高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提綱總定稿版

1、數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提綱總HUA system office room HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯集合及其運(yùn)算集合的概念、分類：二.集合的特征：確定性無序性互異性三.表示方法：列舉法描述法圖示法區(qū)間法四.兩種關(guān)系：從屬關(guān)系：對(duì)象、氏集合；包含關(guān)系：集合&、冬集合五.三種運(yùn)算：交集：=并集：AU = v I x e AsSix e B)補(bǔ)集：（；A = x I x e UMx e A六.運(yùn)算性質(zhì):AU0=A， Ap0=0.空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.若 則 AD8=A,An（LA）=0, AU（A）=U, （；,（；,A）= A.（5）（A）n（ 2）

2、= &（ AU B）,（CL：A）U（CViB） = Cv,（AnB）.集合%,2M3,，”的所有子集的個(gè)數(shù)為2，所有真子集的個(gè)數(shù)為2-1,所有非空真子集的個(gè)數(shù)為2”-2,所有二元子集（含有兩個(gè)元素的子集）的個(gè)數(shù)為簡(jiǎn)易邏輯邏輯聯(lián)結(jié)詞：.命題是可以判斷真假的語句的語句，其中判斷為正確的稱為真命題，判斷為錯(cuò)誤的為假命題.邏輯聯(lián)結(jié)詞有“或”、“且”、“非”.不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題，叫做簡(jiǎn)單命題，由簡(jiǎn)單命題再加上一些邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題叫復(fù)合命題.真值表：Pq非Pp且qP或q真真假真真真假假真假真真假真假假假假二.四種命題：.原命題：若則逆命題：若P則q,即交換原命題的條件和結(jié)論;否命題：若q則P，即

3、同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論;逆否命題：若P則1Q，即交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定.四個(gè)命題的關(guān)系：原命題為真，它的逆命題不一定為真；原命題為真，它的否命題不一定為真；原命題為真，它的逆否命題一定為真.三.充分條件與必要條件. “若則/是真命題，記做 =“若則，為假命題，記做分外.若 =9,則稱是q的充分條件，夕是的必要條件.若 =9，且，則稱是q的充分非必要條件；若p令q ,且 =9，則稱是q的必要非充分條件；若 =9，且 =q,則稱是6/的充要條件；若p令q ,且，則稱是7的既不充分也不必要條件.若的充分條件是則“np：若p的必要條件是則 =.第二章函數(shù)指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算分?jǐn)?shù)指數(shù)幕與根式

4、：如果x=a,則稱是。的次方根，。的次方根為0,若“W0,則 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，”的次方根有1個(gè)，記做底；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，負(fù)數(shù)沒有 次方根，正數(shù)的次方根有2個(gè)，其中正的次方根記做心.負(fù)的次方 根記做-右.負(fù)數(shù)沒有偶次方根；.兩個(gè)關(guān)系式：而）； =鬻|。| 為偶數(shù)3、正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義：消;行；-21正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義：4、分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì): d)am-an=an； (2)aman=a(3)()=；(4) (a。=1,其中陽、均為有理數(shù)，a, b均為正整數(shù)二.對(duì)數(shù)及其運(yùn)算.定義：若V=N(a0,且awl, N0),則Z; = logN.兩個(gè)對(duì)數(shù): 常用對(duì)數(shù):a = 10, b = logN

5、 = lgN；自然對(duì)數(shù)：a = e、2.71828, = log.N = lnN.三條性質(zhì): (D1的對(duì)數(shù)是0,即log。1=0；底數(shù)的對(duì)數(shù)是1，即k)ga = l；負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù).四條運(yùn)算法則:(l)oga(MN) = oga M +logfl N ；log。 = log. M -log” N ； Nlog. MH =n Iogfl M ； (4)log= log” M .n.其他運(yùn)算性質(zhì)：對(duì)數(shù)恒等式：，產(chǎn)*=；換底公式：1。8f=氈上； log涉log。/? log/, c = logq c ； logn b log/, a = l；(4)log /?, = logflb. m函數(shù)的概念

6、映射：設(shè)A、B兩個(gè)集合，如果按照某中對(duì)應(yīng)法則/,對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)就稱為從集合A到集合B的映射.二.函數(shù)：在某種變化過程中的兩個(gè)變量X、y,對(duì)于X在某個(gè)范圍內(nèi)的每 一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則，y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，則 稱），是x的函數(shù)，記做y = /（x）,其中x稱為自變量，x變化的范圍叫 做函數(shù)的定義域，和x對(duì)應(yīng)的），的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值y的變化范圍 叫做函數(shù)的值域.三.函數(shù)y = /（幻是由非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射.四.函數(shù)的三要素：解析式；定義域；值域.函數(shù)的解析式根據(jù)對(duì)應(yīng)法則的意義求函數(shù)的解析式；例如：已知/（W

7、 + l） = x + 2,求函數(shù)/*）的解析式.二.已知函數(shù)的解析式一般形式，求函數(shù)的解析式；例如：已知/（X）是一次函數(shù)，且/（x） = 4x +3,函數(shù)/（x）的解析 式.三.由函數(shù)/（X）的圖像受制約的條件，進(jìn)而求/（X）的解析式.函數(shù)的定義域一.根據(jù)給出函數(shù)的解析式求定義域:整式：xwR分式：分母不等于0偶次根式：被開方數(shù)大于或等于0含0次罌、負(fù)指數(shù)幕：底數(shù)不等于0對(duì)數(shù)：底數(shù)大于0,且不等于1,真數(shù)大于0二.根據(jù)對(duì)應(yīng)法則的意義求函數(shù)的定義域：例如：已知y = /(x)定義域?yàn)?,5,求y = /(3x + 2)定義域;已知y = /(3a+ 2)定義域?yàn)?,5,求y = /(x)定義

