20世紀初，在分析研究DNA分子鏈的單分形結構的時候，提出了用于解決非平穩(wěn)的時間序列分形分析的方法，稱之為消除趨勢波動方法( de-trended fluctuation analysis)，簡記為DFA方法.1.2.2 單分形相關的國內文獻綜述 國內的一些學者對單分形理論也有了一定程度的分析研究，牛淑珍運用了R/S（重標極差）分析方法，來研究深圳和上海兩地的股票市場的每周的收盤指數(shù)的時間序列4

17、，其結果顯示，我國的股票市場的波動性呈現(xiàn)出非線性的特征.莊新田用上海證券綜合指數(shù)（上證綜指）和深圳證券成分指數(shù)（深圳成指）每日的收盤價格為樣本，來研究上海和深圳兩地的股票交易市場的分形特征5，并認為兩地的金融市場并不具有有效市場的特征，它們的股價指數(shù)顯示出有偏隨機游走而非正態(tài)的特征，同時時間序列具有長記憶的特征.1.2.3 多重分形(fn xn)相關的國外文獻綜述 在金融股票市場上通過對分形理論的深入研究，分形理論不斷取得新的成果，并且學者們已經開始了從研究單分形理論過渡到多重分形理論的分析研究階段.Muniandy 通過研究馬來西亞外匯的分形行為，用R/S分析方法、DFA方法和相關系數(shù)的二階

18、矩等方法計算了全局的Hurst指數(shù)(zhsh)，并用多重分形的布朗運動來分析金融時間序列的多重分形特征性6.Norouzzdeh用MF-DFA分析方法研究了伊朗的銀幣對美元的匯率波動的多重分形特征，他通過對廣義Hurst指數(shù)、標度指數(shù)、廣義分形維以及奇異譜的研究，發(fā)現(xiàn)了產生(chnshng)多重分形的原因，這一原因是與尖峰厚尾的分布特征和長程相關性相關的7.Sadegh Movahed運用了分形分析的MF-DFA方法來研究河流流量的波動，結果表示，存在著兩個相互交叉的時間標度，河流流量的Hurst指數(shù)顯示出了長程相關性的特征，并逐漸發(fā)現(xiàn)了多重分形的特性是因為概率密度函數(shù)的厚尾這一分布所造成的8

19、.1.2.4 多重分形相關的國內文獻綜述 張永東和畢秋香在 HYPERLINK /kns/detail/detail.aspx?QueryID=7&CurRec=3&recid=&FileName=YUCE200204013&DbName=CJFD9902&DbCode=CJFQ&pr= 中國股票市場多標度行為的實證分析一文9中， 通過研究中國股指的時間序列，并分析研究不同時間跨度的指數(shù)增量序列和收益率序列、廣義的累積絕對收益序列的標準差，發(fā)現(xiàn)了標準差s與時間跨度t之間滿足一種冪律關系，而且冪指數(shù)并不是唯一的，它具有明顯的多標度的特征.常松和何建敏，他們運用多重分形特征理論來分析中國的股票市場

20、10，驗證了中國股票市場的多重分形游走特征，而且通過進一步研究多重分形過程局部的尺度特性，將這種局部尺度和多尺度之間的相關性聯(lián)合建立了小波和神經網絡相互結合的對于股票價格的一種預測模型.莊新田和苑瑩通過運用MF-DFA方法（消除波動趨勢的分析方法）對上證綜指的日收益率進行多重分形特征的分析，發(fā)現(xiàn)了出現(xiàn)多重分形的原因，這是由于非線性的長程相關性和概率分布函數(shù)的尖峰厚尾分布所導致的，隨后繼續(xù)研究了股票價格的指數(shù)波動特征，發(fā)現(xiàn)了當股票價格的指數(shù)波動相對較大時，廣義Hurst指數(shù)具有非常顯著的波動特征，由此他提出了基于廣義Hurst指數(shù)的兩種不同的風險指標11.1.2.5 文獻綜述總結 從以上研究來看

