直角坐標系下二重積分的計算法課件

1、第一節(jié) 二重積分的概念和性質第二節(jié) 二重積分的計算法第九章 二重積分(一)利用直角坐標系計算二重積分(二)利用極坐標系計算二重積分9.2 二重積分的計算法（一）-利用直角坐標系計算二重積分其中函數(shù) 、 在區(qū)間 上連續(xù).(1)X型域預備知識:X型,Y型區(qū)域2.公式推導三、利用對稱性奇偶性二、交換二次積分次序一、直角坐標系下計算1.X型,Y型區(qū)域3.幾點說明（一）直角坐標系下計算【X型區(qū)域的特點】 穿過區(qū)域且平行于y 軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.(2)Y型域2.公式推導三、利用對稱性奇偶性二、交換二次積分次序一、直角坐標系下計算1.X型,Y型區(qū)域3.幾點說明(3)既非X型域也非Y型域如圖

2、在分割后的三個區(qū)域上分別都是X型域(D1也是Y型域)則必須分割.由二重積分積分區(qū)域的可加性得2.公式推導三、利用對稱性奇偶性二、交換二次積分次序一、直角坐標系下計算1.X型,Y型區(qū)域3.幾點說明2.公式推導表示曲頂柱體的體積.a.回顧二重積分幾何意義三、利用對稱性奇偶性二、交換二次積分次序一、直角坐標系下計算b.回顧一元函數(shù)定積分的應用平行截面面積已知,立體體積求法:1.X型,Y型區(qū)域3.幾點說明化二重為二次公式(1)aboxyDx2.公式推導三、利用對稱性奇偶性二、交換二次積分次序一、直角坐標系下計算1.X型,Y型區(qū)域3.幾點說明公式1公式22.公式推導三、利用對稱性奇偶性二、交換二次積分次

3、序一、直角坐標系下計算1.X型,Y型區(qū)域3.幾點說明公式(1) 【二重積分的計算步驟可歸結為】畫出積分域的圖形，標出邊界線方程；根據積分域特征及被積函數(shù)，確定積分次序.(寫出不等式)根據上述結果，化二重積分為二次積分并計算。3.幾點說明2.公式推導三、利用對稱性奇偶性二、交換二次積分次序一、直角坐標系下計算1.X型,Y型區(qū)域3.幾點說明(2) 使用公式1必須是X型域，公式2必須是若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是Y 型區(qū)域 , 則為計算方便,可選擇積分次序。Y型域.若積分域復雜,可分成若干X型Y型區(qū)域【類似例1】【解】看作X型域12oxy y=xy=1Dx三、利用對稱性奇偶性二、交換二次積分次序一、直

4、角坐標系下計算D既是X型域又是Y型域【解】看作Y型域12oxyx = yx=2Dy12三、利用對稱性奇偶性二、交換二次積分次序一、直角坐標系下計算【例2】【分析】D本身是Y型域先求交點三、利用對稱性奇偶性二、交換二次積分次序一、直角坐標系下計算法1法2視為X型域計算較繁三、利用對稱性奇偶性二、交換二次積分次序一、直角坐標系下計算【例2】【補例1】【解】D既是X型域又是Y型域法1111xoy=xDxy三、利用對稱性奇偶性二、交換二次積分次序一、直角坐標系下計算先對x積分更繁法2注意到先對x 的積分較繁，故應用法1較方便111yoy=xD1xy注意兩種積分次序的計算效果！三、利用對稱性奇偶性二、交

5、換二次積分次序一、直角坐標系下計算【解】三、利用對稱性奇偶性二、交換二次積分次序一、直角坐標系下計算D既是X型域又是Y型域把D當作Y型域，先x后y積分練習【小結】以上例子說明，在化二重積分為二次積分時，為簡便見需恰當選擇積分次序；既要考慮積分區(qū)域D的形狀，又要考慮被積函數(shù)的特性(先對x易積就后積y,當y型區(qū)域)三、利用對稱性奇偶性二、交換二次積分次序一、直角坐標系下計算【練習1】【解】據二重積分的性質4（幾何意義）交點三、利用對稱性奇偶性二、交換二次積分次序一、直角坐標系下計算【練習2】計算其中 D 是由直線 y=x 及拋物線 y2 = x 所圍成【解】三、利用對稱性奇偶性二、交換二次積分次序

6、一、直角坐標系下計算先y積不出，故先x后y，即Y型域【補例2 】【解】 當被積函數(shù)中有絕對值時，要考慮積分域中不同范圍脫去絕對值符號。分析三、利用對稱性奇偶性二、交換二次積分次序一、直角坐標系下計算【類似例5】求兩個底圓半徑都等于R的直交【解】 設兩個直圓柱方程為利用對稱性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為圓柱面所圍成的立體的體積V.三、利用對稱性奇偶性二、交換二次積分次序一、直角坐標系下計算類似例4交換二次積分 的積分次序.解：題設積分限:可改寫為:所以三、利用對稱性奇偶性二、交換二次積分次序一、直角坐標系下計算交換積分次序：若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是Y 型區(qū)域 , 目的為方便計算，或題目要求。補例3交換二次積分的積分次序.解：積分限:可改寫為所以原式三、利用對稱性奇偶性二、交換二次積分次序一、直角坐標系下計算【練習3】交換下列積分順序【解】 積分域由兩部分組成:視為Y型區(qū)域 , 則三、利用對稱性奇偶性二、交換二次積分次序一、直角坐標系下計算三、利用對稱性奇偶性二、交換二次積分次序一、直角坐標系下計算設D 位于x 軸上方的部分為D11、積分區(qū)域D關于x軸對稱,則則2、積分區(qū)域D關于y軸對稱,被積函數(shù)關于y為偶函數(shù)函數(shù)關于y為奇函數(shù)，設D 位于y 軸右方的部分為D2則則函數(shù)關于x為偶函數(shù)函數(shù)關于x為奇函數(shù)補例4計算其中積分區(qū)域 由曲線 與 所圍成.解令因為