斷裂力學(xué)第二講斷裂力學(xué)理論Fracture Mechanics

1、1Shanghai University斷裂力學(xué)理論Fracture Mechanics斷裂力學(xué)第二講2能量原理3線彈性斷裂力學(xué)認(rèn)為，材料和構(gòu)件在斷裂以前基本上處于彈性范圍內(nèi)，可以把物體視為帶有裂紋的彈性體。研究裂紋擴(kuò)展有兩種觀點(diǎn)：一種是能量平衡的觀點(diǎn)，裂紋擴(kuò)展的動(dòng)力是構(gòu)件在裂紋擴(kuò)展中所釋放出的彈性應(yīng)變能，它補(bǔ)償了產(chǎn)生新裂紋表面所消耗的能量，如Griffith理論；一種是應(yīng)力場(chǎng)強(qiáng)度的觀點(diǎn)，認(rèn)為裂紋擴(kuò)展的臨界狀態(tài)是裂紋尖端的應(yīng)力場(chǎng)強(qiáng)度達(dá)到材料的臨界值，如Irwin理論。 4線彈性斷裂力學(xué)的基本理論線彈性斷裂力學(xué)的基本理論包括： Griffith理論，即能量釋放率理論； Irwin理論，即應(yīng)力強(qiáng)度

2、因子理論。斷裂力學(xué)作為一門嶄新的學(xué)科是在上個(gè)世紀(jì)50年代才建立和發(fā)展起來(lái)的。但是Griffith在1920年建立的針對(duì)玻璃、陶瓷等脆性材料的脆性斷裂準(zhǔn)則，成功地解釋了這類材料的實(shí)際斷裂強(qiáng)度遠(yuǎn)小于理論強(qiáng)度這一客觀事實(shí)。該理論僅適用于完全脆性材料，對(duì)于絕大多數(shù)金屬材料，在斷裂前和斷裂過(guò)程中裂紋尖端總存在塑性區(qū)，裂紋尖端也因塑性變形而鈍化。不能使用Griffith理論，這就是該理論長(zhǎng)期得不到重視和發(fā)展的主要原因。后來(lái)Irwin修正了Griffith的理論，使得斷裂力學(xué)成為一門學(xué)科。 Griffith理論5Griffith理論Inglis的論文1913年，Inglis研究了無(wú)限大板中含有一個(gè)穿透板厚的

3、橢圓孔的問(wèn)題，得到了彈性力學(xué)精確分析解，稱之為Inglis解。1920年，Griffith研究玻璃與陶瓷材料脆性斷裂問(wèn)題時(shí)，將Inglis解中的短半軸趨于0，得到Griffith裂紋。Transactions of the Institution of Naval Architects,55 (1913), pp.219230. 6C. E. InglisSir Charles Edward Inglis (31 July 1875-19 April 1952) was a British civil engineer. Inglis spent much of his life as a l

4、ecturer and academic at Kings College Cambridge and made several important studies into the effects of vibration and defects on the strength of plate steel. His mother died when he only is eleven days, he was brought up by his fathers unmarried sister.Inglis served in the Royal Engineers during the

5、First World War and invented a lightweight, reusable steel bridge - the precursor and inspiration for the Bailey bridge of the Second World War . His military service was rewarded with an appointment as an Officer of the Order of the British Empire7Department of Engineering Head of Department 1919-4

6、3He carried the largest teaching load, covering the subjects : statics, dynamics, theory of structures, materials and drawing, balancing engines, girder design and reinforced concrete.His personality was such that he not only taught the subject most delightfully but inspired the members of the audie

7、nce with respect and affection.C. E. Inglis8C. E. InglisA Mathematical Treatise on Vibrations in Railway Bridges. By C. E. Inglis.Cambridge, University Press, and New York, Macmillan, 1934. 203 pp. and 65 figures.Griffith理論Royal Engineers constructing an Inglis Bridge Mk III at the School of Militar

8、y Engineering, 18 June 1943 9Griffith理論The International Union of Theoretical and Applied Mechanics was founded in 1946, during the Sixth Congress in Paris. Each of the first six congresses had been organized by a national committee of scientists from the country where the congress was to be held.Fo