21、，現(xiàn)階段，將分形理論應用到金融領域仍是一個熱門的課題，但卻還不夠完善，仍存在著大量的缺陷.目前來說，國內外對待金融市場中多重分形理論的分析研究以及應用都還處于初級階段，都還不成熟，很大部分的相關研究成果都只是停留在對金融時間序列的多重分形特性的檢驗階段，而沒有繼續(xù)深入.盡管部分學者已經證明了多重分形譜的形態(tài)特征對金融時間序列的波動、金融風險的預測及考察都具有一定的指示效果，但研究結果終究比較零碎，不完善，現(xiàn)在還沒有形成一個比較完整的體系.比如說實證方法和技術多樣缺乏標準的判別指標，對于分形結構存在的原因的分析各有不同，至于分形及多重分形理論在金融市場上的預測等應用還在探索中，具體的應用還有待于

22、進一步研究，需要不斷改進.1.3 研究(ynji)內容1.3.1 研究思路(sl)及框架基本思路：本文將先介紹分形(fn xn)理論的一些基本知識點，簡單介紹分形市場理論，然后將分形理論應用到中國上證綜指和深證綜指的金融時間序列中，通過計算廣義Hurst指數(shù)，研究市場的長程相關性和波動行為，判斷金融時間序列是否符合分形及多重分形行為，并度量市場的風險和市場效率.基本框架：1.引言，包括：研究背景及意義、國內外文獻綜述、研究內容簡述；2.介紹金融時間序列的相關分形理論與方法，包括：3.介紹各種研究方法，包括R/S分析，MF-DFA方法、MF-DMA方法等；4.用數(shù)據(jù)進行實證分析，做個各種方法的對

23、比；5.得出結論，并作出評價.1.3.2 研究方式與方法研究方式： 本論文通過查閱相關文獻充分理解基本理論知識及方法，如R/S分析，MF-DFA方法、MF-DMA方法等，主動請教指導老師，之后根據(jù)自己的想法及思路，在matlab上實現(xiàn)相關程序，根據(jù)圖形得出結論，最后總結、評價，找到不足，并指出自己的一些展望.具體研究方法有：1.在圖書館查閱相關書籍，進行相關方面知識的研究和探討.2.借助網絡媒介進行相關資料的搜索.3.查閱國內外期刊中與課題相關的文章，加以分析研究.4.就本課題向老師和同學們討教，聽取他們的意見和觀點.2 金融時間序列(xli)的相關分形理論與方法2.1 分形(fn xn)理論

24、2.1.1 分形理論(lln)的形成分形理論是由Mandelbrot首先提出來的，并在此基礎上發(fā)展為一種系統(tǒng)的理論，它起源于對海岸線長度測量的研究問題.Mandelbrot在研究英國的海岸線的復雜邊界時，發(fā)現(xiàn)了不同比例的地圖上測量出來的海岸線長度是不同的，這也正是歐幾里德幾何所無法解釋的一點.大家都知道，海岸線是彎彎曲曲的，不規(guī)則且極不光滑的一條曲線.如果要對它的長度進行測量，就必須要選取一定的測量單位才可以.如果選作“公里”作為測量單位來測量海岸線，很顯然從幾米直到幾十米的彎曲程度就都被隨之忽略掉了，此時測量的結果我們記為 M1；如果選取“米”作為測量單位，測量的結果很明顯要比上一次的準確一

25、些，幾米直到幾十米的彎曲程度都可以被包括在測量的范圍內，然而厘米量級的這樣小的彎曲，卻仍然被排除在計量長度范圍之外，這時的測量結果我們記為 M2，則一定有關系式 M2M1；如果繼續(xù)用更小的“毫米”為單位來測量，其結果顯然要比前兩次精確的多了，但是仍存在微米量級的小的彎曲被忽略掉了，此時的測量結果記為 M3，且存在關系式 M3M2M1.繼續(xù)設想，如果繼續(xù)把海岸線分解到“分子”、“原子”這樣的尺度標準，很顯然測量得到的長度L4 會大到天文數(shù)字的級別.追究其原因則是因為海岸線是一種具有各種層次且無窮多的細節(jié)的非常復雜的幾何對象.自然界中存在很多類似于海岸線這樣的幾何對象，它們都是一些極其不規(guī)則而且支

26、離破碎的片段的集合，如河流、山脈、血管、云團、樹枝等等.Mandelbrot 用“分形”這一概念，來描述這些十分復雜的幾何對象.在研究過程中，他將測量長度和放大尺度（比例）分別取其對數(shù)，發(fā)現(xiàn)所對應坐標點之間存在著一種線性的關系，這表示，這類十分復雜的集合體都具有一種共同的特征，即自相似性的特征，也就是說局部的形態(tài)與整體的形態(tài)是相似的.后來，通過研究，Mandelbrot更進一步發(fā)展了分形幾何理論，這一理論不僅可以產生許多分形集曲線和圖形，如Mandelbrot集、Koch曲線、Cantor集、Sierpinski墊片等等，而且還可以用來(yn li)描述復雜對象的幾何特性.Mandelbrot