8、域；三.實(shí)際問題中，根據(jù)自變量的實(shí)際意義決定的定義域.函數(shù)的值域一.基本函數(shù)的值域問題:名稱解析式值域一次函數(shù)二次函數(shù)八皿 Acic-b1a 0 時(shí)，,+oo)4aa v 0 時(shí)，,4a反比例函數(shù)ylyeR,且0指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)二.求函數(shù)值域（最值）的常用方法：函數(shù)的值域決定于函數(shù)的解析式和定義域，因此求函數(shù)值域的方法往往取決于函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，常用解法有：觀察法、配方法、換元法（代數(shù)換元與三角換元）、常數(shù)分離法、單調(diào)性法、不等式法、*反函數(shù)法、*判別式法、*兒何構(gòu)造法和求導(dǎo) 數(shù)法等.反函數(shù).反函數(shù)：設(shè)函數(shù)y = /(x) (xeA)的值域是C,根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x, y的 美系,用y

9、把x表示出，得到X = (丁).若對(duì)于C中的每一y值，通過 x = 9(y),都有唯一的一個(gè)工與之對(duì)應(yīng)，那么，x = 9(y)就表示)，是自 變量，x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x = p(y) (y eC)叫做函數(shù) y = /(x) (xe A)的反函數(shù)，記作x = /(y),習(xí)慣上改寫成y = 1(x).二.函數(shù)/(X)存在反函數(shù)的條件是：戈、y一對(duì)應(yīng).三.求函數(shù)/(X)的反函數(shù)的方法：求原函數(shù)的值域，即反函數(shù)的定義域反解，用y表示戈，得x = /(y)交換工、y,得產(chǎn)尸結(jié)論，表明定義域 四.函數(shù))，= /)與其反函數(shù)y = /T(x)的關(guān)系:函數(shù)y = fM與N = /-,W的定義域與值

10、域互換.若)，= /*)圖像上存在點(diǎn)(a/),則，= /-/)的圖像上必有點(diǎn)(Am),即若 f(a)=b ,則廣(匕) = a.(3)函數(shù)y = /(x)與y = /f(x)的圖像關(guān)于直線y = x對(duì)稱.函數(shù)的奇偶性：定義：對(duì)于函數(shù)定義域中的任意一個(gè)x,如果滿足/(x) = /*)，則稱函數(shù)/為奇函數(shù)；如果滿足。(f) = /*),則 稱函數(shù)/G)為偶函數(shù).二.判斷函數(shù)/。)奇偶性的步驟：.判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果對(duì)稱可進(jìn)一步驗(yàn)證，如 果不對(duì)稱；.驗(yàn)證/*)與/(x)的關(guān)系，若滿足/(幻= /),則為奇函數(shù),若滿足 /(_幻=/(工)，則為偶函數(shù)，否則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

11、二.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.三.已知/*)、g(x)分別是定義在區(qū)間M、N (MCINW0)上的奇(偶)函數(shù)，分別根據(jù)條件判斷下列函數(shù)的奇偶性.奇奇奇奇奇偶偶X奇偶奇偶XX奇偶偶偶偶五.若奇函數(shù)/W的定義域包含。，則/(0) = 0.六.一次函數(shù)目(攵W0)是奇函數(shù)的充要條件是/? = 0;二次函數(shù)y =，+以+c ( w 0)是偶函數(shù)的充要條件是=0.函數(shù)的周期性:定義：對(duì)于函數(shù)/（X）,如果存在一個(gè)非零常數(shù)r,使得當(dāng)X取定義域內(nèi) 的每一個(gè)值時(shí)，都有y（x+T）=f）,則八力為周期函數(shù),7為這個(gè)函 數(shù)的一個(gè)周期.2.如果函數(shù)/G）所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那

12、么這個(gè)最小正數(shù)就 叫做/）的最小正周期.如果函數(shù)/*）的最小正周期為丁，則函數(shù)T/（ax）的最小正周期為函數(shù)的單調(diào)性定義：一般的，對(duì)于給定區(qū)間上的函數(shù)如果對(duì)于屬于此區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值占，G，當(dāng)王時(shí)滿足：/（$） /，則稱函數(shù)/a）在該區(qū)間上是增函數(shù)；/區(qū)） /（），則稱函數(shù)/）在該區(qū)間上是減函數(shù).二.判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法：1.定義法：取值；作差、變形；判斷：定論:求2.導(dǎo)數(shù)法: 求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù).*,)；解不等式/(x)0,所得X的范圍就是遞增區(qū)間；解不等式fx) 0,所得x的范圍就是遞減區(qū)間.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：對(duì)于復(fù)合函數(shù)y = /g(x),設(shè) = g(x),則y = /()

13、，可根據(jù)它們的單調(diào)性確定復(fù)合函數(shù)y = /g(x),具體判斷如下表：增增減減增減增減增減減增.奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同.函數(shù)的圖像一 .基本函數(shù)的圖像.二.圖像變換:將)，=fM圖像上每一點(diǎn)向上(攵。)或向下(女 0)或向右(力v 0)平移I川個(gè)單位，可得y = f(x + /i)的圖像將)，=/(a)圖像上的每一點(diǎn)橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)拉伸 1)或壓縮為原來的。倍，可得了 =硬(外的圖像將)，=fM圖像上的每一點(diǎn)縱橫坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)壓縮(。 1)或拉伸(02五.如果已知數(shù)列的笫1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)勺與它的前一項(xiàng)%一（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)

14、公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法.如：在數(shù)列“中，=1,其中”=L4t+1即為數(shù)歹1J1rl 2 2 B“的遞推公式，根據(jù)數(shù)列的遞推公式可以求出數(shù)列中的每一項(xiàng)，同時(shí)可根 據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)推斷出數(shù)列“的通項(xiàng)公式，至于猜測(cè)的合理性，可利用數(shù) 學(xué)歸納法進(jìn)行證明. TOC o 1-5 h z 37 IS如上述數(shù)列根據(jù)遞推公式可以得到：的=；，3=；，%=，312 -I% =三，進(jìn)一步可猜測(cè)“=、 ioz等差數(shù)列定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)， 那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用 字母4表示.二.通項(xiàng)

