1.4向量和矩陣的范數(shù)課件

1、1.4 向量和矩陣的范數(shù)1.4.2 矩陣的范數(shù)及其性質(zhì)1.4.1 向量的范數(shù)及其性質(zhì)1.4 向量和矩陣的范數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)： 掌握向量范數(shù)、矩陣范數(shù)等概念。在實數(shù)域中，數(shù)的大小和兩個數(shù)之間的距離是通過絕對值來度量的。在解析幾何中，向量的大小和兩個向量之差的大小是“長度”和“距離”的概念來度量的。為了對矩陣運算進(jìn)行數(shù)值分析，我們需要對向量和矩陣的“大小”引進(jìn)某種度量。范數(shù)是絕對值概念的自然推廣。1.4 向量和矩陣范數(shù)范數(shù)是對向量和矩陣的一種度量,實際上是二維和三維向量長度概念的一種推廣.數(shù)域:數(shù)的集合,對加法和乘法封閉線性空間:可簡化為向量的集合,對向量的加法和數(shù)量乘法封閉,也稱為向量空間有理數(shù)、實數(shù)

2、、復(fù)數(shù)數(shù)域 1.4.1 向量范數(shù) ( vector norms )定義1.5如果向量 的某個實值函數(shù) 滿足：（1）正定性： ，且 當(dāng)且僅當(dāng)x=0；（2）齊次性：對任意實數(shù) ，都有（3）三角不等式：對任意 x，y ，都有則稱 為 上的一個向量范數(shù)。定義1 如果向量 的某個實值函數(shù) 滿足：（1）正定性： ，且 當(dāng)且僅當(dāng)x=0；（2）齊次性：對任意實數(shù) ，都有（3）三角不等式：對任意 x，y ，都有則稱 為 上的一個向量范數(shù)。自己證容易驗證，向量的范數(shù)和1范數(shù)滿足定義1.5中的條件。對于2范數(shù)，滿足定義1.5中的條件（1）和（2）是顯然的，對于條件（3），利用向量內(nèi)積的 Cauchy-Schwarz

3、不等式可以驗證。顯然并且由于定理1 注意:一般有向量的等價關(guān)系 例 1 求下列向量的各種常用范數(shù)解:1*499/4*4=9定義2 如果矩陣 的某個實值函數(shù) 滿足（1）正定性： 且 當(dāng)且僅當(dāng) ；（2）齊次性：對任意實數(shù) ，都有 ；（3）三角不等式：對任意 都有（4）相容性：對任意 ，都有則稱 為 上的一個矩陣范數(shù) 1.4.2 矩陣的范數(shù)( matrix norms )常用的矩陣范數(shù)例2不難驗證其滿足定義2的4個條件.稱為Frobenius范數(shù),簡稱F-范數(shù).類似向量的 2-范數(shù)稱A的F-范數(shù).定義3例3求矩陣A的各種常用范數(shù)解:由于特征方程為容易計算計算較復(fù)雜對矩陣元素的變化比較敏感較少使用使用最廣泛性質(zhì)較好使用最廣泛定義4而因此顯然( spectral norm )譜范數(shù)即所