建筑結(jié)構及受力分析受彎構件課件

1、6 受彎構件建筑結(jié)構及受力分析6.1 截面的幾何性質(zhì)6.2 受彎構件的內(nèi)力6.3 受彎構件的應力及強度計算6.4 梁的變形目 錄6.1 截面的幾何性質(zhì)6.1.1 靜矩和形心1. 靜矩在圖形平面內(nèi)建立一直角坐標系 zOy，在圖形內(nèi)任取一微面積 dA，該微面積至兩坐標軸的距離分別為 y 和z，截面圖形內(nèi)每一微面積 dA 與其到平面內(nèi)任意坐標軸 y 或z 的距離乘積的總和，稱為該截面圖形對 y 或 z 軸的靜矩，即由上式可知，靜矩是對某定軸而言的，同一截面對不同坐標軸的靜矩各不相同。 靜矩的單位為 m3或 mm3，靜矩可為正值，也可為負值，也可以為零。6.1.1 靜矩和形心2.截面形心若截面形心 C

2、 的坐標分別為 zC和 yC，將截面看成等厚的均質(zhì)薄板，則根據(jù)合力矩定理可得由 n 個簡單圖形組成的截面稱為組合截面。組合截面的形心坐標可按下式進行計算。6.1.1 靜矩和形心【例 6.1】 如圖所示的倒 T 形截面，尺寸如圖所示，單位為 mm。 試求截面的形心。6.1.2 截面的慣性矩1.慣性矩在圖形上任取一微面積 dA，該微面積到兩坐標軸的距離分別為 z 和 y。 截面圖形內(nèi)每一微面積 dA 與其到平面內(nèi)任意坐標軸 z 或 y 的距離平方乘積的總和，稱為該截面圖形對 z 軸或 y 軸的慣性矩，分別用符號 Iz 和 Iy 表示。 即6.1.2 截面的慣性矩2.簡單截面圖形的慣性矩（1） 矩形

3、截面如圖所示矩形截面，高為 h，寬為 b。 z 軸和 y 軸為截面對稱軸。 取微面積 dA bdy，由慣性矩的定義直接積分得同理可求得對于邊長為 a 的正方形截面，其慣性矩為6.1.2 截面的慣性矩6.1.2 截面的慣性矩3.慣性半徑為了計算上的需要，常將慣性矩表達為圖形面積與某一長度平方的乘積，即6.1.2 截面的慣性矩6.1.2 截面的慣性矩6.1.3 慣性矩的平行移軸公式如圖所示 C 點為截面的形心，z 和 y 軸為形心軸。 z1和 y1軸分別與 z 和 y 軸平行，其間距分別為 a 和 b。在截面中任取一微面積 dA，它在兩坐標系中的坐標關系為z1 z b，y1 y a根據(jù)慣性矩定義可

4、知公式說明，截面圖形對任意軸的慣性矩，等于其對平行于該軸的形心軸的慣性矩，再加上截面面積與兩軸間距離平方的乘積，這就是慣性矩平行移軸公式。6.1.4 組合截面慣性矩的計算【例 6.2】 如圖所示 T 形截面，尺寸如圖所示，單位為 mm。 試求 T 形截面對形心軸zC和 yC的慣性矩。6.2 受彎構件的內(nèi)力6.2.1 直梁彎曲的構件1.分布荷載分布在某一面積上的荷載，如風荷載、雪荷載和梁的自重等。 計算時通常將分布荷載折算成沿梁長度方向連續(xù)分布的線荷載，線荷載的大小通常用荷載集度 q 來表示，線荷載的單位為牛每米（N / m）或千牛每米（ kN/ m）。 分布荷載又分為均布荷載（即在分布長度上各

5、點的荷載集度是相同的）和非均布荷載（即在分布長度上各點的荷載集度是不相同的）。6.2.1 直梁彎曲的構件2.集中荷載當分布荷載作用在梁上的長度與梁的全長相比很小時，可簡化為作用在梁上一點，稱為集中荷載，用符號 F 表示，其單位為牛（N）或千牛（kN）。3.集中力偶荷載作用在梁上的長度與梁的全長相比很小時，可簡化為作用在梁上某截面處的一對反向集中力，稱為集中力偶，用符號 M 表示，其單位為牛米（ Nm）或千牛米（ kNm）。6.2.1 直梁彎曲的構件工程中常見的梁，可分為以下三種：（1） 簡支梁：該梁的一端為固定鉸支座，另一端為可動鉸支座。（2） 外伸梁：一端或兩端向外伸出的簡支梁稱為外伸梁。（