27、用“分形理論”這一定義，來反映這種表示這些復雜的圖形特征和復雜過程規(guī)律的性質.2.1.2 分形(fn xn)理論的定義及特征盡管至今為止，分形(fn xn)理論還是沒有形成一個比較嚴格的定義，但是很多研究者都根據(jù)自己的理解做出了自己的定義.最開始的時候，分形定義是由Mandelbrot提出來的，他指出分形是這樣的一種集合：它的維數(shù)嚴格意義上是大于其拓撲維數(shù)的.但是這個定義還是不夠嚴謹?shù)模冶容^抽象，不能夠被人們所理解.接著他指出另一個定義，部分以某種形式與整體相似的這樣的一種形狀叫“分形”，但是這個定義是仍然不夠全面的，仍然不能夠被大家所認可.直到1990年，Edger指出，分形集合是這樣的

28、一種集合，它比傳統(tǒng)的幾何學所研究的所有的集合還要更加不規(guī)則，不管是將它放大多少倍還是縮小多少倍，甚至是更進一步地進行縮小，這種集合的不規(guī)則程度性仍然是十分明顯的.緊接著，英國數(shù)學家Kenneth J. Falconer出版了Fractal Geometry一本書，對分形定義做了如下比較詳盡的描述.集合F如果滿足以下條件，則認為它是是分形的： （1）集合F具有很精細的結構.即它在任意小的尺度之下，它總是具有復雜的細節(jié)的； （2）集合F通常具有某種自相似性特征，這種自相似性可以有時是嚴格相似的，但也可能是統(tǒng)計意義上的相似； （3）傳統(tǒng)意義上的的幾何語言是無法對不規(guī)則的集合F進行局部與全局特征的描述

29、的； （4）集合F的分形維數(shù)大多部分都是大于它的拓撲維數(shù)的；分形集合總的來說是有以下的特征的： （1）自相似性.也就是說，局部和整體之間是相似的，這既包括嚴格意義上的自相似，還包括在一定的尺度(chd)范圍內的近似意義上的自相似以及存在于統(tǒng)計意義上的自相似性. （2）標度不變性.也就是說無論放大多少倍或者(huzh)是縮小多少倍，集合的不規(guī)則特征、形態(tài)結構及其復雜程度等是都不會發(fā)生變化的.而且存在這種關系：具有標度不變性特征的集合體一定具有自相似性的特征. （3）分數(shù)維.即分形維數(shù)不是以整數(shù)表示的，而是以分數(shù)的形式表示的，而且一般來說分形維數(shù)是大于它的拓撲維數(shù)的.維數(shù)是空間理論和幾何學里的一個

30、基本概念.我們現(xiàn)在已經習慣于歐幾里德幾何的整數(shù)維數(shù)了，比如：點是零維的，線是一維的，面是二維的，而體積是三維的.在歐氏空間之中，物體(wt)被認為是連續(xù)且光滑的，對稱的而且同質的，因此我們通?？梢杂谜麛?shù)維對其進行系統(tǒng)的描述.但是對于描述分形體，這種既不規(guī)則也不光滑的對象，傳統(tǒng)的歐氏維數(shù)是幾乎無法做出回答的.分形維數(shù)是對幾何體的不規(guī)則性程度，復雜的程度，粗糙程度等性質的一個有效地測度. （4）自放射性.自放射變換指的是整體的各個方向的變換比率是基本不一樣的，但是局部的隨機性與整體的確定性是同時存在的.最后，分形集其實可以說是這樣的一類集合體，他的局部和整體之間存在著結構、形態(tài)等方面的自相似性，而

