第二講線代數(shù)運(yùn)算

1、第二節(jié) 線性代數(shù)運(yùn)算一. 矩陣的特征值與特征向量定義：設(shè)A為n階矩陣， 是一個(gè)數(shù)，若存在n階非零向量 ，使得則稱 是A的一個(gè)特征值， 稱為矩陣A對應(yīng)于特征值 的特征向量.注意:一個(gè)特征值可以有無窮多個(gè)特征向量，但一個(gè)特征向量只對應(yīng)唯一的一個(gè)特征值，即特征值是由特征向量唯一確定的. 在后續(xù)的課程中，我們將介紹特征值與特征向量在經(jīng)濟(jì)分析中的作用.1例1.計(jì)算矩陣 的特征值解：設(shè) 為A的特征值，是對應(yīng)于 的特征向量此線性齊次方程組有非零解的充要條件是系數(shù)行列式的值為零，由2在MATLAB中計(jì)算矩陣X的特征值與特征向量的方法如下： V,D = EIG(X) produces a diagonal ma

2、trix D of eigenvalues and a full matrix V whose columns are the corresponding eigenvectors so that X*V = V*D. D是由矩陣X的特征值組成的對角矩陣，V的每一列是對應(yīng)于特征值的特征向量.例2 求矩陣 的特征值與特征向量解：A=4,6,0;-3,-5,0;-3,-6,1;V,D=eig(A)3V =0 0.5774 -0.8944 0 -0.5774 0.4472 1 -0.5774 0D =1 0 0 0 -2 0 0 0 1即 對應(yīng)的兩個(gè)特征向量為：而 對應(yīng)的一個(gè)特征向量為： 對應(yīng)的全部

3、特征向量為：而 對應(yīng)的全部特征向量為：4例3.求矩陣B，BB 的特征值、特征向量解：B=3,0,0;0,2,0;1,1,1, D1,V1=eig(B), D,V=eig(B*B), D= -0.2953 -0.3048 -0.9054 -0.4954 0.8592 -0.1277 0.8169 0.4109 -0.4048V= 0.7024 0 0 0 4.9564 0 0 0 10.34125例4. 將矩陣A的行向量與列向量標(biāo)準(zhǔn)化解：A=1,2,3;4,5,6;7,8,0;B=normr(A)，C=normc(A)B =0.2673 0.5345 0.8018 0.4558 0.5698 0

4、.6838 0.6585 0.7526 0C =0.1231 0.2074 0.4472 0.4924 0.5185 0.8944 0.8616 0.8296 0二.向量的標(biāo)準(zhǔn)化1.Matlab中將矩陣的行向量、列向量單位化的命令：normr(A)，normc(A)6三. 求線性方程組AX=b的解 1.若矩陣A可逆，則 X=Ab例7. 解線性方程組 解：A=2,3,5;3,6,8;6,5,4; b=12;34;43; det(A)=-29, 矩陣A可逆，于是 X=Abans = 0.2759 12.3793 -5.1379檢驗(yàn)：A*Xans = 12.0000 34.0000 43.00007

5、2. 求齊次線性方程組AX=0的非零解Matlab中Z =null(A,r)就是求AX=0的基礎(chǔ)解系，其中 Z的列向量即為所求基礎(chǔ)解系例8. 求方程組的通解： format rat %指定有理式格式輸出 Z=null(A,r) %求解空間的有理基 Z =2 5/3 -2 -4/3 1 0 0 1 解：A=1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3;故所求通解為：8化成行簡化階梯形求AX=b的解Matlab中的命令為： C=A,b %增廣矩陣C. D=rref(C) %將C化成行最簡化階梯形 則D 的最后一列元素就是所求的解. 例9 . 求線性方程組AX=b的解其中 A=2,3,5

6、;3,6,8;6,5,4，b=12;34;43. 解：C=A,b ； D=rref(C) ； D = 1 0 0 0.2759 0 1 0 12.3793 0 0 1 -5.1379 9四. 特殊矩陣及其應(yīng)用E = eye(n):表示n維單位矩陣, E = eye(m,n): 表示主對角元素為1,其余元素為零的 矩陣.例如：eye(3)=2. A = ones(n,m)：表示元素全為1的nm矩陣3. A = zeros(n,m)：產(chǎn)生nm維零矩陣4. A = rand(n,m):產(chǎn)生nm維隨機(jī)矩陣（元素在01之間）10例10. 下表是全國5個(gè)主要湖泊的實(shí)測數(shù)據(jù) 指標(biāo)湖泊總磷（mg/L）耗氧量(

7、mg/L)透明度(m)總氮(mg/L)杭州西湖13010.300.352.76武漢東湖10510.700.402.0青海湖201.44.50.22巢湖306.260.251.67滇池2010.130.500.23試用矩陣A表示上表所示的矩陣，2.計(jì)算每個(gè)指標(biāo)與該指標(biāo)平均值之差的絕對值.11 解：A=130,10.3,0.35,2.76;105,10.7,0.4,2;20,1.4,4.5,0.22;30,6.26,0.25,1.67;20,10.13,0.5,0.23;mean(A)=61.0000 7.7580 1.2000 1.3760各指標(biāo)的平均值為：生成一個(gè)5-by-4的矩陣B，各行都是

8、mean(A): B=ones(5,1)*mean(A),然后得到所求矩陣C為：C=abs(A-B)= 69.0000 2.5420 0.8500 1.3840 44.0000 2.9420 0.8000 0.6240 41.0000 6.3580 3.3000 1.1560 31.0000 1.4980 0.9500 0.2940 41.0000 2.3720 0.7000 1.1460為什么？怎樣生成?12生成一個(gè)5-by-4的矩陣B，各行都是mean(A)還有如下方法 ：B=a(ones(5,1),:)，其中 a=mean(A)練習(xí)：將各指標(biāo)與該指標(biāo)的最大值相減，然后再比上該指標(biāo)的極差.

9、提示：max(A):表示矩陣A中各列向量的最大值； min(A):表示矩陣A中各列向量的最大值； range(A)= max(A)- min(A):表示各列極差.13在MATLAB中將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行變換的命令還有：zscore(A) % 將A的各列減去各列的均值，再比上各 列的標(biāo)準(zhǔn)差；例11.將例10的各指標(biāo)見該指標(biāo)的均值，再比上各指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差；方法1.A=13010.300.352.76 10510.700.402.0 201.44.50.22 306.260.251.67 2010.130.500.23;B=(A-ones(5,1)*mean(A)./(ones(5,1)*std(A);方法2.D=zscore(A);14本次課學(xué)習(xí)的MATLAB命令一覽表命令功能V,D = EIG(X)求矩陣X的特征值與特征向量normr(A)將矩陣A的行向量單位化normc(A)將矩陣A的列向量單位化Z =null(A,r)求AX=0的基礎(chǔ)解系(Z的列向量)rref(C)將C化成行最簡化階梯形矩陣ones(n,m)表示元素全為1的nm矩陣eye(n)產(chǎn)生n階單位矩陣zeros(n,m)產(chǎn)生nm維零矩陣15命令功能max(A)計(jì)算矩陣A的各列元素的最大值min(A)計(jì)算矩陣A的各列