6、3） 懸臂梁：該梁的一端為固定端支座，另一端為自由端。上述三種梁均屬于靜定梁，在荷載已知的條件下，靜定梁的全部支座反力均可由平衡方程求得。6.2.2 梁的內(nèi)力及計算1.梁的內(nèi)力剪力和彎矩設一簡支梁 AB如圖所示，現(xiàn)分析距支座 A 為 x 處的橫截面 mm 上的內(nèi)力。2.剪力和彎矩的計算求截面剪力和彎矩的基本方法是截面法，但應注意在取脫離體時，可取左段，也可以取右段，但應以計算簡便為準。6.2.2 梁的內(nèi)力及計算3.剪力和彎矩的正負符號規(guī)定內(nèi)力有正負之分，梁的彎曲內(nèi)力剪力和彎矩的正負符號規(guī)定如下：（1） 剪力符號 當截面上的剪力使所選的脫離體做順時針方向轉(zhuǎn)動為正，反之為負。（2） 彎矩符號 當截

7、面上的彎矩使所考慮的脫離體上部受壓，下部受拉時為正，反之為負。6.2.2 梁的內(nèi)力及計算【例 6.3】 如圖所示一簡支梁，承受兩個集中荷載作用，已知 F1 24 kN、F2 12 kN，試求指定截面 11、22 的剪力和彎矩。6.2.2 梁的內(nèi)力及計算【例 6.4】 如圖所示的懸臂梁，受均布荷載與集中荷載作用，試求 11 截面上的剪力和彎矩。6.2.2 梁的內(nèi)力及計算【例 6.5】一外伸梁，荷載及尺寸如圖所示。 試求截面 11、D 點稍左的 22截面和稍右的 33 截面上的剪力和彎矩。6.2.2 梁的內(nèi)力及計算【例 6.6】荷載及尺寸如圖所示的一簡支梁，試求 C 截面稍左和稍右的剪力和彎矩。6

8、.2.3 剪力圖和彎矩圖1.靜力法繪制內(nèi)力圖在外力作用下，梁的內(nèi)力圖都是函數(shù)圖形，若以橫坐標 x 表示梁橫截面的位置，則梁上各橫截面上的剪力和彎矩均可以表示為 x 的函數(shù)。 即V V（x） ； M M（x）以上二式，分別稱為梁的剪力方程和彎矩方程。 在列方程時，首先應建立坐標 x，一般以梁的左端為坐標原點。 然后根據(jù)平衡條件列方程、作圖。 并規(guī)定：以平行于梁軸線的 x 軸為基線，作剪力圖時，正剪力畫在基線的上方，負剪力畫在基線的下方；作彎矩圖時，正彎矩畫在基線的下方，負彎矩畫在基線的上方，并在圖中注明正負號。6.2.3 剪力圖和彎矩圖【例 6.7】 如圖所示懸臂梁，受均布荷載 q 作用，試繪制

9、此梁的剪力圖和彎矩圖。6.2.3 剪力圖和彎矩圖【例 6.8】 如圖所示的一簡支梁，受均布荷載作用，試繪制該梁的剪力圖和彎矩圖。6.2.3 剪力圖和彎矩圖【例 6.9】 如圖所示的一簡支梁，受一集中力作用，試繪制剪力圖和彎矩圖。6.2.3 剪力圖和彎矩圖【例 6.10】 如圖所示的一簡支梁，受集中力偶 M 作用，試繪此梁的剪力圖和彎矩圖。6.2.3 剪力圖和彎矩圖通過上述例題的計算，可將剪力圖和彎矩圖的繪制步驟歸納如下： 求支座反力。 梁上荷載不連續(xù)要分段，集中力、集中力偶和分布荷載的起止點作為分界點。 確定坐標原點，列出各梁段的剪力方程和彎矩方程。 繪出剪力圖和彎矩圖。 確定 Vmax 和