31、且這種相似性是不會隨著測量尺度的變化而改變的，同時觀測尺度和相似比例之間滿足著一定的指數(shù)關系形式.所以說，分形能夠從不同的標度指數(shù)來描述出集合的特征，能用分形維數(shù)的概念來刻畫分形結構的特征. 2.2 多重分形理論2.2.1 多重分形定義多重分形(Multi-fractal)，這一概念是定義在分形結構上的，它是由多個不同的標度和標度指數(shù)的分形測度來組成的這樣的一個無限的集合.多重分形理論是從集合的局部出發(fā)來進行研究整體特征的一種方法，它在直觀上可將多重分形很形象地看作是由眾多的維數(shù)不同的單一分形進行交錯疊加而形成的.從幾何的角度來看，組成分形集合的許多若干個子集的標度q及分形維數(shù)都是互相不相同的

32、，多重分形也被稱為是稱多標度分形.可以表征多重分形的主要方法有：廣義Hurst指數(shù)，或者可以使用奇異譜函數(shù).奇異譜可以定量地刻畫出來分形體在各個不同的局部條件下對應的概率分布特征，其中奇異標度指數(shù)規(guī)定了奇異性的強度，而則描述了分布的稠密程度.2.2.2 多重分形(fn xn)過程 Mandelbrot通過運用增量(zn lin)矩的尺度特性，來定義了多重分形過程：如果一個連續(xù)的時間(shjin)過程具有一個平穩(wěn)的增量，并且滿足： （2-1）則稱為多重分形過程.其中為時間增量，T和Q是實軸上的區(qū)間，它們長度非零，并且，和均是Q域上的函數(shù). 上式表示了多重分形過程的矩的一個冪律關系的性質.函數(shù)是多

33、重分形過程中的尺度函數(shù)，通過運用序列增量的矩特性，從而刻畫出來不同幅度的增量的尺度特征，進而可以刻畫出各個不同時點上的分形特征.其中，當為q的線性函數(shù)時，這一過程是單分形過程，比如當時，是由H唯一決定的一個線性函數(shù)；而當為q的非線性函數(shù)時，這時就稱這一過程是多重分形的過程.通過對不同幅度的波動進行冪次方處理，這就相當于對波動的波幅放大幾倍或縮小幾倍.所以，不同的q值對應的尺度函數(shù)對應著不同的波動，從而反映出了不同程度大小的價格波動信息，而且隨著時間標度的取值變化，還可以觀察在不同時間標度上的價格波動信息.總之，多重分形分析能夠更加清晰地分析研究金融市場上的不同時間的標度，不同幅度變化的價格或者

34、收益波動的相關特征.多重分形能夠定量地刻畫出十分復雜的幾何對象在不同的層次的一個分形特征，并且可以用多重分形譜的形式表達出來.因此，我們可以知道，通過運用多重分形的相關理論去分析研究金融市場，能夠更準確地對金融市場的波動性進行更加細致的剖析和描述，進而可以得到有關于金融時間序列在不同的時間標度以及不同幅度程度的波動信息.2.2.3 廣義(gungy)Hurst指數(shù) 對于(duy)時間序列，根據(jù)公式(gngsh)(2-1)，來定義廣義Hurst指數(shù)， （2-2） 函數(shù)描述了時間增量在下的廣義平均波動的相關信息.特別地，當時，即為前面單分形中的指數(shù)，也稱為全局H指數(shù)，當時，序列表現(xiàn)持續(xù)性，時，表現(xiàn)

35、反持續(xù)性，時，即為隨機的布朗運動.廣義Hurst指數(shù)與尺度函數(shù)之間的關系為： （2-3）2.3 分形市場理論2.3.1 分形時間序列 對于一個時間序列來說，只有在它受到許多等可能性事件的共同影響時才是隨機的.而且對于一個非隨機的時間序列，構成序列的數(shù)據(jù)之間是具有內在相關性的，也就是說時間序列是分形的.分形吋間序列也通常被稱為是有偏隨機的游動，曼德勃羅特（ Mandelbrot）把這種隨機游動稱為是分數(shù)布朗運動.它表示了時間序列的非隨機特征，序列具有趨勢疊加上噪聲的這樣的一種特性.趨勢的存在也導致了測出的觀測值之間不是相互獨立的，這個時候，序列的觀測值就具有長記憶性的特征. 通常來講，分形時間序

