信息光學(第二版)05-二維線性系統(tǒng)分析1-傅里葉變換課件

1、1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform一、定義及存在條件函數(shù)f(x,y)在整個x-y平面上絕對可積且滿足狄氏條件(有有限個間斷點和極值點,沒有無窮大間斷點), 定義函數(shù)為函數(shù)f(x,y)的傅里葉變換, 記作: F(fx,fy)= f(x,y)=F.T.f(x,y), 或 f(x,y) F(fx,fy)F.T.f(x,y): 原函數(shù), F(fx,fy): 像函數(shù)或頻譜函數(shù)變換核積分變換:傅里葉變換的核:exp(-j2pfx)1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform一、定義(續(xù))由頻譜函數(shù)求原函數(shù)的過程稱為傅里葉逆變換:f(x,y)和F(fx,

2、fy)稱為傅里葉變換對記作: f(x,y)= -1F(fx,fy). 顯然 -1 f(x,y)= f(x,y) 綜合可寫: f(x,y) F(fx,fy)F.T.F.T.-1x (y) 和 fx (fy )稱為一對共軛變量, 它們在不同的范疇(時空域或頻域) 描述同一個物理對象.1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform一、定義(續(xù))描述了各頻率分量的相對幅值和相移.x, y, fx , fy 均為實變量，F(xiàn)(fx,fy)一般是復函數(shù), F(fx,fy) =A(fx,fy)e jf (fx,fy)振幅譜位相譜F(fx,fy)是f(x,y)的頻譜函數(shù)1-2 二維傅里葉變換

3、 2-D Fourier Transform廣義 F.T.對于某些不符合狄氏條件的函數(shù), 求F.T.的方法.例: g(x,y)=1, 在(-, + )不可積對某個可變換函數(shù)組成的系列取極限不符合狄氏條件的函數(shù),函數(shù)系列變換式的極限原來函數(shù)的廣義F. T.可定義: g(x,y)=lim rect(x/t)rect(y/t) t 則 g(x,y)=lim rect(x/t)rect(y/t) t 1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform 二、廣義 F.T.根據廣義傅立葉變換的定義和d 函數(shù)的定義: g(x,y)=limt2sinc(tfx)sinc(tfy) = d(fx

4、, fy) t 則 rect(x/t)rect(y/t) =t2sinc(tfx)sinc(tfy) 1 = d(fx, fy)按照廣義變換的概念可以得出一系列特殊函數(shù)的F.T.rect( )重要推論: rect(x) =sinc(fx)1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform 二、 極坐標下的二維傅里葉變換和傅里葉-貝塞爾變換特別適合于圓對稱函數(shù)的F.T. 依F.T.定義: 極坐標變換1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform 極坐標下的二維傅里葉變換令: 則在極坐標中:則極坐標下的的二維傅里葉變換定義為：1-2 二維傅里葉變換 2-D Fo

5、urier Transform 傅里葉-貝塞爾變換圓對稱函數(shù)的F.T.仍是圓對稱函數(shù), 稱為F-B (傅-貝)變換,記為G(r) = g(r), g(r) = -1G(r) 當 f 具有園對稱性，即僅是半徑r的函數(shù):f(x,y)= g(r,q) = g (r). 依F.T.定義: 利用貝塞爾函數(shù)關系1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform 傅里葉-貝塞爾變換例: 利用F-B變換求圓域函數(shù)的F.T.定義: 是圓對稱函數(shù)作變量替換, 令r =2prr, 并利用:1-2 二維傅里葉變換2-D Fourier Transform三. 虛、實、奇、偶函數(shù)的 F.T.將頻譜函數(shù)G

6、(f)分別寫成實部(余弦變換)和虛部(正弦變換), 然后根據g(x)的虛、實、奇、偶 性質討論頻譜的相應性質.注意: 并非實函數(shù)的頻譜一定是實函數(shù).只有厄米函數(shù)(實部為偶函數(shù),虛部為奇函數(shù))的頻譜才一定是實函數(shù).例: rect (x) (實、偶) sinc(fx) (實、偶) F.T.但是, rect (x-1) (實、非偶) 復函數(shù) F.T.1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform四、 F.T.定理 - F.T.的基本性質1. 線性定理 Linearity 設 g(x,y) G(fx,fy), h(x,y) H(fx,fy), F.T.F.T.2. 空間縮放 Sca

7、ling (相似性定理）ag(x,y)+b h(x,y)=a G(fx,fy) + b H(fx,fy)F.T.是線性變換 1-2 二維傅里葉變換Fourier Transform四、 F.T.定理 空間縮放注意空域坐標(x,y)的擴展(a,b1),導致頻域中坐標(fx,fy)的壓縮及頻譜幅度的變化. 反之亦然.g(x)x01/2-1/21g(ax) a=2x01/4-1/41fG(f)01-11f02-21/2空域壓縮F.T.F.T.頻域擴展1-2 二維傅里葉變換Fourier Transform四、 F.T.定理 3. 位移定理 Shifting g(x-a, y-b)= G(fx, fy

8、) exp-j2p(fxa+fyb) 設 g(x,y) G(fx,fy), F.T.頻率位移:原函數(shù)在空間域的相移,導致頻譜的位移.g(x,y) expj2p(fax+fby)= G(fx- fa, fy- fb)空間位移:原函數(shù)在空域中的平移,相應的頻譜函數(shù)振幅分布不變,但位相隨頻率線性改變.推論:由1= d (fx,fy)expj2p(fax+fby)= d (fx- fa, fy- fb)復指函數(shù)的F.T.是移位的d 函數(shù)1-2 二維傅里葉變換Fourier Transform四、 F.T.定理 4. 帕色伐(Parseval)定理若g(x)代表加在單位電阻上的電流或電壓,則| g(x)

9、 |2dx 代表信號的總能量(或總功率) | G(f) |2代表能量(功率)的譜密度(單位頻率間隔的能量或功率) 設 g(x,y) G(fx,fy), F.T.Parseval定理說明,信號的能量由|G(f)|2曲線下面積給出.或者說等于各頻率分量的能量之和能量守恒1-2 二維傅里葉變換Fourier Transform四、 F.T.定理 - Parseval定理的證明交換積分順序,先對x求積分:利用復指函數(shù)的F.T.利用d 函數(shù)的篩選性質1-2 二維傅里葉變換Fourier Transform四、 F.T.定理 5. 卷積定理空域中兩個函數(shù)的卷積, 其F.T.是各自F.T.的乘積.g(x,y)* h(x,y)= G(fx,fy) . H(fx,fy) 設 g(x,y) G(fx,fy), h(x,y) H(fx,fy), F.T.F.T.g(x,y) . h(x,y)= G(fx,fy)