羅爾定理-PPT課件

1、一、引理二、羅爾定理三、拉格朗日中值定理四、柯西中值定理五、泰勒公式第一節(jié) 微分中值定理一、引理引理 設(shè)f(x)在 處可導(dǎo),且在 的某鄰域內(nèi)恒有 則有 .二、羅爾定理定理4.1 設(shè)函數(shù)f(x)滿足(1) 在閉區(qū)間a,b上連續(xù),(2) 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),(3) f(a)=f(b),注意：羅爾定理的條件有三個，如果缺少其中任何一個條件，定理將不成立.羅爾定理幾何意義： 若曲線弧在a,b上為連續(xù)弧段，在(a,b)內(nèi)曲線弧上每點都有不平行于y軸的切線，且曲線弧段在兩個端點處的縱坐標(biāo)相同，那么曲線弧段上至少有一點，過該點的切線必定平行于x軸.例如f(x)=|x|在1,1上連續(xù)，且f(1)=f(1

2、)=1,但是|x|在(1,1)內(nèi)有不可導(dǎo)的點，本例不存在 使 .又如f(x)=x在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，但是f(0)=0，f(1)=1，本例不存在 ，使 .再如 f(x) 在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，f(0)=0=f(1)，但是f(x)在0,1上不連續(xù)，本例不存在還需指出，羅爾定理的條件是充分條件，不是必要條件.也就是說，定理的結(jié)論成立，函數(shù)未必滿足定理中的三個條件.即定理的逆命題不成立. 例如 在0,3上不滿足羅爾定理的條件 但是存在 ，使 .三、拉格朗日中值定理定理4.2 設(shè)函數(shù)f(x)滿足(1) 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2) 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；則至少存在一點 分析 與羅爾定理

3、相比，拉格朗日中值定理中缺少條件是f(a)=f(b).如果能由f(x)構(gòu)造一個新函數(shù) 使 在a,b上滿足羅爾定理條件，且由 能導(dǎo)出 則問題可解決.拉格朗日中值定理的幾何意義： 如果在a,b上的連續(xù)曲線，除端點外處處有不垂直于x軸的切線，那么在曲線弧上至少有一點 使曲線在該點處的切線平行于過曲線弧兩端點的弦線.作輔助函數(shù)即可. 的幾何意義為：曲線的縱坐標(biāo)與曲線弧兩端點連線對應(yīng)的縱坐標(biāo)之差.弦線的方程為證 令由于f(x)在a,b上連續(xù)，因此 在a,b上連續(xù).由于f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，因此 在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).又由于因此 在a,b上滿足羅爾定理條件，所以至少存在一點 ，使 ，即從而有 ，或表示

4、為上述結(jié)論對ba也成立. 如果f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)， 則在以 為端點的區(qū)間上f(x)也滿足拉格朗日中值定理，即 因此又稱拉格朗日中值定理為有限增量定理.其中 為之間的點.也可以記為或推論1 若 在(a,b)內(nèi)恒等于零，則f(x)在(a,b)內(nèi)必為某常數(shù).事實上，對于(a,b)內(nèi)的任意兩點 ，由拉格朗日中值定理可得由拉格朗日中值定理可以得出積分學(xué)中有用的推論： 位于x1， x2之間，故有f(x1)= f(x2).由x1， x2的任意性可知f(x)在(a,b)內(nèi)恒為某常數(shù).推論2 若在(a,b)內(nèi)恒有 ，則有其中C為某常數(shù).由推論1可知f(x)g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.f(x)

5、=g(x)+C,事實上，由已知條件及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得例1 選擇題.選出符合題意的選項.下列函數(shù)在給定的區(qū)間上滿足羅爾定理條件的有( ).注意羅爾定理的條件有三個: (1)函數(shù)y=f(x) 在a,b上連續(xù).(2)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).(3)f(a)=f(b).分析不難發(fā)現(xiàn) ，在2,0上不滿足連續(xù)的條件，因此應(yīng)排除A.對于 ，在2,4上連續(xù)，在(2,4)內(nèi)可導(dǎo)；f(2)=36，f(4)=0， ，因此應(yīng)排除B.對于f(x)=|x|，在1,1上連續(xù)，在(1,1)內(nèi)不可導(dǎo)，因此應(yīng)排除.綜合之，本例應(yīng)單選.例2 設(shè)函數(shù)y=f(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)=f(b),則曲線y=f(

6、x)在(a,b)內(nèi)平行于x軸的切線( ).A.僅有一條；B.至少有一條；C.不一定存在；D.不存在.由題目中所給的條件可知，函數(shù)y=f(x)在a,b上滿足羅爾定理條件，可知至少存在一點 使得分析又由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知曲線y=f(x)在處的切線斜率為零，即切線平行于x軸.因此本例應(yīng)選B.例3 選擇題.函數(shù) 在區(qū)間1,3上滿足拉格朗日中值定理的 =( ).由于 在1,3上連續(xù)，在(1,3)內(nèi)可導(dǎo)，因此f(x)在1,3上滿足拉格朗日中值定理條件.分析由拉格朗日定理可知，必定存在由于f(b)=f(3)=16, f(a)=f(1)=4,而 因此有可解得 ，因此本例應(yīng)選D.例4 試證對于所給不等式，可以認(rèn)

7、定為函數(shù)的增量與自變量的增量之間的關(guān)系.因此可以設(shè)f(x)=arctan x.證 設(shè)f(x)=arctan x ,不妨設(shè)a0時,試證不等式分析取f(t)=ln(1+t) ，a=0，b=x.則f(t)=ln(1+t) 在區(qū)間0,x上滿足拉格朗日中值定理，因此必有一點 使得.說明 本例中，若令y=ln t，a=1，b=1+x，亦可利用拉格朗日中值定理證明所給不等式.這表明證明不等式時，f(x)與a,b的選取不是唯一的.即進(jìn)而知四、柯西中值定理定理4.3 設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)滿足：(1)在閉區(qū)間a,b上都連續(xù)，(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)都可導(dǎo)，(3)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)，則至少存在一點在柯西中值

8、定理中，若取g(x)=x，則得到拉格朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗日中值定理的推廣.五、泰勒公式由微分的概念知道，如果y=f(x)在點 處可導(dǎo)，則有從幾何上看，上述表達(dá)式可以解釋為:在點x0的附近用曲線y=f(x)在點 處的切線來代替曲線y=f(x).(簡言之，在點x0附近，用切線近似曲線.)上述近似公式有兩點不足：1. 精度往往不能滿足實際需要；2. 用它作近似計算時無法估計誤差. 因此希望有一個能彌補(bǔ)上述兩個不足的近似公式.在實際計算中，多項式是比較簡單的函數(shù)，因此希望能用多項式來近似表達(dá)函數(shù)f(x)，并使得當(dāng) 時， 為比 高階的無窮小,還希望能寫出 的具體表達(dá)式，以便能估計誤差.設(shè)f(x)在含x0的某區(qū)間(a,b)內(nèi)有n階導(dǎo)數(shù)，為了使與f(x)盡可能相近，希望可知從而得到由f(x)構(gòu)造的n次多項式若用 在點 附近來逼近f(x)，有下列兩個結(jié)論：(1)余項rn(x)=f (x)Pn(x)是關(guān)于(xx0)n的高階無窮小，即(2)如果f(x)在(a,b)內(nèi)有直至(n+1)階導(dǎo)數(shù)，則rn(x)可以表示為綜上所述，可以描述為：泰勒公式 設(shè)函數(shù)f(x)在含x0的某區(qū)間