36、列具有下列的一些特點： （1）分形時間序列具有著無限的精細結構.當觀測的對象，即股票收益率序列的尺度從年收益率改變到周收益率，繼續(xù)改變到日收益率，再到分時這樣的逐漸變化時，大量結果表明，股票收益率序列的復雜細節(jié)是不會隨尺度改變而發(fā)生變化的. （2）分形時間序列具有分形維數(shù).分形維數(shù)是描述時間序列如何填充空間的這樣的一個參數(shù).它表征了分形幾何體的復雜程度以及粗糙程度. （3）分形時間序列具有自相似性特征.復雜分形系統(tǒng)的整體與部分以及部分與部分內部之間的精細的結構和性質是具有相似牲的或者是具有統(tǒng)計意義上的相似性的.2.3.2 分形(fn xn)市場理論 Peters在1994年開始將分形理論引入到

37、了復雜的經濟系統(tǒng)，提出了分形市場理論，分形市場理論是分形理論在金融市場分析研究中的一個具體(jt)運用.傳統(tǒng)的有效市場理論認為市場的收益序列具有線性、獨立以及有限方差的這些特征，并且其分布是服從正態(tài)分布的，有效市場理論展現(xiàn)了一種理想的市場結構.Peters則根據(jù)非線性的觀點，在實際的金融市場中，提出了更符合資本市場實際的基本理論，這一理論揭示出了不同的證券市場信息接受程度和不同的投資時間尺度對不同投資者的投資決策所產生的不同影響，認為資本市場都具有分形結構的特征，其收益率的分布也并不是服從正態(tài)分布的，而是具有明顯(mngxin)的尖峰厚尾特征，沒有方差或方差無限大.由于在資本市場中，存在許多偏

38、好不同的投資者，加上投資者的理性有限，投資者對信息的理解能力互不相同，導致投資者做出不同的投資決策.由于上述實際資本市場的種種因素，決定了資產價格的變化不是隨機游動的，而是具有持續(xù)相關性的.分形市場的特征有：標度不變性，也就是指不同的時間標度下具有相似的統(tǒng)計規(guī)律.長程相關性，即過去的相關信息對現(xiàn)在以及未來的事件不是相互獨立的，而且是能夠產生著長期性影響的.如果預測的時間越長，那么預測的結果是越不可信的，不能夠進行長期準確地預測.3 幾種分形方法理論研究3.1 單分形方法3.1.1 R/S方法分析R/S分析法，即重標極差分析法，它廣泛用于研究時間序列的分形特征和分析長期記憶過程，該方法最初是英國

39、水文學家赫斯特(Hurst)在1951年研究尼羅河水壩工程時經過研究提出來的，他發(fā)現(xiàn)了一個更一般的冪率形式（式3-1）并同時提出來一個新的非參數(shù)統(tǒng)量，被稱為Hurst指數(shù)，簡稱為H指數(shù).此后，R/S分析法被用在各種時間序列的分析當中. (3-1)其中(qzhng)，對于一個時間序列，R/S是重標極差，S指序列(xli)每段的方差，n表示每段區(qū)間的長度(chngd)，C為常數(shù).R/S分析方法的基本步驟如下：（1）對一個時間序列，把它分為k個長度為n的等長子區(qū)間，對于每一個子區(qū)間，依次計算下面第2至第5步.（2）計算各段數(shù)據(jù)的均值和標準差，以第j段的均值和標準差為例： ， （3-2）計算各段數(shù)據(jù)的

40、累計離差和極差，以第j段的累積離差序列和極差為例： ， （3-3）（4）計算各段的重標極差，以第j段為例： （3-4）計算整個k段序列的平均重標極差： （3-5）（6）改變每段長度n，使n取值為從2到之間改變，對不同的n，重復上述（2）-（5）步，得到散點對（7）繪制圖形，并用最小二乘法進行線性擬合，如滿足下式，則說明序列是單分形，且所得到的直線的斜率就是Hurst指數(shù). （3-6）通過分析Hurst指數(shù)結果(ji gu)，可得出：當時，說明序列(xli)具有持續(xù)性；時，序列(xli)具有反持續(xù)性；時，序列符合隨機游走.R/S分析法對短期記憶性比較敏感，因而由其不足，而消除趨勢波動分析方法（D