15、公式：若已知、d ,則 4“ = % + 5 -1)；若已知 am、d ,則 an = am + (n-m)d三.前項(xiàng)和公式：若已知出, a ,則S =；若已知、d ,則d 22注：(1)前項(xiàng)和公式S”的推導(dǎo)使用的是倒序相加法的方法.在數(shù)列“中，通項(xiàng)公式勾，前頂和公式S”均是關(guān)于項(xiàng)數(shù)的函 數(shù)，在等差數(shù)列”“通項(xiàng)公式明是關(guān)于的一次函數(shù)關(guān)系，前項(xiàng)和公式S”是關(guān)于的沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)關(guān)系.在等差數(shù)列中包含、d、%、S.這五個(gè)基本量，上述的公式 中均含有4基本量，因此在數(shù)列運(yùn)算中，只需知道其中任意3個(gè), 可以求出其余基本量.四.如果、b、c成等差數(shù)列，則稱b為與c的等差中項(xiàng)，= . 2五.證明數(shù)列伍

16、“是等差數(shù)列的方法：.利用定義證明：=d (n2).利用等差中項(xiàng)證明：=色上2.利用通項(xiàng)公式證明：an =an + b.利用前項(xiàng)和公式證明：S = an2 + bn六.性質(zhì)：在等差數(shù)列q中，.若某幾項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)成等差數(shù)列，則對(duì)應(yīng)的項(xiàng)也成等差數(shù)列，即：若+n = 2k，則 am+ an = 2ak .若兩項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)之和與另兩項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)之和相等，則對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和也相等,即： 若 m+=&+/, 則 am + an = ak + at.依次相鄰每k項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列，即：5, S-Sk，S3* - S2*成等差數(shù)列.勺，。”_2,，生，為仍成等差數(shù)列，其公差為4.三.等比數(shù)列定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)

17、與前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常 數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通 常用宇母t/SwO）表示.通項(xiàng)公式：若已知、q,則勺=4闖”，若已知、q,則為=勺4-”.前項(xiàng)和公式：當(dāng)公比9 = 1時(shí)，S” =叫當(dāng)公比qWl時(shí)，若已知、明、9，則5 =與組1一9若已知可、q、n ,則Sn = - i-q注：等比數(shù)列前項(xiàng)和公式s”的推導(dǎo)使用的是錯(cuò)位相減的方法.在等比數(shù)列中包含可、q、“、叫、S”這五個(gè)基本量，上述的公式 中均含有4基本量，因此在數(shù)列運(yùn)算中，只需知道其中任意3個(gè), 可以求出其余基本量.若a、b、c成等比數(shù)列，則稱。為“與c的等比中項(xiàng)，且。、b、c滿 足關(guān)系式 =547.證

18、明數(shù)列“是等比數(shù)列的方法：.利用定義證明:- = q (n2) an-.利用等比中項(xiàng)證明：.利用通項(xiàng)公式證明：% = W六.性質(zhì)：在等比數(shù)列%中，.若某幾項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)成等差數(shù)列，則對(duì)應(yīng)的項(xiàng)成等比數(shù)列,即：若 m+n = 2k，則 am - an =ak2.若兩項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)之和與另兩項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)之和相等，則對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積相等，即： 若 m + n = k+l, 則am - an = ak a,.若數(shù)列公比gw-1,則依次相鄰每k項(xiàng)的和仍成等比數(shù)列，即S,，Sk，S3”S2&成等比數(shù)列。.%，an ,。，。，q仍成等比數(shù)列，其公比為 q數(shù)列求和.常見數(shù)列的前n項(xiàng)和：自然數(shù)數(shù)列：1, 2, 3,，n,5 =吧?1奇

19、數(shù)列：1 3, 5,，2一1,S“ = 2偶數(shù)列:2, 4, 6,，2nf Sn = n（n + 1）自然數(shù)平方數(shù)列：儼，22 , 32 ,，2,s“=（ + l）（2 + l）.等差、等比數(shù)列：利用等差、等比數(shù)列的求和公式.數(shù)列%滿足：其中冊(cè)、勺為等差或者等比數(shù)列.方法：拆項(xiàng)，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)等差或等比各項(xiàng)的和(差).數(shù)列%滿足:也，其中4是公差為d的等差數(shù)列；4是公比為鄉(xiāng)的等比數(shù)列.方法：錯(cuò)位相減.若數(shù)列/滿足：4=1 ,其中女、。、人均為常數(shù).(kn + a)(kn + b)方法：裂項(xiàng)法，設(shè)為= 七)，其中為可 (ku + a)(& + b) kn + a kn + b確定的參數(shù).第四章三角函

20、數(shù)角度與弧度制.弧度與角度的互化：產(chǎn)= 180.終邊相同角：與角a有相同終邊的角的集合可以表示為:.特殊角的集合:各個(gè)象限的角的集合第一象限角：al2k;r va + 2k/r,Z eZ 2第二象限角：a|C + 2k;ra% + 2攵；r,k eZ 23第三象限角：a九+ 2k7T ct 二九+ 2k九，k eZ23第四象限角：&I 二4 + 2k 九 a 2 + 2%/r, k eZ) 2角的終邊在各個(gè)坐標(biāo)軸上的角的集合終邊在X軸的角：ala = A乃次eZ終邊在)，軸的角：ala = g + JbrMeZ終邊在坐標(biāo)軸上的角：。誨=攵2,keZ 2終邊在第一三象限角平分線上：ala = 2

