全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津賽區(qū)預(yù)賽試題

1、全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津賽區(qū)預(yù)賽試題絕密啟用前2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津賽區(qū)預(yù)賽試題試卷副標(biāo)題考試范圍：xxx;考試時間：100分鐘；命題人：xxx題號二總分得分注意事項(xiàng)：.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息.請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明.函數(shù)f（x）= Isin2x + cos2xl的最小正周期為 ()I InnA2ji Bn C.7 D 彳.方程12x - sl +13x - 7l +15x - 川二黑共有（）個實(shí)數(shù)根A. 0 B . 1 C . 2 D . 大于或等于3 3設(shè)oN a h.已知小E、t、h依次成等差數(shù)列 a、u, w h依次成

2、等比數(shù)列記x = stCs + t）, y 二 uv（u + v）.貝（）A.xy B . x = y C.x y|的情形，也有x 0.則所有滿足上述要求的目 組成的集合為（）A.（-8,5 B . ”,4）C.17D , （1, 5.設(shè)函數(shù)fQi的定義域是 （8, + 8）對于下列四個命題：（1）若（X）為奇函數(shù)，則心（X）也為奇函數(shù)； 若（X）為周期函數(shù)，則MG）也為周期函數(shù)；若（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，則r（Nx）為單調(diào)遞增函數(shù)； 若方程卜3）_=）有實(shí)根，則方程f（X）= X也有 實(shí)根，其中，正確的命題共有（）個A. 1B 2 C 3 D . 4第II卷（非選擇題）請點(diǎn)擊修改第II卷的文字

3、說明二、填空題.橢圓”十女丫？二1與雙曲線4 一 士二1有相同的 - 145-準(zhǔn)線.貝Ik=.已知正三棱錐的側(cè)面是面積為1的直角三角形則該正三棱錐的體積為 .已知 ABC的周長為20,內(nèi)切圓的半徑為廿3,BC = 7.則1mA的值為.甲、乙兩名學(xué)生在五門課程中進(jìn)行選修，他們 共同選修的課程恰為一門且甲選修課程的數(shù)量多 于乙.則甲、乙滿足上述條件的選課方式的種數(shù)為.已知凸n邊形n個內(nèi)角的度數(shù)均為整數(shù)并且互不相等，最大內(nèi)角的度數(shù)為最小內(nèi)角的度數(shù)的3倍.則n可以取到的最大值為 .12,設(shè)向量勺二（1,5、沏二-1）,西 二（2,1）, %、人2、入3均為非負(fù)實(shí)數(shù)，入人+ : + ； = 1. 那么，

4、瓜曲+入出2 +匕溝的最小值為.二、解答題.已知正三棱錐|P - ABC的體積為9A側(cè)面PAB與 底面ABC所成二面角的平面角為60口，D為線段AB 上一點(diǎn),AD二標(biāo)B,E為線段AC上一點(diǎn),AE二:A# 為線段PC的中點(diǎn)，平面DEF與線段PB 交于點(diǎn)G.求四邊形DEFG的面積.設(shè)a為實(shí)數(shù)，兩條拋物線二乂2 + x+a與X = 4y2 3y 士 a有四個交點(diǎn)(1)求a的取值范圍;(2)證明這四個交點(diǎn)共圓，并求該圓圓心的坐標(biāo).15.設(shè)悵)=，令I(lǐng) 3ai二力02二彳，ai2;f(a/ +乩 + J(n = 1，證明：對 任何正整數(shù)n,有f(3 義 2“ 1) W / W f(3 義 22n 2).

5、參考答案C【解析】【詳解】注意到，f（x）= Isin2x + cos2xlQf（x）= J2sin（2x +J.由函數(shù)圖像之間的關(guān)系，可知gx）與g（x）= Isin2xl有相 同的最小正周期.因?yàn)閗inx|的最小正周期為1,所以，8?。┑淖钚≌?期為.A【解析】【詳解】注意到，l2x - 51+ l3x - 7l + lox - 111三 l（2x - 5）+（3x - 7）+（11 - 5x）1 - 12015） 2016故方程無解.A【解析】【詳解】設(shè)公比q 7 1.則 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark81 o Current Document 3

6、2. I ,I 2a + b (2 i q% ,|S _3_3a.十 2b (1 + 2q )s HYPERLINK l bookmark39 o Current Document .-.L 33由 a(l + q3) - a(q + q2)= a(q - L)(q2 - 1) 0,=s +1 = a + bu + v,故 一 1IB【解析】 【詳解】161而故； ,7Q 14乂泰+ 5X瓶+ 6X麗 與4；最接近.D【解析】【詳解】令l（x）= x2 - 2（a - 2）x + a）下面分兩種情形討論：（1）（x）沒有零點(diǎn)，此時，（X）恒大于0,顯然滿足要求，由 ；: ，,二（X）有零點(diǎn).此