41、FA）可以消去短期相關性并反映長記憶性及分形特征.3.1.2 DFA方法分析 C.K.Peng等物理學家和生物學家在1994年研究DNA分子的時候，發(fā)現(xiàn)NDA分子順序在其分子個數(shù)大于時，會呈現(xiàn)出一種長記憶性的、冪指數(shù)分布，之后他們提出了DFA(de-trended fluctuation analysis)方法.DFA方法可以消除短期的波動趨勢，用來檢測非平穩(wěn)時間序列的長記憶性，并且得到Hurst指數(shù).DFA方法的步驟如下：根據(jù)時間序列，得出累積離差序列： （3-7）其中，是序列的平均值，將（1）中得到的序列分成個連續(xù)的不重復的區(qū)間段，其中s為每個區(qū)間段的長度.因為N不一定被s整除，為了防止末

42、尾數(shù)據(jù)丟失，可以從序列末端開始反方向再重復分割一次，這樣子就會得到一共個長度為s的區(qū)間段.在每個區(qū)間段內，如第j段，用最小二乘法回歸擬合趨勢多項式： （3-8）其中，m稱為回歸趨勢階數(shù).不同的階DFA的比較結果能夠估計時間序列里的趨勢的強度.于是計算出各個區(qū)間段消除趨勢后的序列，并分別對這個區(qū)間段計算出方差： （3-9） （3-10）（4）對所有(suyu)區(qū)間段的方差求平均值，再計算方根得到DFA波動函數(shù)： （3-11） （5）對不同(b tn)s，重復上述（2）-（4）步，并計算出相對應的.如果(rgu)與s的對數(shù)函數(shù)之間存在存在線性關系： （3-12）則存在冪率形式的波動： （3-13）

43、其中，H即為Hurst指數(shù).3.2 MF-DFA方法 Kantelhardt等人2002年在原來DFA方法的基礎上，提出了MF-DFA方法，也就是多重分形消除趨勢分析方法，它是在驗證單分形的方法DFA的基礎上提出來的，用來驗證一個非平穩(wěn)時間序列是否具有多重分形特征的有效方法. 基本步驟如下：MF-DFA方法的前三步與DFA分析方法步驟的（1）-（3）步是基本一樣的. 第四步：對所有區(qū)間段的方差求平均值，給定（任意實數(shù)），計算得到階消除趨勢波動函數(shù)： ， （3-14）當時，；特別的，時，即為標準的DFA方法.第五步：當分割的長度取遍中的各個整數(shù)后，根據(jù)冪律關系 （3-15）對的散點圖做線性回歸擬

44、合，斜率(xil)即為對應于q的.第六步：改變q的值，重復上述(shngsh)前五步，得到關于q的函數(shù)，我們(w men)稱為廣義Hurst指數(shù).第七步：分析的關系及圖形，并判斷出序列是否符合多重分形特征.當h(q)數(shù)值大小與階數(shù)q無關時，即為一常數(shù)，則時間序列是單分形的；當h(q)與q有關時，此時時間序列是多重分形的.當時，的大小主要取決于小波動偏差的大小，描述了小幅度波動的標度行為，當時，大小主要取決于大波動偏差的大小，此時描述了大幅度波動的標度行為.于是，不同的值也就描述了不同程度的波動對波動函數(shù)的影響.4 滬深股指分形特征(tzhng)的實例分析 4.1 滬深股指( zh)的分形特征分

45、析本文(bnwn)以中國上海證券市場綜合指數(shù)(上證綜指)和深圳證券市場成分指數(shù)（深證成指）為代表研究中國金融時間序列的分形特征.選取了上證綜指和深圳成指2001年5月10日至2014年5月22日每日的收盤價格作為樣本，樣本數(shù)都是3160個，通過對數(shù)差分計算，得到相應的收益率序列而作為研究對象.也就是說，為了消除原始數(shù)據(jù)自相關的影響，我們需要對原始數(shù)據(jù)事先做處理，用于消除或者有效降低線性依賴性程度.由于我們選取的原始數(shù)據(jù)所構成的時間序列以表示，則得到的對數(shù)收益序列為： ， （4-1）其中，表示t時的對數(shù)收益，表示t時刻的股價指數(shù).以作為自變量，作為因變量，進行回歸分析，得到的殘差序列 （4-2）