9、urth C. E. Inglis Congress President 1934 Cambridge UKInternational Congresses on Theoretical and Applied Mechanics (ICTAM) Beijing， Bai Yilong 23rd10Griffith理論The maximum stress occurs at the ends of the major axis of the cavity and is given by Ingliss formulathin plate of glass with an elliptical

10、hole in the middleHe found that point A, at the end of the ellipse, was feeling the most pressure. He also found that as the ratio of a/b gets bigger (the ellipse gets longer and thinner) that the stress at A becomes greater and greater C. E. Inglis11C. E. InglisHe also found that pulling on the pla

11、te in a direction parallel to the ellipse does not produce a great stress at A. This leads to the fact that a load perpendicular, not parallel, to the crack will make it grow. Griffith理論12Then he looked at other plates with not-quite-elliptical holes, like these. From looking at these he realized th

12、at its not really the shape of the hole that matters in cracking. What matters is the length of the crack that is perpendicular to the load and what the radius of curvature at the ends of the hole is. The longer the hole (or crack), the higher the stress, and the smaller the radius of curvature, the

13、 higher the stress. Griffith理論13一、動(dòng)機(jī)兩個(gè)矛盾的事實(shí)The stress needed to fracture bulk glass is around 100MPa. The theoretical stress needed for breaking atomic bonds is approximately 10,000MPaexperiments on glass fibers that Griffith himself conducted suggested that the fracture stress increases as the fibe

14、r diameter decreases. 尺寸相關(guān)性Griffith理論1314二、Griffith理論1920年，Griffith研究玻璃與陶瓷材料脆性斷裂問(wèn)題時(shí)，將Inglis解中的短半軸趨于0，得到Griffith裂紋。Griffith理論Griffith研究了如圖所示厚度為B的薄平板。上、下端受到均勻拉應(yīng)力作用，將板拉長(zhǎng)后，固定兩端，構(gòu)成能量封閉系統(tǒng)。15設(shè)想在板中沿垂直于載荷方向切開一條長(zhǎng)度為2a的貫穿裂紋，由于裂紋的長(zhǎng)度遠(yuǎn)小于板的面內(nèi)尺寸，可以將此板視為“無(wú)限大”板。由于設(shè)想切開了一條貫穿裂紋，裂紋就形成了上下兩個(gè)自由面，原來(lái)作用于該表面位置的拉應(yīng)力消失了，與此同時(shí)，上下自由表面

15、發(fā)生相對(duì)張開位移，消失的拉應(yīng)力對(duì)此張開位移做負(fù)功，使得板內(nèi)的應(yīng)變能降低了。 Griffith根據(jù)Inglis（1913）對(duì)“無(wú)限大”板內(nèi)開了一個(gè)橢圓形圓孔后分析得到的應(yīng)力場(chǎng)、位移場(chǎng)計(jì)算公式，得出當(dāng)橢圓孔短軸尺寸趨于零（理想尖裂紋）時(shí)，彈性應(yīng)變能的改變量為Griffith理論=+Griffith理論16Griffith理論17能量守恒定律： 能量守恒定律是自然界的一條普遍規(guī)律，它指出：系統(tǒng)能量的增加等于輸入的能量。對(duì)于熱力學(xué)系統(tǒng)又可表述為：作用于系統(tǒng)上功的增量W加上系統(tǒng)接受的熱的增量Q等于系統(tǒng)內(nèi)能的增量E加上動(dòng)能的增量K, 即若增量無(wú)限小且諸量可微，則可寫成率的形式：Griffith理論18把能

16、量守恒定律應(yīng)用于裂紋體： E 為儲(chǔ)存在介質(zhì)中的內(nèi)能；T 為動(dòng)能；為裂紋表面能； 為 外力功率； 傳熱率。 作如下假設(shè)：斷裂過(guò)程中總體熱交換效果可忽略（近似絕熱假設(shè)），準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程，T0，介質(zhì)為彈性的，E = U Griffith理論19受有均勻外力作用具有長(zhǎng)度為2a 的無(wú)限大板，其位移場(chǎng)為： 其中：對(duì)平面應(yīng)變情況 對(duì)平面應(yīng)力情況 考慮線彈性裂紋體的應(yīng)變能：現(xiàn)建立裂紋擴(kuò)展的臨界條件（考慮 時(shí),裂紋有微擴(kuò)展da）應(yīng)變能率：Griffith理論2021 另一方面，Griffith認(rèn)為，由于裂紋處形成兩個(gè)自由表面，從而有表面能增加，形成新的自由表面需要吸收的能量為 其中：為單位面積上的表面能。由于板的上