10、Mmax 的大小及其所在位置。6.2.3 剪力圖和彎矩圖2.用簡捷法繪制梁的剪力圖和彎矩圖6.2.3 剪力圖和彎矩圖6.2.3 剪力圖和彎矩圖【例 6.11】 如圖所示一外伸梁，梁上荷載及尺寸如圖所示，試繪制該梁的剪力圖和彎矩圖。6.2.3 剪力圖和彎矩圖【例 6.12】一簡支梁，梁上荷載及尺寸如圖所示，試繪制該梁的剪力圖和彎矩圖。6.2.3 剪力圖和彎矩圖簡捷法步驟歸納如下： 求支座反力。 定性分析。 根據(jù)梁上外力情況進行分段，再根據(jù)各梁段上的荷載情況，初步確定各梁段內(nèi)力圖的大致形狀。 定量計算。 根據(jù)各梁段內(nèi)力圖的大致形狀，算出各控制截面的內(nèi)力值，最終繪出梁的內(nèi)力圖。6.2.3 剪力圖和彎

11、矩圖3.用疊加法畫剪力圖和彎矩圖一般梁在荷載作用下變形微小，其跨長的改變量可忽略不計，因此在求梁的支座反力和內(nèi)力時，均可按原始尺寸計算。 當梁上有幾種荷載作用時，梁的支座反力和內(nèi)力可以這樣計算：先分別計算每種荷載單獨作用時的支座反力和內(nèi)力，然后再將這些分別計算的結(jié)果代數(shù)相加。疊加后的內(nèi)力圖應注意下述兩點： 在各種荷載單獨作用下，其內(nèi)力圖變化規(guī)律均為直線時，疊加后的內(nèi)力圖仍為直線。 在各種荷載單獨作用下，其內(nèi)力圖變化規(guī)律有的是直線，有的是曲線或均為曲線時，疊加后的內(nèi)力圖為曲線。6.2.3 剪力圖和彎矩圖6.2.3 剪力圖和彎矩圖【例 6.13】 用疊加法繪制下圖所示簡支梁的剪力圖和彎矩圖。6.3

12、 受彎構件的應力及強度計算6.3.1 梁的正應力及正應力強度計算1.試驗觀察與分析用一橡皮梁進行試驗觀察，先在梁的側(cè)面畫上與梁軸線平行的水平縱向線和與縱向線垂直的豎直線，再在對稱于跨中點的位置上施加集中荷載，如圖a所示。梁變形后，可看到下列現(xiàn)象：（1） 各豎直線仍為直線，不過相互間轉(zhuǎn)了一個角度。（2） 各縱向水平直線變?yōu)榍€，但仍與豎直線垂直。（3） 向下凸一邊的縱向線伸長，逐步形成越靠近梁下邊緣伸長越多；向里凹進一邊的縱向線縮短，且越靠近梁上邊緣的縮短越多。根據(jù)上述試驗現(xiàn)象，可作出如下分析和假設：（1） 平面假設：梁的橫截面在變形后仍為一個平面，逐步形成與變形后的梁軸線垂直，只是轉(zhuǎn)了一個角度

13、。（2） 由于梁上部各層縱向纖維縮短，下部各層縱向纖維伸長，中間必有一層縱向纖維既不伸長也不縮短，這層纖維稱為中性層。6.3.1 梁的正應力及正應力強度計算2.正應力公式的推導（1） 幾何變形方面在純彎曲情況下， 為常量，所以線應變 與該纖維到中性層的距離 y 成正比，與中性層曲率半徑 成反比。6.3.1 梁的正應力及正應力強度計算（2） 應力與應變的物理關系材料在彈性范圍內(nèi)，正應力與線應變的關系是服從胡克定律的，即 E推得式中 E、 為常量，所以橫截面上任意一點的正應力 與該點離中性軸的距離 y成正比。6.3.1 梁的正應力及正應力強度計算（3） 靜力平衡條件橫截面上任意一點的正應力 與該截

14、面上的彎矩 M 和該點到中性軸的距離 y 成正比，與橫截面對中性軸的慣性矩 Iz成反比。 正應力沿截面高度成直線變化，離中性軸愈遠正應力愈大，中性軸上的正應力等于零。 梁的橫截面由中性軸將其分為上下兩部分，一部分受拉，另一部分受壓。6.3.1 梁的正應力及正應力強度計算【例 6.14】 一矩形截面簡支梁，荷載及截面尺寸如圖所示（未注的尺寸單位為：mm），試計算跨中截面上 a、b 兩點的正應力。6.3.1 梁的正應力及正應力強度計算在用公式 計算梁彎曲正應力時，應注意以下幾點： 在公式推導過程中運用了胡克定律，因此只有在材料處于彈性范圍時該式才適用。 在非純彎曲情況下，即橫截面同時存在彎矩和剪力

