微分及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用課件

1、第五講 函數(shù)的微分內(nèi)容提要 1. 微分的概念； 2. 微分運(yùn)算法則； 3. 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。教學(xué)要求 1.理解微分的概念，了解微分的幾何意義以及微分與可導(dǎo)之間的關(guān)系； 2.熟悉微分的運(yùn)算法則； 3.會用微分進(jìn)行近似計(jì)算。第五節(jié) 微分及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用例1一個(gè)金屬正方形薄片，當(dāng)受冷熱影響時(shí)，如圖所示，解首先看一個(gè)例子一、微分概念這個(gè)由兩部分組成第一部分:xxD02是xD的線性函數(shù)第二部分:是比xD高階的無窮小所以當(dāng)|Dx很小時(shí),僅用第一部分xD的線性函數(shù)xxD02作為AD的近似值,即由此,我們引進(jìn)微分概念可以略去定義可以表示與一個(gè)比xD高階的無窮小之和則稱函數(shù))(xfy=在點(diǎn)0 x處

2、可微,稱為記為即【注】(1)函數(shù)的微分xAD是xD的線性函數(shù),它與高階的無窮?。?）當(dāng)0A時(shí),若函數(shù))(xfy=在0 x處的改變量（A是常數(shù)）xD為線性函數(shù)其中是的主要部分,相差一個(gè)比xD函數(shù)在0 x處的微分,所以也稱微分是的線性主部.可以用微分dy作改變量yD的近似值,即下面討論函數(shù))(xf在點(diǎn)0 x處可導(dǎo)與可微的關(guān)系.一方面,如果函數(shù))(xf在0 x點(diǎn)可微,則依定義即)(0 xfA=（3）當(dāng)很小時(shí),有上式兩端除以這說明:函數(shù))(xf在點(diǎn)0 x可微,則函數(shù)在點(diǎn)0 x必可導(dǎo).如果)(xf在點(diǎn)0 x可導(dǎo),存在,根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系,按微分的定義,從而是當(dāng)時(shí)反之，這表明:函數(shù))(xf在點(diǎn)可導(dǎo),則

3、函數(shù)在點(diǎn)必可微.則有由此可見,函數(shù))(xf在點(diǎn)0 x處可導(dǎo)與可微是等價(jià)的.由上面推導(dǎo)可以看出所以函數(shù))(xf在0 x處的微分自變量微分所以函數(shù))(xf在0 x處微分,又可寫成這是函數(shù)微分的常見寫法.由式可知，若函數(shù))(xf在某區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都可微 ,則稱)(xf是該區(qū)間內(nèi)的可微函數(shù),記為由此式,可得這表明,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以看作函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商,故導(dǎo)數(shù)也稱微商.例2求函數(shù)在處當(dāng)時(shí)的改變量和微分dy的值.解)()(xfxxfy-D+=D)1(1)(22+-+D+=xxx2)(2xxxD+D=所以21.0=)1.0(1.01221.01+=D=D=xxy而xxD=2xxfdyD=)(

4、xxD+=)1(2所以2.0=1.0121.01=D=xxdy下面給出微分的幾何意義:函數(shù))(xfy=的圖形是一曲線,當(dāng)自變量x由0 x變到xxD+0時(shí),曲線上的對應(yīng)點(diǎn)),(00yxM變到),(00yyxxPD+D+,從圖可知xMND=,yNPD=過點(diǎn)M作切線MT,它的傾角為q,則NTdy=xxfD.=)(0即NTdy=于是,函數(shù))(xfy=在點(diǎn)0 x處的微分就是曲線)(xfy=在點(diǎn)),(00yxM處的切線MT,當(dāng)橫坐標(biāo)由0 x變到xxD+0時(shí),其對應(yīng)的縱坐標(biāo)的改變量. 二、微分的運(yùn)算法則1. 基本初等函數(shù)的微分公式2. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則證明。只對3復(fù)合函數(shù)微分法則當(dāng)u為自變量時(shí),

5、則函數(shù)的微分為當(dāng)u為中間變量時(shí),設(shè))(xuj=則復(fù)合函數(shù)的微分為所以上式也可寫成不論u是自變量還是中間變量的微分的形式總是:這個(gè)性質(zhì)稱為一階微分形式的不變性.(1) 對于函數(shù)(2) 對于函數(shù)例3 求xycos=的微分dy解方法一利用微分的定義dxxxsin21-=方法二利用微分形式的不變性來求 , 把x看作中間變量u , 則例5 設(shè)bxeyaxsin-=,求dy解應(yīng)用積的微分法則,得dy)(sinbxdeax-+sinbxdeax-=dxebxbbxaax-+-=)cossin(在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，可以不寫出中間變量，在求復(fù)合函數(shù)的微分時(shí)，也可以不寫出中間變量，下面我們用這種方法來求函數(shù)的微

6、分.例4解例6 在括號內(nèi)填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù) 使下列等式成立（1）)(112ddxx=+（2）)(ddxax=dx)(=（3）xdedx)4()()(4=解（1）回顧導(dǎo)數(shù)二、微分的運(yùn)算法則1. 基本初等函數(shù)的微分公式2. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則3復(fù)合函數(shù)微分法則（微分形式的不變性.）一、微分的概念三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)0)(0 xf,有yD的近似計(jì)算公式例7 一個(gè)邊長為cm10的立方體,受熱后邊長伸長cm001.0,問該立方體的體積大約增加多少？解設(shè)立方體的體積為則由近似計(jì)算公式,得且很小時(shí),公式（1）則上式可化為:公式（2）若取則有公式（3）注意：注意：例8 求05.1arctan的近似值解設(shè)函數(shù)xxfarctan)(=,代入近似公式得)05.1(f即05.1arctan8104.0=求o29sin的近似值解設(shè)函數(shù)xxfsin)(=,4849.0即 29sino練習(xí)公式（3）應(yīng)用公式（3)可得到以下幾個(gè)常用的近似公式（這里假設(shè)|x很?。?）xn+1（n為正整數(shù)）（2）xsin（x為弧度）（3）xtanx （4）xex+1x（5）x+)1ln(（x為弧度）注意：證(2):證明:代入公式（3）得例9 求365的近似值解365可得對證明.（1）xn+1（n為正整數(shù)）根據(jù)