21、 + A/r,%eZ終邊在第二四象限角平分線上：ala = m；r + k況keZ 4.弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式設(shè)扇形的半徑為r,圓心角為a，則弧長(zhǎng)/ = II-r ,扇形的面積S = -/-r = -lal-r2 22任意角三角函數(shù)的定義:定義：以角a頂點(diǎn)為原點(diǎn)0,始邊為x軸的非負(fù)半軸建立直角坐標(biāo)系。在角a的終邊上任取不同于原點(diǎn)0的一點(diǎn)產(chǎn)（乂），），設(shè)P點(diǎn)與原點(diǎn)。的距離為r （一0）, 則|尸0| = / =小+）,2 ,則角。的六個(gè)三角函 數(shù)依次為：sin a =y 一,rXcos a = - 9 rytan ex =一Xesc a =rsec tz =,cota =XXy二.三角函數(shù)的定義

22、域與值域:定義域值域RRR三.三角函數(shù)值的符號(hào):四.三角函數(shù)線正弦線、余弦線正切線以角。的終邊與 單位圓的公共點(diǎn)P作 x軸的垂線PM_Lx 軸，垂足為例，則過點(diǎn)A(1,O)作x 軸的垂線交。的終邊 或終邊的延長(zhǎng)線于r 點(diǎn)，則：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式:倒數(shù)關(guān)系：sinacscz = l、 cos2secz = l、 tanz cotz = l商數(shù)關(guān)系:sine tan a =cos acos a cot a =sin a平方關(guān)系：sin2 a + cos2 a = 1正弦、余弦的誘導(dǎo)公式:sin(2Z4 + a) = sin a; cos(2Z4 + a) = cos a .sin(4 - a)

23、 = sin a ； cos(乃 一 a) = -cos a .sin( + a) = -sina ； cos( +(x) = -cosa .sin(2 - a) = -sin a ； cos(24 一 a) = cos a .sin(a) = -sin a ； cos(-6z) = cos a .sin(-a)= cos a ； cos(-a) = sina . 22sin( + a) = cosa ； cost + /2 sin(a )44sinc + Qcos。= 2sin(a + ) ； cosx-/3sinx = 2sin(-a) 36.兩角和與差的正切公式的變形:二倍角公式一.基本

24、公式: 二.常見關(guān)系式:1. 1 + sin 2。= (sin a + cos a)2 1 - sin 2a = (sin a - cos a)2c . 71 - cos 2a )1+cos la. snr a =cos- a =三角函數(shù)的圖像:正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像:.正弦函數(shù)y = sinx.余弦函數(shù)），=8$X2.正切函數(shù)），=1211.1二.三角函數(shù)的圖象變換：y = sinx振播變煥”，= Asinx：將y = sinx圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)保持不變， 縱坐標(biāo)拉伸（A 1）或壓縮（OAy = sin cox：將y = sin x圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)保持不變， 橫坐標(biāo)壓縮（G 1）或拉伸（0

25、 。 y = sin（x +。）：將 y = sin x 的圖象向右（p 0）平移191個(gè)單位得到.函數(shù)y = Asin（5 + 0）（A,g0,AW1）的圖象可以看作是由函數(shù)y = sinx的 圖象分別經(jīng)過下面的兩種方法得到：（Dy = sinx 出“ y = sin（x + ）將），=sinx的圖象向左（夕 0）或向右（夕 1）或拉伸（0 1）或壓縮（0 v A V1）為原來的A倍，可得函數(shù)），=Asin（5 + 0）圖象.（2） y = sinv 假期變換 = sin 5將y = sin x圖象點(diǎn)縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)壓縮（co 1）或拉伸（0 v刃v 1）為原來的L倍，可以得到函數(shù)y

26、= sin 0工圖象； co將得到的圖象向左（夕 0）或向右（0 1）或壓縮（。v A)為向量a的坐標(biāo)，記做 =(x,y).向量的坐標(biāo)與起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即：向量a = (x,y)三士向量三對(duì)應(yīng)2 點(diǎn) A (x, y).平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè)。=(N，y), 6 =(孫 )，AwR，則：(Da+b=(xl +x2,yl+y2); _6=(內(nèi)一工2，)，一乃)；3) Aa =(2和九升).若點(diǎn)力(斗必)，B(x2,y2), !?!| AB = (xz-xI,y2-yl).向量 = (%,%)與7 =(孫必)共線的充要條件是、一工跖= 平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律：1.兩個(gè)向量的夾角：

27、已知兩個(gè)非零向量，作&X = Z,礪=6，則NAO3 = e(0180 )叫做向量l與石的夾角.當(dāng)8 = 0時(shí)，與坂同向；當(dāng)8 = 180時(shí); 與坂反向，如果與辦的夾 角是90時(shí)，則稱二與B垂直，記作Z_lB.2 ,兩個(gè)向量的數(shù)量積:已知兩個(gè)非零向量與否,它們的夾角為6,則數(shù)量lZl-Rlyos8叫做。與B 的數(shù)量積，記作B|J： a-b=a I-I/? I-cos .規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即。工=0.向量數(shù)量積的幾何意義： i-cos，叫做向量在方向上的投影,其中當(dāng)e為銳角時(shí),它是正 值，當(dāng)8為鈍角時(shí)，它是負(fù)值，當(dāng)8 = 90時(shí)，它是0,當(dāng) =0時(shí)，它是 -b,的幾何意義是：數(shù)

28、量積7石等于的長(zhǎng)度1%與B在的方向上的投 影Ri cos。的乘積.向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)1、B都是非零向量，夕是與;的夾角，則：(l)d = a-e = a cos0 ( e是與B方向相同的單位向量)。/? 5 = 0當(dāng)與B同向時(shí)，a-b=ab；當(dāng)1與B反向時(shí)，= 特殊的，a-a=a2 ,或者171 =而了(4)cos6 = 一一 a-b(5)一 臼VI力法|.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：(l)a-b = b-a ；(4a) b = A(a b) = a-(Ab)(a + B) c = a c + Z? c.向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：(D設(shè)a =(N，y), b =(x2,y2),則。力=% +跖若向量a

