2.3連續(xù)型隨機變量機器概率分布

1、2.3 連續(xù)型隨機變量定義 設(shè) X 是隨機變量, 若存在一個非負 可積函數(shù) f ( x ), 使得其中F ( x )是它的分布函數(shù)則稱 X 是 連續(xù)型 r.v. ，f ( x )是它的概率密度函數(shù)( p.d.f. )，簡記為d.f.連續(xù)型 r.v.的概念2.3 連續(xù)xf ( x)xF ( x )分布函數(shù)與密度函數(shù) 幾何意義p.d.f. f ( x )的性質(zhì) 常利用這兩個性質(zhì)檢驗一個函數(shù)能否作為連續(xù)性 r.v.的 d.f. 在 f ( x ) 的連續(xù)點處，f ( x ) 描述了X 在 x 附近單位長度的區(qū)間內(nèi)取值的概率積分線段質(zhì)量長度密度注意: 對于連續(xù)型r.v.X , P(X = a) = 0

2、其中 a 是隨機變量 X 的一個可能的取值命題 連續(xù)r.v.取任一常數(shù)的概率為零強調(diào) 概率為0 (1) 的事件未必不發(fā)生(發(fā)生)事實上對于連續(xù)型 r.v. Xbxf ( x)axf ( x)a例1 已知某型號電子管的使用壽命 X 為連續(xù)r.v., 其 d.f.為(1) 求常數(shù) c (3) 已知一設(shè)備裝有3個這樣的電子管, 每個電子管能否正常工作相互獨立, 求在使用的最初1500小時只有一個損壞的概率.(2) 計算例1 解(1) 令c = 1000(2) (3)設(shè)A 表示一個電子管的壽命小于1500小時設(shè)在使用的最初1500小時三個電子管中損壞的個數(shù)為 Y例2 設(shè)為使 f (x) 成為某 r.v

3、. X 在解 由 d.f.系數(shù) a, b , c 必須且只需滿足何條件？當(dāng)有最小值上的另外由當(dāng)且僅當(dāng) 時得所以系數(shù) a, b , c 必須且只需滿足下列條件可省略作業(yè) P60 習(xí)題二16 18習(xí)題(1) 均勻分布常見的連續(xù)性隨機變量的分布若 X 的 d.f. 為則稱 X 服從區(qū)間( a , b)上的均勻分布或稱 X 服從參數(shù)為 a , b的均勻分布. 記作均勻分布X 的分布函數(shù)為xf ( x)abxF( x)ba即 X 落在(a,b)內(nèi)任何長為 d c 的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無關(guān), 只與其長度成正比. 這正是幾何概型的情形. 進行大量數(shù)值計算時, 若在小數(shù)點后第k 位進行四舍五入, 則產(chǎn)

4、生的誤差可以看作服從 的 r.v. 隨機變量應(yīng)用場合例3 秒表最小刻度值為0.01秒. 若計時精度是取最近的刻度值, 求使用該表計時產(chǎn)生的隨機誤差X 的 d.f. 并計算誤差的絕對值不超過0.004秒的概率. 解 X 等可能地取得區(qū)間所以上的任一值，則(2) 指數(shù)分布若 X 的d.f. 為則稱 X 服從 參數(shù)為 的指數(shù)分布記作X 的分布函數(shù)為 0 為常數(shù)指數(shù)分布1xF( x)0 xf ( x)0對于任意的 0 a b, 應(yīng)用場合用指數(shù)分布描述的實例有：隨機服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間電話問題中的通話時間無線電元件的壽命動物的壽命 指數(shù)分布常作為各種“壽命” 分布的近似若 X (),則故又把指數(shù)分布稱為

5、“永遠年輕”的分布指數(shù)分布的“無記憶性”事實上命題年輕解 (1)例4 假定一大型設(shè)備在任何長為 t 的時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù) N( t ) (t), 求相繼兩次故障的時間間隔 T 的概率分布;設(shè)備已正常運行小時的情況下,再正常 運行 10 小時的概率.例4即(2)由指數(shù)分布的“無記憶性”(3) 正態(tài)分布若X 的 d.f. 為則稱 X 服從參數(shù)為 , 2 的正態(tài)分布記作 X N ( , 2 )為常數(shù)，正態(tài)分布 亦稱高斯(Gauss)分布N (-3 , 1.2 )f (x) 的性質(zhì)： 圖形關(guān)于直線 x = 對稱, 即在 x = 時, f (x) 取得最大值在 x = 時, 曲線 y = f (x)

6、在對應(yīng)的點處有拐點曲線 y = f (x) 以 x 軸為漸近線曲線 y = f (x) 的圖形呈單峰狀f ( + x) = f ( - x) 性質(zhì) f ( x) 的兩個參數(shù)： 位置參數(shù)即固定 , 對于不同的 , 對應(yīng)的 f (x)的形狀不變化，只是位置不同 形狀參數(shù)固定 ，對于不同的 ，f ( x) 的形狀不同.若 1 2 則比x= 2 所對應(yīng)的拐點更靠近直線 x=附近值的概率更大. x = 1 所對應(yīng)的拐點前者取 Showfn1,fn3大小幾何意義 大小與曲線陡峭程度成反比數(shù)據(jù)意義 大小與數(shù)據(jù)分散程度成正比正態(tài)變量的條件 若 r.v. X 受眾多相互獨立的隨機因素影響 每一因素的影響都是微小

7、的 且這些正、負影響可以疊加則稱 X 為正態(tài) r.v.可用正態(tài)變量描述的實例極多：各種測量的誤差； 人體的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸； 農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度； 金屬線抗拉強度；熱噪聲電流強度； 學(xué)生的考試成績；一種重要的正態(tài)分布是偶函數(shù)，分布函數(shù)記為標(biāo)準正態(tài)其值有專門的表供查. 標(biāo)準正態(tài)分布N (0,1)密度函數(shù)-xx對一般的正態(tài)分布 ：X N ( , 2) 其分布函數(shù)作變量代換例5 設(shè) X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)解P380 附表3例5例6 已知且 P( 2 X 4 ) = 0.3,求 P ( X 0 ).解一例6解二 圖解法0.2由圖0.3例 3 原理設(shè) X N ( , 2), 求解一次試驗中, X 落入?yún)^(qū)間( - 3 ,