7、時，由函數(shù)圖像知（X）滿足要求當(dāng)且僅當(dāng):綜上，a （1,1）U|，5二（1,51C【解析】【詳解】若 f（x）為奇函數(shù)，則（- X）= 一 f（x）=-f（f） 故（x）也為奇函數(shù).因此，命題（1）正確.若f（x）為周期函數(shù),設(shè)T為f（x）的一個周期，則-T）； - F.故C（x）也為周期函數(shù)，因此，命題（2）正確.若（X）為單調(diào)遞減函數(shù)，則對任何X （）7 - y on 1WI I5貝E.由n個內(nèi)角的度數(shù)均為整數(shù)知180 0 i = 3（= 0 W 177, 0 n W 59再由n個內(nèi)角的度數(shù)均為整數(shù)且互不相等知.0 k w 178 - k（k = 1,2,，n - 1）王”80（n 2）=

8、。!? + 3n - 482 W 0,-3 -h J9 4 X 482n W 3，結(jié)合n為正整數(shù)，知n W 20.因?yàn)楫?dāng)n二20時，:二 I:匚，180（n - 2）= 3240, ,所以,n個內(nèi)角的度數(shù)為177,176,，160, 148, 59滿足要求.綜上,n可取到的最大值為20.:【解析】【詳解】令.1:3 : 343 =（6, 3）, P=1 J, P2 P3 - V，則：1:1.于是，問題轉(zhuǎn)化為在P1、2、P3均為非負(fù)實(shí)數(shù)，且Pl - P2 一 P：J = 1 的條件下,求+ P2h2 + p：山的最小值.記：I.,。口 二 PiE + p2b2 + p3b3.則P|、小、P?均為

9、非負(fù)實(shí)數(shù),P1 +取+ P3=1的條 件就對應(yīng)于P為4ABC內(nèi)（含邊界）一點(diǎn).由圖形，知當(dāng)P為線段AB上（3, 3）這一點(diǎn)時，0P 1 AB,此時，lopl 二 + p2b2 + P3b取得最小值 3也.【解析】【詳解】設(shè)正 ABC的邊長為x,中心為O,線段BC的中點(diǎn)為M, 聯(lián)結(jié)AM、PM、P0.由AM BC,PM BC,知/AMP為正三棱錐P二ABC的 側(cè)面與底面所成二面角的平面角.于是，A.P.故；AMtan60 = 1 X yx XP0=OMtanZAMP =X二 2因?yàn)槌扯┒?！所?,卜/B）工一莪C 1.由DEBC知BC“平面DEF,從而,BC/FG,再由F為線段PC的中點(diǎn)，知G為

10、PB的中點(diǎn)，F(xiàn)G =加工 3.由 BD 二 CEBG = CF, NABP = /ACP,= BDg% CEF=D6 = EF,由DE7/BCF知四邊形DEFG為等腰梯形,其底邊長分別為DE 二 LFG = 3.設(shè)DE的中點(diǎn)為k，F(xiàn)G的中點(diǎn)為L.則KL為等腰梯形DEFG的高.于是，點(diǎn)K在AML上,且AK二1AM,有KM =JAM=J_X 逑 : 竽點(diǎn)L在PML上，且PL二，歸有LM 二；PM = 0M 二:AM =！ X 3*3 二出.在 KLM中，由余弦定理得：二 JKM2 + LM2 - 2KM * UJcos60o 二 口 + 3 -、_（DE + FG）KLS梯形 DEFG =2（1）

11、（ - 8, 一 ；）（ 一: 一 上）；（2）證明見解 析，圓心坐標(biāo)為（-【解析】【詳解】（1）已知兩式相減整理得：（X - 2y）（x + 2y + 2）=0 nx 2y = 0或x + 2y + 2 = 0.由此知題中兩條拋物線有四個交點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)方程組 t i19y = x ” x + a, ，y = x + x_+ a, x - 2y =。與lx + 2y + 2 = 0共有四組不同的實(shí)數(shù)解.這又等價于兩個方程組各有兩組不同的實(shí)數(shù)解且沒有 公共解.由前一個方程組得2x2 + x + 2a = 0,其判別式大于0,即 1 - 16H 0=a 0=a-焉因此，兩個方程組各有兩組不同的實(shí)數(shù)解當(dāng)且僅當(dāng)a - A注意到，兩個方程組有公共解當(dāng)且僅當(dāng)：2X =-1,y = x+x + a, ， _ 1x - 2y = 0,= 丫 =2,，x + 2y - 2 = 0 I-,-因此，二 6 : - - -；：(2)由丫 = x2 + x + a，得:4y = lx 4x + 4a.上式表明,這四個交點(diǎn)共圓,其圓心坐標(biāo)為（一：J見解析【解析】【詳解】先用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任何正整數(shù)n,有即4 + 1 r 3當(dāng)n51時，5 = ；= a2,命題成立.當(dāng)n = 2時,=;1）時命題成立.則n二k + I時，由歸納假設(shè)知在區(qū)間增得:+ 8）內(nèi)單調(diào)遞叫 二泣k + 1 二匕