29、 = (%, y), =(,乃)垂直的充要條件是xixi + M乃=0 若a = (x,y),則a = x2 + y2 .(4)設(shè) 4(冷弘),B(x2,y2),則 I A8I =一 改尸+一,尸.線段的定比分點(diǎn)與平移.點(diǎn)P分胭所成的比：設(shè)匕，鳥是直線/上的兩點(diǎn)，P是/上不同于鳥的任一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù) 丸，使片戶=/尸g,則見叫做點(diǎn)。分福所成的比.定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)耳(士加,Egf)，若點(diǎn)P(x,y)分職所成的比為X,則點(diǎn)P(x,y)_ x + Ax2的坐標(biāo)滿足：1 + .、一1+L1 + 2.中點(diǎn)坐標(biāo)公式：2若點(diǎn)尸(%,y)為4即必),，(。2)的中點(diǎn)，則.平移公式:x =x + h若點(diǎn)尸(x

30、,y)沿向量=仇公平移至點(diǎn)則 yf = y + k第六章不等式不等式的性質(zhì).兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)：a-hOOab.反對(duì)稱性：如果那么 V4;如果4V，則.傳遞性：如果且 C,那么4C.加法性質(zhì)：如果4。，那么4 + C + C.推論1：如果4+C,那么推論 2：如果 /?, c d ,那么 ” + c + d.推論 3：如果 /?, cd 那么 a-d -c.乘法性質(zhì)：如果/?, c0,那么如果a 。，c v0 ,那么改。0 , c J 0,那么推論2：如果那么且 1).推論3：如果ab 0 ,那么 a b*推論4：如果 0 , od 0,那么色 d c.開方性質(zhì)：如果那么 底(n w N

31、,且 1). a2 +h2 2ab (a.b e R) ； a + b (a.b 0).注：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)；小1/a + b- .+久2l)ab； ab 0第1步：將的最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)，并分解為若干一次因式的乘積，即：(x + 3)(x +1)2 (a- - l)(x - 2)3(x - 5) 0第2步：將方程x) = 0的根標(biāo)在數(shù)軸上，并從右上方依次穿過各點(diǎn)畫 曲線，且奇穿過，偶回頭。第3步：根據(jù)曲線顯示的/*)的值的符號(hào)的變化規(guī)律，寫出不等式的 解集。xl-3x -1或一1 vx00/(x)g(x)0；300/(x).g(x)oo|/Ww-； -ooy(x).g)og(x) g(

32、x)w。 g(x) g(x)wo3.紅)？) mg(x)-g(x)0 g(X)5.含絕對(duì)值的不等式：L I /(x) I g(x) /(x) lg(x)l f(x) + g(x) /(x)-g(x)0 x-a + x-b on (a 0)或a xb或(x - a) + (b - x) v m (x 一 a) + (x-/?)a/b .r.定義：如果一條直線1和一個(gè)平面a相交，并且和平面Q內(nèi) 的任意一條直線都垂直，我們就說直線1和平面a互相垂直.其中直線1叫做平面的垂線，平面a叫做直線1的垂面.交點(diǎn)叫做垂足.直線I與平面a垂直記作：_La.直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的 兩

33、條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.直線和平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于平面,那麼這兩條直線平行.點(diǎn)到平面的距離的定義：從平面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.直線和平面的距離的定義：一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意 一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離.三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一 條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè) 平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直.PO a,O ea推理模式：PACa = A =a_LAO. a u a.

34、a AP注意：三垂線指PA, PO, AO都垂直Q內(nèi)的直線包其實(shí)質(zhì)是：斜線和平面內(nèi)一條直線垂直的判定和性質(zhì)定理.要考慮a的位置，并注意兩定理交替使用.二.空間平面與平面沒有公共點(diǎn)一一兩平面平行.兩個(gè)平面的位置關(guān)系有兩種:有一條公共直線一一兩平面相交線都平行于一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直au 0定理的模式：9alia b/a推論：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交 直線，那么這兩個(gè)平面互相平行.a(b = Pya u c,Z?u = P；u u 0,b u p. a/ a,b/Zb9 = all 0.兩個(gè)平面平行的性質(zhì)

35、:（1）如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面.（2）如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行.【附】.證明兩平面平行的方法：（1）利用定義證明。利用反證法，假設(shè)兩平面不平行，則它們必相交，再 導(dǎo)出矛盾。（2）判定定理：一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，則這兩 個(gè)平面平行，這個(gè)定理可簡(jiǎn)記為線面平行則面面平行。用符號(hào)表示是：an b, aC a , b（= a , a B , b F ,則。6.（3）垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行。用符號(hào)表示是：aa , a_LB 則。.（4）平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行.all p,ally pily.兩個(gè)平面平行

36、的性質(zhì)有五條:（1）兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任一直線必平行于另一個(gè)平面，這個(gè)定理可簡(jiǎn)記為：“面面平行，則線面平行”。用符號(hào)表示是：aB, aUQ,則（2）如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行，這 個(gè)定理可簡(jiǎn)記為：“面面平行，則線線平行”。用符號(hào)表示是：a A y=a, P n y 二b, Rlj a/7b.（3） 一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)平面，則它也垂直于另一個(gè)平 面。這個(gè)定理可用于證明線面垂直。用符號(hào)表示是：aa ,則a（4）夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等。（5）過平面外一點(diǎn)只有一個(gè)平面與已知平面平行。.兩個(gè)平面垂直的定義： 相交成直二面角的兩個(gè)平面叫做互

37、相垂直的平面。.兩平面垂直的判定定理：（線面垂直=面面垂直） 如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。.兩平面垂直的性質(zhì)定理：（面面垂直=線面垂直）若兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另 一個(gè)平面。三.空間向量及運(yùn)算.空間向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量.注：空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量.向量一般用有向線段表示。同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向 量.空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示.空間向量的運(yùn)算定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下運(yùn)算律：加法交換律：a+b = b+a(2 功口法結(jié)合律：(a

