50古典概型與幾何概型課件

1、第五十講 古典概型與幾何概型回歸課本1.基本事件的特點(diǎn)(1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的;(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型(1)定義:我們將具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型,簡(jiǎn)稱為古典概型.試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè).每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.(2)計(jì)算公式:注意:應(yīng)用古典概型計(jì)算概率時(shí),要驗(yàn)證試驗(yàn)中基本事件的兩個(gè)條件.3.幾何概型(1)定義:如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡(jiǎn)稱為幾何概型.(2)計(jì)算公式:注意:(1)幾何概型具備以下兩個(gè)特征無(wú)限性,即每次試驗(yàn)的結(jié)果(

2、基本事件)有無(wú)限多個(gè),且全體結(jié)果可用一個(gè)有度量的幾何區(qū)域表示;等可能性,即每個(gè)基本事件發(fā)生的概率相等.(2)應(yīng)用幾何概型求概率需將試驗(yàn)和事件所包含的基本事件轉(zhuǎn)化為點(diǎn),然后看這些點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域是線段還是平面還是幾何體.也就是需要將試驗(yàn)和事件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的幾何圖形.考點(diǎn)陪練1.(2010浙江寧波調(diào)考)在三棱錐的六條棱中任意選擇兩條,則這兩條棱是一對(duì)異面直線的概率為( )解析:在三棱錐的六條棱中任意選擇兩條共有15種情況,其中異面的情況有3種,則這兩條棱異面的概率為 所以選C.答案:C2.(2010山東臨沂質(zhì)檢)甲、乙兩人各寫一張賀年卡,隨意送給丙、丁兩人中的一人,則甲、乙將賀年卡送給同一人的概率是(

3、)解析:(甲送給丙,乙送給丁),(甲送給丁,乙送給丙),(甲乙都送給丙),(甲乙都送給丁)共四種情況,其中甲乙將賀年卡送給同一人的情況有兩種,所以 選A.答案:A3.(2010江蘇南京質(zhì)檢)拋擲兩顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為b、c,則方程x2+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)根的概率為( )解析:拋擲兩顆骰子,共有36個(gè)結(jié)果,方程有解,則=b2-4c0,b24c,滿足條件的數(shù)對(duì)記為(b2,4c),共有(4,4),(9,4),(9,8),(16,4),(16,8),(16,12),(16,16),(25,4),(25,8),(25,12),(25,16),(25,20),(25,24),(36,4),(36,8)

4、,(36,12),(36,16),(36,20),(36,24)共19個(gè)結(jié)果, 答案:C4.(2010福建福州診斷)為了測(cè)算如圖陰影部分的面積,作一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形將其包含在內(nèi),并向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲800個(gè)點(diǎn),已知恰有200個(gè)點(diǎn)落在陰影部分內(nèi),據(jù)此,可估計(jì)陰影部分的面積是( )A.12 B.9 C.8 D.6解析:正方形面積為36,陰影部分面積為 36=9.答案:B5.(2010浙江溫州調(diào)研)一個(gè)袋子中有5個(gè)大小相同的球,其中有3個(gè)黑球與2個(gè)紅球,如果從中任取兩個(gè)球,則恰好取到兩個(gè)同色球的概率是( )解析:(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑1,紅1),(黑1,紅2),(黑2,黑3),(黑2

5、,紅1),(黑2,紅2),(黑3,紅1),(黑3,紅2),(紅1,紅2)共10個(gè)結(jié)果,同色球?yàn)?黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3),(紅1,紅2)共4個(gè)結(jié)果,答案:C類型一寫出基本事件解題準(zhǔn)備:隨機(jī)試驗(yàn)滿足下列條件:(1)試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)做下去;(2)試驗(yàn)的所有結(jié)果是明確可知的,并且不止一個(gè);(3)每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè),但在試驗(yàn)之前卻不能肯定會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.所以,隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果是一個(gè)隨機(jī)事件,這類隨機(jī)事件叫做基本事件.【典例1】 做拋擲兩顆骰子的試驗(yàn):用(x,y)表示結(jié)果,其中x表示第一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),y表示第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),寫出下列

6、事件包含的基本事件:(1)試驗(yàn)的基本事件;(2)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于8”;(3)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”;(4)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于10”.分析 拋擲兩顆骰子的試驗(yàn),每次只有一種結(jié)果;且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的,所以該試驗(yàn)是古典概型,當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果較少時(shí)可用列舉法將所有結(jié)果一一列出. 解 (1)這個(gè)試驗(yàn)的基本事件為(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6

7、),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6). (2)“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于8 ”包含以下10個(gè)基本事件:(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).(3)“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”包含以下6個(gè)基本事件:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6).(4)“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于10”包含以下3個(gè)基本事件:(5,6),(6,5),(6,6).類型二簡(jiǎn)單的古典概型問題解題準(zhǔn)備:計(jì)算古典概型事件的概率可分三步:算出基