15、時，由于剪力對正應力的分布規(guī)律影響很小，因此，對非純彎曲的情況該式仍適用。 公式雖按矩形截面梁推導出來的，但對具有對稱軸的其他截面，如 T 形、工字形、圓形等，也都適用。 公式是在平面彎曲情況下推導出來的，故不適用于非平面彎曲的情況。6.3.1 梁的正應力及正應力強度計算3.梁的正應力強度條件為了保證梁的安全正常工作，梁內(nèi)的最大正應力不能超過材料的容許應力，即利用上式的強度條件，可進行以下三個方面的計算。（1） 強度校核（2） 選擇截面尺寸（3） 計算容許荷載再由 Mmax與荷載間的關系，求出梁所能承受的最大荷載。 6.3.1 梁的正應力及正應力強度計算【例 6.15】 一簡支梁，荷載及截面尺

16、寸如圖所示，木材彎曲容許應力 11 MPa，試校核其強度。6.3.1 梁的正應力及正應力強度計算【例 6.16】如圖所示一簡支梁，梁采用 No.20a 工字鋼，承受兩個對稱集中力 F 作用，材料的容許應力 170 MPa，試求該梁許可荷載 F。6.3.1 梁的正應力及正應力強度計算【例 6.17】一圓形截面木梁，梁上荷載及尺寸如圖所示，彎曲時木材的容許應力 10 MPa，試選擇該圓木梁的直徑。6.3.2 梁的剪應力及其強度條件1.矩形截面梁的剪應力橫截面上任一點的剪應力為6.3.2 梁的剪應力及其強度條件2.工字形截面的剪應力工字形截面由上下翼緣和腹板組成，剪應力主要分布在腹板上，由于腹板為窄

17、長的矩形，其剪應力計算公式為式中，b1為腹板的厚度，剪應力沿腹板高度按二次拋物線變化，如下圖所示。最大剪應力仍發(fā)生在中性軸上，其值為6.3.2 梁的剪應力及其強度條件3.剪應力強度條件梁在荷載作用下所產(chǎn)生的最大剪應力，不能超過材料的容許剪應力。 對全梁來說，最大剪應力發(fā)生在剪力最大的截面上，則梁的剪應力強度條件為在一般情況下，先按正應力強度條件選擇梁的截面尺寸和形狀，再用剪應力強度條件進行校核。6.3.2 梁的剪應力及其強度條件【例 6.18】 型號為 No.20a 的工字鋼外伸梁，荷載及尺寸如圖所示，材料的容許應力 170 MPa、 100 MPa，試校核此梁是否安全。6.3.2 梁的剪應力

18、及其強度條件【例 6.19】 一矩形簡支梁，荷載及尺寸如圖所示，彎曲時材料的容許應力 11MPa， 1.2 MPa，如取截面高寬比為 3 2，試確定矩形截面的高和寬。6.3.3 應力狀態(tài)1.平面應力狀態(tài)的應力分析（1） 斜截面上的應力如圖所示為從桿件中取出的一個平面應力狀態(tài)的單元體，各面上的應力如圖所示，且 x y 0。 6.3.3 應力狀態(tài)6.3.3 應力狀態(tài)（2） 正應力的極值如上所述，斜截面的傾斜角 不同，斜截面上的正應力必然有其極值，而正應力極值的截面恰為剪應力等于零的平面，正應力的極值也就是主應力。 主應力作用面的方位角： 主應力：6.3.3 應力狀態(tài)（3） 剪應力的極值同理，可求得任意斜截面上剪應力的極值及其所在截面的方位角 1。 主剪應力作用面的方位角： 主剪應力： 6.3.3 應力狀態(tài)2. 純剪應力狀態(tài)平面應力狀態(tài)單元體的四個側(cè)面上只有剪應力而無正應力時，稱為純剪應力狀態(tài)。6.3.3 應力狀態(tài)3. 主應力跡線如圖所示一簡支梁承受均布荷載作用時的主應力跡線，圖中實