38、 + b) + c = a + (b+c)數(shù)乘分配律：A(a + b) = Ail + Ab.共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量.不平行于6記作當(dāng)我們說向量7、6共線(或時(shí)，表示7、6的有向線段所在的 直線可能是同一直線，也可能是平行直線.共線向量定理及其推論：共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量7、b (6工6) , 73的充要條件是存在實(shí)數(shù)1，使7 =推論：如果/為經(jīng)過已知點(diǎn)月且平行于已知非零向量7的直線，那么對(duì) 于任意一點(diǎn)。點(diǎn)尸在直線/上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t滿足等式OP =OA+t a.其中向量不叫做直線/的方向向量.向量與平面平行：已知

39、平面。和向量），作次=五，如果直線QA平行于a或在a內(nèi)，那 么我們說向量）平行于平面a,記作：alia.通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量.說明：空間任意的兩向量都是共面的.共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，p與向量,萬共面的充要條件是存在實(shí)數(shù) x, y 使 = xii + yb.推論：空間一點(diǎn)P位于平面M48內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì) 使礪=入而+ y該或?qū)臻g任一點(diǎn)0,有9=兩+八柘+ 丁痂式叫做平面的向量表達(dá)式.空間向量基本定理：如果三個(gè)向量,石曰不共面，那么對(duì)空間任一向量,存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使 =壇+）石+法推論：設(shè)O.A,8,C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空

40、間任一點(diǎn)P,都存在唯一的 三個(gè)有序?qū)崝?shù)乂y,Z，使麗= xE + WS + z反.空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量7/；,在空間任取一點(diǎn)0,作。4 =%方= /；,則NAO8 叫做向量不與5的夾角，記作；且規(guī)定0方,6乃，顯然有=;若v%B=二，則稱)與坂互相垂直，記作：alb.2.向量的模：設(shè)函=2,則有向線段函的長(zhǎng)度叫做向量)的長(zhǎng)度或模，記作：京1.向量的數(shù)量積:a-b = a-b-cos.已知向量方=不和軸/, ?是/上與/同方向的單位向量，作點(diǎn)A在/上 的射影A,作點(diǎn)3在/上的射影力,則 W叫做向量而在軸/上或在？上的 正射影.可以證明血；的長(zhǎng)度1初1=1而lcosvM1TMZI

41、.空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：ire =ii cos . (2) a Lb /? =0 . (3) al2=ci -a .空間向量數(shù)量積運(yùn)算律:（Aa）-b=A（a-b） = a-（Ab）. （2） a-b=b a （交換律）（3）a-（b+c） = a b+ci-c （分配律）.四.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo)），y 軸是縱軸（對(duì)應(yīng)為縱軸），z軸是豎軸（對(duì)應(yīng)為豎坐標(biāo)）.令a = （4,&,氏），1 =（仇也也），則 a + b = （aIb 1 02b2。3b J 4a =（而】及2,幽3）（% 金r）4 =d+。2。2+。33 a b。=肪,肪

42、）.。3=勸3（/ w R）= a -L =Qd+。）/?）+。383= 0 % b2 byR =屈=la、J （用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：p|2 = n-n = p| = yja a ）O空間兩點(diǎn)的距離公式：d = Jd9+（乃f ）2+（Z2-ZI）2.（2）法向量：若向量Z所在直線垂直于平面%則稱這個(gè)向量垂直于平面,記作;如果;；_La那么向量;叫做平面a的法向量.（3）用向量的常用方法: o利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面。的法向量，AB是平面a的一條射線，其中Aca,則點(diǎn)B到平面a的距離為理上.1/?1o利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)二冠分別是二面角aT-尸

43、中平面 的法向量，則二無所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大?。ǘ较蛳嗤瑒t為補(bǔ)角，二;T反方，則為其夾角）.。證直線和平面平行定理：已知直線平面a, A Bea,C Da ,且CDE三點(diǎn)不共線，則aa的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)加使通=2方+3.（常設(shè)荏=沅5+茄求解4若兒存在即證畢,若大不存在，則直線AB與平面相交）.五.空間的角.異面直線。力所成角的定義：已知兩條異面直線a、b,經(jīng)過空間任一點(diǎn) 0作直線a /a, bb,由于a和b所成角的大小與點(diǎn)0的選擇無關(guān), 我們把a(bǔ)與b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角 （或夾角）.直線與平面所成角。:（1）直線與平面平行或直線在平

44、面內(nèi)，則8 = 0度（2）直線與平面垂直，則6 = 90度.（3）直線是平面的斜線，則6定義為一個(gè)平面的斜線和它在這個(gè)平面內(nèi) 的射影的夾角，叫做斜線個(gè)平面所成的角（或斜線和平面的夾角）.最小角定理：平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)任一條直線所成的角中最小的角。.二面角的概念：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面 角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面。.二面角的平面角：一個(gè)平面垂至于二面角a T-B的棱1,且與兩個(gè)半平面 的交線分別是射線OA、0B, 0為垂足，則A0B叫做二面角a-l-B的平面角。（二面角的大小范圍是0度180度）六.空間距

45、離.點(diǎn)到平面的距離：一點(diǎn)到它在一個(gè)平面內(nèi)的正射線的距離叫做這一點(diǎn)到這 個(gè)平面的距離。.直線到平面的距離：一條直線上的任一點(diǎn)到與它平行的平面的距離，叫做 這條直線到平面的距離。.兩個(gè)平面的距離：兩個(gè)平行平面的公垂線的長(zhǎng)度，叫做兩個(gè)平行平面的距 離。.異面直線間的距離：兩條異面直線的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線的距離。七.空間角.空間距離綜合八.棱柱L棱柱.直棱柱側(cè)面積：5 = 0 （。為底面周長(zhǎng)，力是高）該公式是利用直棱柱的側(cè) 面展開圖為矩形得出的.斜棱住側(cè)面積：s = w（G是斜棱柱直截面周長(zhǎng)，/是斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)） 該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形得出的.四棱柱 n 平行六面體