8、本事件的總個(gè)數(shù)n;求出事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)m;代入公式求出概率P.【典例2】 從含有兩件正品a1a2和一件次品b1的3件產(chǎn)品中每次任取1件,每次取出后不放回,連續(xù)取兩次,求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率. 分析 先用坐標(biāo)法求出基本事件數(shù)m和n,再利用公式 求出P.解 每次取一件,取后不放回地連續(xù)取兩次,其一切可能的結(jié)果為(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),其中小括號(hào)內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品,右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品,由6個(gè)基本事件組成,而且可以認(rèn)為這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.用A表示“取出的兩件產(chǎn)品中,恰好有

9、一件次品”這一事件,則A=(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2).事件A由4個(gè)基本事件組成,因而類型三復(fù)雜事件的古典概型問題解題準(zhǔn)備:求復(fù)雜事件的概率問題,關(guān)鍵是理解題目的實(shí)際含義,必要時(shí)將所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥事件的和,或者是先去求對(duì)立事件的概率,進(jìn)而再用互斥事件的概率加法公式或?qū)α⑹录母怕使角蟪鏊笫录母怕?【典例3】 某種飲料每箱裝6聽,如果其中有2聽不合格,質(zhì)檢人員從中隨機(jī)抽出2聽,求下列事件的概率:(1)A:經(jīng)檢測(cè)兩聽都是合格品;(2)B:經(jīng)檢測(cè)兩聽一聽合格,一聽不合格;(3)C:檢測(cè)出不合格產(chǎn)品. 分析 顯然屬于古典概型,所以先求出任取2聽的基本事件總

10、數(shù),再分別求出事件ABC所包含的基本事件的個(gè)數(shù),套用公式求解即可. 解 設(shè)合格的4聽分別記作1,2,3,4,不合格的兩聽分別記作a,b.解法一:如果看作是一次性抽取2聽,沒有順序,那么所有基本事件為:(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,4),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,b),共15個(gè). (1)事件A:兩聽都是合格品包含6個(gè)基本事件,P(A)=(2)事件B:一聽合格,一聽不合格,包含8個(gè)基本事件,P(B)=(3)事件C:檢測(cè)出不合格產(chǎn)品包含9個(gè)基本事件,P(C)=解法二:如果看作是依次不放回抽

11、取兩聽,有順序,那么所有基本事件為:(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,1),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,1),(3,2),(3,4),(3,a),(3,b),(4,1),(4,2),(4,3),(4,a),(4,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,a).共30個(gè). (1)事件A:兩聽都是合格品包含12個(gè)基本事件,P(A)=(2)事件B:一聽合格,一聽不合格包含16個(gè)基本事件,P(B)=(3)事件C:檢測(cè)出不合格產(chǎn)品包含18個(gè)基本條件,P(C)=類型四與長(zhǎng)

12、度有關(guān)的幾何概型解題準(zhǔn)備:1.如果試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長(zhǎng)度表示,則其概率的計(jì)算公式為2.將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn),該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣,而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn),這樣的概率模型就可以用幾何概型來(lái)求解.【典例4】 公交車站點(diǎn)每隔15分鐘有一輛汽車通過,乘客到達(dá)站點(diǎn)的任一時(shí)刻是等可能的,求乘客候車不超過3分鐘的概率.分析 在任一時(shí)刻到達(dá)站點(diǎn)都是一個(gè)基本事件,基本事件有無(wú)限個(gè).又在任一時(shí)刻到達(dá)站點(diǎn)是等可能的,故是幾何概型. 解 這里的區(qū)域長(zhǎng)度理解為“時(shí)間長(zhǎng)度”,總長(zhǎng)度為15分鐘,設(shè)事件A=候車時(shí)間不超過

13、3分鐘,則A的長(zhǎng)度為3分鐘,由幾何概型得類型五與面積(或體積)有關(guān)的幾何概型解題準(zhǔn)備:1.如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用面積表示,則其概率的計(jì)算公式為:2.如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用體積表示,則其概率的計(jì)算公式為:【典例5】 已知|x|2,|y|2,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y).(1)求當(dāng)x,yR時(shí),P滿足(x-2)2+(y-2)24的概率;(2)求當(dāng)x,yZ時(shí),P滿足(x-2)2+(y-2)24的概率;分析 本題第(1)問為幾何概型,可采用數(shù)形結(jié)合的思想畫出圖形,然后利用幾何概型的概率公式求解,第(2)問為古典概型只需分別求出|x|2,|y|2內(nèi)的點(diǎn)以及(x-2)2+(y-

14、2)24的點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可. 解 (1)如圖,點(diǎn)P所在的區(qū)域?yàn)檎叫蜛BCD的內(nèi)部(含邊界),滿足(x-2)2+(y-2)24的點(diǎn)的區(qū)域?yàn)橐?2,2)為圓心,2為半徑的圓面(含邊界). (2)滿足x,yZ,且|x|2,|y|2的點(diǎn)(x,y)有25個(gè),滿足x,yZ,且(x-2)2+(y-2)24的點(diǎn)(x,y) 有6個(gè),所求的概率P2=類型六生活中的幾何概型解題準(zhǔn)備:生活中的幾何概型常見的有人約會(huì)船停碼頭等車等問題,解決時(shí)要注意:(1)要注意實(shí)際問題中的可能性的判斷;(2)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型中的長(zhǎng)度角度面積體積等常見幾何概型的求解問題,構(gòu)造出隨機(jī)事件A對(duì)應(yīng)的幾何圖形,利用幾何圖形的度量來(lái)求隨機(jī)事