46、這時的長度為N-1，那么問題就轉化為對序列進行分析.4.2 Hurst指數(shù)分析Hurst指數(shù)主要應用于單分形時間序列，它的的大小可以度量金融時間序列的持續(xù)性和反持續(xù)性特征.當時，這就表明了時間序列具有持續(xù)性，而且H的值越接近1，則此時表示序列持續(xù)性程度越強；當時，這時就表示時間序列具有反持續(xù)的特征，而且H越接近0的時候反持續(xù)性程度就會越強；當時，此時時間序列既不表現(xiàn)持續(xù)性也不表現(xiàn)反持續(xù)性，處于一種隨機狀態(tài)，而且H越接近0.5時，隨機游走特征就會越明顯.下面兩圖是分別運用R/S分析方法和DFA分析方法，以上證指數(shù)和深證成指2001年5月10日至2014年5月22日每日的收盤價格（分別為3160個

47、數(shù)據(jù)）作為樣本，在Matlab軟件上進行擬合而成的，主要用來計算Hurst指數(shù). (b)圖4-1 上證綜指(a)和深證成指(b)的R/S分析(fnx)圖 (c) (d)圖4-2 上證綜指(c)和深證成指(d)的DFA分析(fnx)圖各方法(fngf)的結果顯示：表4-1 Hurst指數(shù)數(shù)值比較方法上證綜指深證成指R/S0.61760.6219DFA0.67900.6850 該結果表明了，雖然兩種方法計算后所得到H指數(shù)互不不同，但都是明顯大于0.5的，由此可以知道，我們所研究得到的滬深指數(shù)收益序列的波動特征是明顯不同于布朗運動的，而且兩種波動均呈現(xiàn)出持續(xù)性的特征，并且深證證券市場的持續(xù)性強度較大

48、.這就表示，這兩個序列(xli)是具有分形特征的.4.3 滬深股指( zh)的多重分形特征的測度下面(xi mian)是運用MF-DFA分析方法得到的擬合圖形： (e) (f)圖4-3 上證綜指的MF-DFA分析圖,(e)圖表示q值分別取-5,0,5時，波動函數(shù)的圖形，（f）圖表示的圖形 (g) (h)圖4-4 上證綜指的MF-DFA分析圖，(g)圖表示q值分別取-5,0,5時，波動函數(shù)的圖形，（h）圖表示的圖形 以上結果表示，對于（e）、（g）圖，不同的q值，波動函數(shù)的波動程度也是在改變的，而且，對于每一個給定的q值，所對應的Hurst指數(shù)（即直線的斜率）是各不相同的.（f）、（h）圖則給出

49、了Hurst指數(shù)隨著q的變化而變化的關系圖.這就表明，瀘深股市都符合多重分形特征.5 滬深股市的市場有效性、市場風險(fngxin)關系的分析5.1 市場(shchng)有效性分析與比較5.1.1 相關(xinggun)理論對于金融市場的分形特征，我們大多時候都采用廣義Hurst指數(shù)來測量金融市場的有效性.由于廣義Hurst指數(shù)與的取值有關，于是我們采用來定量比較市場效率問題. （5-1）當時，表明市場是最有效的；越接近0.5，則表示市場是越有效的，相反越遠離0.5時，表明市場是越無效的.由于現(xiàn)實金融市場的種種因素的限制，導致不可能取0.5，也就是現(xiàn)實金融市場中，是不可能會有市場是完全有效的，

50、只能比較不同市場之間的相對有效程度.所以，針對金融市場的分形特征，是可以利用廣義Hurst指數(shù)的距離0.5的遠近程度來衡量有效性的程度的.具體來講就是，如果某市場是相對較有效的，則該市場的廣義Hurst指數(shù)的更趨近于0.5，而如果離0.5越遠的話，這就表明這個市場是越無效的.5.1.2 有效性分析下面分別是上證指數(shù)和深證綜指的的關系圖 (a) (b)圖5-1 上證綜指(a)和深證成指(b)的關系圖以上結果顯示，上海證券市場的，而深證證券市場的，因此，更接近0.5，因此我們認為，上海證券市場是較有效的.同時，圖（a）中知，q=2時，圖（b）中，此時的即指Hurst指數(shù)，且，更接近0.5，這里也可

51、以得出上海市場是比深證市場更有效的.5.2 市場風險(fngxin)分析與比較5.2.1 多重分形(fn xn)譜 用于描述金融(jnrng)時間序列多重分形特征的方法，最常用的是用多重分形譜.多重分形譜是用來描述奇異指數(shù)變化的這樣一種圖形，如果序列式單分形特征，則只是通過唯一的一個奇異指數(shù)來刻畫時間序列在不同的時刻以及不同的時間尺度上的分形特征；如果序列是多重分形的，則是通過不斷改變的奇異指數(shù)來衡量整個復雜過程的一個局部規(guī)則特性，來進行描述價格波動在不同時間區(qū)間的的一種不均勻性. 式子中，其中a指的是奇異指數(shù)，它是用來描述復雜系統(tǒng)在中各個區(qū)間不同的奇異程度，它的取值范圍的大小則可以表示出不同