46、o 直平行六面體n長(zhǎng)方體 n 正四棱柱 n 正方體.直四棱柱 c 平行六面體二直平行六面體.棱柱具有的性質(zhì)：o棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的/T7各個(gè)側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形.o棱柱的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等多邊形.o過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.注：。棱柱有一個(gè)側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測(cè)是直棱柱.（X）（直棱柱不能保證底面是銀形可如圖）o （直棱柱定義）棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.。平行六面體：定理一：幸行夫而禰向舟府經(jīng)女手，支，并且在交點(diǎn)處互相平分.注:四棱柱的對(duì)角線不一定相交于一點(diǎn).定理二：長(zhǎng)方體的一條對(duì)

47、角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和.推論一：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所成的角為則cos2 a + cos2 /7 + cos2 7 = 1 推論二：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三各側(cè)面所成的角為a/j，則cos2 a + cos2 萬 + cos2 y = 2 .注:。有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.（X）（斜四面體的兩個(gè)平行 的平面可以為矩形）。各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（X）（應(yīng)是各側(cè)面都是正 方形的宣棱柱才行）。對(duì)角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長(zhǎng)方體.（X）（只能推出 對(duì)角線相等，推不出底面為矩形）。棱柱成為直棱柱的一個(gè)必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與

48、底面的 兩條邊垂直.（兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應(yīng)是充要 條件）九.棱錐棱錐：棱錐是一個(gè)面為多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.注:一個(gè)棱錐可以四各面都為直角三角形.一個(gè)棱柱可以分成等體積的三個(gè)三棱錐；所以Vg=Sh =3V峰.o正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面的射影為底面的中心.注:。.正四棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）。.正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正側(cè)棱與底棱不一定相等iii.正棱錐定義的推論：若一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等）；底面為正多邊形.正棱錐的側(cè)面積：s = _Lch （底面周長(zhǎng)為c,斜高為/）

49、 2 TOC o 1-5 h z qS底o(hù)棱錐的側(cè)聊與底面積的射影公式：S側(cè)二區(qū)二（側(cè)面與底面成的二面附：以知C_L/, cosa a = b , a為二面角S底則 S=q/。 , S）= l b , cosaa=。 = o o o 得 Sriij =.2- 2cosa注：S為任意多邊形的面積（可分別多個(gè)三角形的方法）.o棱錐具有的性質(zhì)：正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上 的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的 高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形.o特殊棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影位置：0棱錐的側(cè)棱

50、長(zhǎng)均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.。棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形 的外心.-棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形 內(nèi)心.o棱錐的頂點(diǎn)到底面各邊距離相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi) 心.o三棱錐有兩組對(duì)棱垂直，則頂點(diǎn)在底面的射影為三角形垂心.o三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點(diǎn)在底面上的射影為三角形的垂心.o每個(gè)四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點(diǎn)，此點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離等于球半徑;o每個(gè)四面體都有內(nèi)切球，球心/是四面體各個(gè)二面角的平分面的交點(diǎn)，到各面的距離等于半徑.注:。.各個(gè)側(cè)面都是等腰三角形，且底面

51、是正方形的棱錐是正四棱錐.D（X）（各個(gè)側(cè)面的等腰三角形不知是否全等）A .。.若一個(gè)三角錐，兩條對(duì)角線互相垂直，則第三對(duì)角線必然簡(jiǎn)證：ABJ_CD, ACJ_BD = BCJ_AD.令瓦=3而=2n得就=元-氟而=三就方=立二已知羨仁=0花/二）=0=ac-bc = O則麗.石=o。.空間四邊形0ABC且四邊長(zhǎng)相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊形 一定是矩形.。.若是四邊長(zhǎng)與對(duì)角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊是一 定是正方形.簡(jiǎn)證：取AC中點(diǎn)。，則必_L4C,8OAC = AC_L平面OOB = AC上BO = NFGH = 90易知EFGH為平行四邊形= EFGH為長(zhǎng)方形.若對(duì)角線等

52、，則上萬= AG = AG 為正方形.十.圓柱.圓錐圖形定義軸直線06直線so有關(guān)線母線底面圓圓平行于圓圓有底關(guān)面的截面軸截面全等的矩形全等的等腰三角形側(cè)面及展開圖十一.球球：。球的截面是一個(gè)圓面.球的表面積公式：S=4冰t球的體積公式：V=g砥3.o緯度、經(jīng)度：緯度：地球上一點(diǎn)P的緯度是指經(jīng)過P點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的角的 度數(shù).經(jīng)度：地球上A8兩點(diǎn)的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過這兩點(diǎn)的經(jīng)線與地軸所 確定的二個(gè)半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)A的經(jīng)線是本初子 午線時(shí)，這個(gè)二面角的度數(shù)就是8點(diǎn)的經(jīng)度.附：圓柱體積：1/=2力3為半徑，力為高）圓錐體積：V =（，為半徑，力為高）0錐形體積6（S為

53、底面積，力為高）4343 44344（3）.0內(nèi)切球：當(dāng)四面體為正四面體時(shí)，設(shè)邊長(zhǎng)為a,力=”,注：球內(nèi)切于四面體：VB.ACD=1-SM R 3 + -Ss-R=Sc-h0外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式.十二立體幾何綜合問題第八章直線和圓的方程直線的方程1、傾斜角：一條直線L向上的方向與X軸的正方向所成的最小正角，叫做直線的傾斜角，范圍為0z）.斜率：當(dāng)直線的傾斜角不是90時(shí)，則稱其正切值為該直線的斜率，即k=tan 0在平面直角坐標(biāo)系中表示 直線Ax+8），+C = 0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域（半平面）不含邊界 線.不等式Av+ 5），+。之0所表示的平面區(qū)域（半平面）包括