15、件的概率,根據(jù)實(shí)際問題的具體情況,合理設(shè)置參數(shù),建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,在此基礎(chǔ)上將試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果一一對(duì)應(yīng)于該坐標(biāo)系的點(diǎn),便可構(gòu)造出度量區(qū)域.【典例6】 兩人約定在2000到2100之間相見,并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去,如果兩人出發(fā)是各自獨(dú)立的,在2000至2100各時(shí)刻相見的可能性是相等的,求兩人在約定時(shí)間內(nèi)相見的概率. 分析 兩人不論誰(shuí)先到都要等遲到者40分鐘,即 小時(shí),設(shè)兩人分別于x時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見地點(diǎn),要使兩人在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見,當(dāng)且僅當(dāng) x-y ,因此轉(zhuǎn)化成面積問題,利用幾何概型求解. 解 設(shè)兩人分別于x時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見地點(diǎn),要使兩人能在約定時(shí)間范圍內(nèi)相見,當(dāng)且僅當(dāng) x-

16、y兩人到達(dá)約見地點(diǎn)所有時(shí)刻(x,y)的各種可能結(jié)果可用圖中的單位正方形內(nèi)(包括邊界)的點(diǎn)來(lái)表示,兩人能在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見的所有時(shí)刻(x,y)的各種可能結(jié)果可用圖中的陰影部分(包括邊界)來(lái)表示.因此陰影部分與單位正方形的面積比就反映了兩人在約定時(shí)間范圍內(nèi)相遇的可能性的大小,也就是所求的概率為 反思感悟 此題易誤算為 原因在于把面積問題誤認(rèn)為是(時(shí)間)長(zhǎng)度問題,兩人能夠會(huì)面用圖中陰影部分表示更準(zhǔn)確,此處容易表示錯(cuò).錯(cuò)源一對(duì)事件的幾何元素分析不清致誤【典例1】 在等腰RtABC中,過直角頂點(diǎn)C在ACB內(nèi)作一條射線CD與線段AB交于點(diǎn)D,求ADAC的概率.錯(cuò)解 在線段AB上取一點(diǎn)E,使AE=AC,

17、在線段AE上取一點(diǎn)D,過CD作射線CD,此時(shí)ADAC,求得概率為 剖析 上面是常見的錯(cuò)誤解法,原因是不能準(zhǔn)確找出事件的幾何度量.正解 射線CD在ACB內(nèi)是均勻分布的,故ACB=90可看成試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域,在線段AB上取一點(diǎn)E,使AE=AC,則ACE=67.5可看成所求事件構(gòu)成的區(qū)域,所以滿足條件的概率為 評(píng)析 古典概型與幾何概型的判斷方法古典概型幾何概型以及前面復(fù)習(xí)的概率加法公式都是求解概率題目的方法,一個(gè)概率問題具體用什么方法求解需要去分析這一問題所描述的試驗(yàn)和事件.因此,碰到概率問題時(shí),先確定該問題的試驗(yàn)會(huì)有哪些事件.若試驗(yàn)包含的基本事件有有限個(gè),則考慮古典概型;如果試驗(yàn)包含的基本

18、事件有無(wú)限個(gè),則考慮幾何概型.概率加法公式的選擇,則需要分析題目中所描述的事件之間的關(guān)系.錯(cuò)源二構(gòu)造隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形出錯(cuò)【典例2】 向面積為S的正方形ABCD內(nèi)投一點(diǎn)P,試求三角形PBC的面積小于 的概率. 錯(cuò)解 如圖所示,設(shè)三角形PBC的邊BC上的高為PF,線段PF所在的直線交AD于點(diǎn)E,則當(dāng)點(diǎn)P到底邊BC的距離小于EF的一半時(shí),有 即0SPBC記事件A為“三角形PBC的面積小于 ”,由幾何概型可得 剖析 錯(cuò)解構(gòu)造的圖形有誤,如圖所示,設(shè)G為AB的中點(diǎn),H為CD的中點(diǎn),則點(diǎn)P可以是矩形GBCH內(nèi)的任意一點(diǎn).正解 如圖所示,設(shè)G為AB的中點(diǎn),H為CD的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P是矩形GBCH內(nèi)的任意一點(diǎn)時(shí),P到底邊BC的距離小于AB的一半,所以0SPBC ,記事件A為“三角形PBC的面積小于 ”,由幾何概型可得技法一“有放回的”“與順序有關(guān)的”古典概型【典例1】 一袋中裝有大小相同,編號(hào)分別為1,2,3,4,5,6,7,8的八個(gè)球,從中有放回地每次取一個(gè)球,共取2次,則取得兩個(gè)球的編號(hào)和不小于15的概率為( ) 剖析 本題是一個(gè)“有放回的”“與順序有關(guān)的”古典概型問題,故