52、的奇異強度分布范圍的大小.則是為多重分形譜，它主要用于表征奇異指數(shù)的變化程度.如果研究的時間序列是單分形的，則函數(shù)的值是一定的，那么如果時間序列是多重分形時，則此時函數(shù)的圖像呈現(xiàn)的是單峰鐘形圖形. 多重分形譜的寬度則刻畫出了資產價格的漲跌幅度大小，它的大小則可以定量表示出金融市場中的波動強度，同時可以用來刻畫市場風險的大小.如果越大，則表示時間序列分布是越不均勻的，這也就預示著該多重分形蘊含的波動程度越大，則該市場的風險就會越大.如果，則表示市場處于完全均勻分布的狀況，不過這只是理想狀態(tài)而已.5.2.2 風險分析下面是對兩市場的多重分形譜的繪制圖形： 圖5-1 上海證券市場(zhn qun s

53、h chn)的多重分形譜 (d) 圖5-2 深證證券市場(zhn qun sh chn)的多重分形譜從上圖可以看出，上海證券市場(zhn qun sh chn)的多重分形譜寬度，深證證券市場的多重分形譜寬度，由此知，但差別不大，故上海證券市場的風險是略大于深證證券市場的風險的.6 總結(zngji)與展望6.1 研究成果總結(zngji)本文對分形及多重分形理論進行了系統(tǒng)的研究，對幾種多重分形方法的優(yōu)劣進行了分析.由于MF-DMA方法的估計效果較好，在分析多重分形時釆用了該方法進行分析.并且(bngqi)選用了具有代表性的上證綜指和深證成指2001年5月10日至2014年5月22日每日的收盤價

54、格（分別為3160個數(shù)據(jù)）作為樣本，進行了分析，以此探討了上海金融市場和深圳金融市場的多重分形特征.主要研究成果：（1）通過對兩時間序列進行基本的統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)了上證綜指和證成指的收益率序列的分布都不服從正態(tài)分布，而是具有尖峰厚尾的特征的.（2）通過R/S和DFA分析方法計算得到的上證綜指和深證成指收益率序列的Hurst指數(shù)，發(fā)現(xiàn)兩時間序列都符合分形特征，而且兩種時間序列波動均呈現(xiàn)出持續(xù)性的特征，并且深證證券市場的持續(xù)性強度較大.（3）接著通過進一步運用MF-DFA方法計算上證綜指和深證成指的收益率序列的廣義Hurst指數(shù)，發(fā)現(xiàn)了廣義Hurst指數(shù)是隨著q值的變化而改變的，說明，兩時間序列符合

55、多重分形特征.（4）通過計算并比較上證綜指和深證成指的收益率序列的的大小，得出上海市場是比深證市場更有效的.（5）通過計算并比較上證綜指和深證成指的收益率序列的多重分形譜寬度的大小，得出上海證券市場的風險是略大于深證證券市場的風險的.6.2 研究展望盡管本文得出了一些研究成果，但是這些也只能算得上多重分形的研究中的很小的一部分，不管是在理論還是在實踐方面都是需要進一步的研究.本文只是對股指的日收益率序列做了分析，而對其他的時間間隔的收益率序列，比如每周數(shù)據(jù)、每月數(shù)據(jù)等的多重分形結構以及它們之間的關系還有待進一步研究.本文只是用R/S、DFA、MF-DFA三種方法對兩時間序列進行分析，而沒有運用

56、其他一些方法，不夠廣泛.如何利用廣義Hurst指數(shù)、多重分形譜等多重分形的特性對金融市場的收益率進行建模和預測，是多重分形分析研究的一個發(fā)展方向，需進一步進行探討.參考文獻1 Mandelbrot B B. The fractal geometry of nature M.New York: W. H. Freeman and Company, 1977, 211-321.2 Przekota G. Estimation and Interpretation of Hursts Index For Stock-Exchange Data D. Badania Operacyjne, 2002,

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