54、邊界線.（2）對(duì)于直線Ax+ By+C = 0同一側(cè)的所有點(diǎn)（x, y）,使得Ax + By + C 的值符號(hào)相同。因此,如果直線Ar+8.v+C = 0一側(cè)的點(diǎn)使Av + By + C0,另一側(cè)的點(diǎn)就使Ar + By + C 0 （或Ax+ 3）+ C0).特殊地，當(dāng)=。=0時(shí)，圓心在原點(diǎn)的圓 的方程為：x2+/=r2.2、圓的一般方程/+)，2+。1 + +/=0,圓心為點(diǎn)半徑22ylD2+E2-4F r =其中。2+七24/0.3、二元二次方程A/+8町+ C）c+h +y+b=0,表示圓的方程的充要條件是：、/項(xiàng)）,2項(xiàng)的系數(shù)相同且不為0,即4=。工0；、沒有xy項(xiàng)，即 B=0；、D2

55、+E2-4AF0. y* * 尸CCS夕4、圓。：*一，）2+。，一）2=/的參數(shù)方程為 ,（。為參數(shù)）.特y = b + rsinO殊地，x2 + ）,2 = r2的參數(shù)方程為F = rCOSf （ 0為參數(shù)）. y = rsind五.直線與圓的位置關(guān)系將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的判別式為,圓心C到直線L的距離為d,則直線與圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系：相切Ud=r A =0相交OdGO A0相離 dr A 02、圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的半徑分別為R和r,圓心距為d,則兩圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系:外離 dR+r外切Od=R+r相交 OR-rdR+r內(nèi)切 Ud=Rr內(nèi)含Od |F

56、F/)的點(diǎn)的軌跡1.到兩定點(diǎn)R.R的距 離之差的絕對(duì)值為定 值 2a (02a|FRl)的 點(diǎn)的軌跡2.與定點(diǎn)和直線的距離之比為定值e的點(diǎn)的軌跡.（0el）與定點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡.圖形方程標(biāo)準(zhǔn)方程22二十 1 = 1(4 0)少 b-22二一二=1 (a0,b0) cr b-y-2px參數(shù)方程卜=”廣（t為參數(shù)） y = 2 Pt范圍一a?x?a, b?y?b|x|?a, y?Rx?0中心原點(diǎn)0 (0, 0)原點(diǎn)0 (0, 0)頂點(diǎn)(a, 0),(一(a, 0), (a, 0)(0, 0)a, 0), (0, b), (0, b)對(duì)稱軸X軸，y軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a,短軸長(zhǎng)2bx軸，y軸；實(shí)

57、軸長(zhǎng)2a,虛軸長(zhǎng)2b.X軸隹占J、 J、FMCFKc, 0)FKCFKc,。)焦距2c Cc=ya2 -b )2c (c=y/a2 +h2 )離心率e=l準(zhǔn)線x cX二土右 c漸近線b y= x焦半徑通徑2p焦參數(shù)P.橢圓的定義：第一種定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)瑪、艮的距離之和等于常數(shù)(大于I FR I )的 點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距.第二種定義:平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的 比是小于1的正常數(shù)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓，定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線叫 做橢圓的準(zhǔn)線.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：22-r + r = 1( /? 0),焦點(diǎn)：R (c,

58、 0), Fc(c, 0),其中 c= y/(r b .cr b-22- = l(f/ /? 0),焦點(diǎn)：F (0, -c), F2(0, c),其中 c- -b- . lr cr.橢圓的參數(shù)方程：F = cse,(參數(shù)0是橢圓上任意一點(diǎn)的離心率). y = sin。.橢圓的兒何性質(zhì)：以標(biāo)準(zhǔn)方程二十二=1( b 0)為例：cr b-范圍：x Wa, y Wb;對(duì)稱性:對(duì)稱軸x=0, y=0,對(duì)稱中心為0(0, 0);頂點(diǎn) A(a,0),A (-a,0),B(0,b),B (0,-b);長(zhǎng)軸 AA |=2a,短軸BB =2b;離心率:e=二0el; a2準(zhǔn)線x= ; c焦半徑：PRUa+ex,

59、iPFzUa-ex,其中P(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn).二.雙曲線L雙曲線的定義(1)雙曲線的笫一定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)艮、艮的距離差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a(02al)2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程22(1)焦點(diǎn)在 x 軸上：二一二=1(00),焦點(diǎn)坐標(biāo)為 R(-c, 0), F：(c, 0), cr b-c = -Ja2 +b2 .2焦點(diǎn)在y軸上：二一二=1(。 0功 0),焦點(diǎn)坐標(biāo)為K (0, _ b-c), F：(0, c). c = y/a2 +b2 .雙曲線簡(jiǎn)單兒何性質(zhì)：以標(biāo)準(zhǔn)方程二-二=1(0,/7 0)為例. a b(1)范圍:x 2a;即 xNa, xW-a.(2)對(duì)稱性:對(duì)稱軸為x=0, y

60、=0;對(duì)稱中心為0 (0, 0).(3)頂點(diǎn)：4(-a, 0),A：(a, 0)為雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn);線段A,k叫雙曲線的實(shí)軸,BB叫雙曲線的虛軸，其中 B：(0,b),B(0,b). AA =2a, B&二2b.(4)漸近線:雙曲線漸近線的方程為y=2x;（5）準(zhǔn)線:x=土土 ; c（6）離心率：e二二，eL a.等軸雙曲線高-y三土,實(shí)軸長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng),其漸近線方程為y二士x,離心率 e=/2三.拋物線.拋物線的定義:平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線1的距離相等的點(diǎn)的軌 跡叫做拋物線,點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線1叫做拋物線的準(zhǔn)線，定點(diǎn)不在 定直線上.開口向右、向左、向上、向下的拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程