17、下兩端是固定的，外力不做功，即外力勢(shì)能不改變。可以得到如下表達(dá)式 臨界狀態(tài) 裂紋穩(wěn)定 裂紋不穩(wěn)定 Griffith理論21表面能率:外力功率：把應(yīng)變能率、表面能率及外力功率代入能量平衡方程（2）：或Griffith理論2223上式表明，當(dāng)裂紋擴(kuò)展單位面積，系統(tǒng)釋放的應(yīng)變能恰好等于形成自由表面所需的表面能時(shí)，裂紋就處于不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；或裂紋擴(kuò)展單位面積，系統(tǒng)釋放的應(yīng)變能大于形成其自由表面所需的表面能時(shí)，裂紋就會(huì)失穩(wěn)擴(kuò)展而斷裂。當(dāng)然，若釋放的應(yīng)變能小于形成其自由表面能所需的表面能時(shí)，裂紋就不會(huì)擴(kuò)展，處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)。 Griffith理論2324得臨界應(yīng)力為 表示無(wú)限大平板在平面應(yīng)力狀態(tài)下，長(zhǎng)為

18、2a裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展時(shí)，拉應(yīng)力的臨界值，稱為剩余強(qiáng)度。Griffith理論臨界裂紋長(zhǎng)度 對(duì)于平面應(yīng)變有 2425Griffith判據(jù)如下：(1)當(dāng)外加應(yīng)力 超過(guò)臨界應(yīng)力 (2)當(dāng)裂紋尺寸 超過(guò)臨界裂紋尺寸 脆性物體斷裂 Griffith理論He said that for a crack to grow, it was necessary for their to be enough potential energy in the system to create the new surface area of the crack. He did not know that it takes mo

19、re than this for a crack to grow though. 25 于是由能量守恒定律得到裂紋擴(kuò)展的臨界條件： 其中 方程式右端為材料參數(shù)組合，應(yīng)為材料常數(shù)。 因此方程式左端的載荷與裂紋幾何參數(shù)的組合亦應(yīng)為常數(shù)。（含裂紋體的破壞條件） 下面把破壞條件（9）普遍化： 把能量守恒定律應(yīng)用于裂紋體： 將之改寫為： 即Griffith理論26 定義 它代表裂紋擴(kuò)展單位面積彈性系統(tǒng)釋放的能量為能量釋放率；同時(shí)，定義 它表示裂紋擴(kuò)展單位面積所需要消耗的能量為裂紋擴(kuò)展阻力； 因此裂紋擴(kuò)展條件可表示為： 這就是著名的Griffith 脆斷準(zhǔn)則（能量平衡準(zhǔn)則）Griffith理論27Grif

20、fith theory-1920In a body of a glass cracks pre-exist. The tip of such a crack concentrates stress. The intense stress breaks atomic bonds one by one, like opening a zipper. As the crack advances, fresh surfaces are created. The surface energy increases, but the elastic energy decreases. The crack a

21、dvances if the advance reduces the sum of the surface energy and elastic energy.28Atomic Model of Theoretical Tensile Strength29Theoretical Strength Assume sinusoidal relationship between and xWhen surface energy is introduced:3031D是薄壁球殼或圓柱殼的直徑，Q和R分別是平行于裂紋和垂直于裂紋的主應(yīng)力。 Griffith理論為了驗(yàn)證理論，Griffith做了兩組實(shí)驗(yàn)，

22、一組是玻璃薄壁球殼，見下表?？梢钥闯?，斷裂應(yīng)力隨著裂紋尺寸的增大而減小，卻基本保持常數(shù)，證明了公式的正確性。 32第二組實(shí)驗(yàn)是含裂紋薄壁圓柱殼的爆裂實(shí)驗(yàn)。Griffith理論33Griffith理論Griffith發(fā)現(xiàn) ，右端純粹為材料參數(shù)組合，對(duì)同一材料它應(yīng)為常數(shù)。從這個(gè)意義上說(shuō)Griffith已接近于發(fā)現(xiàn)應(yīng)力強(qiáng)度因子理論。 The theory was considered to apply only to a limited class of extremely, such as glasses or ceramics1920，19241948，1957 Introduction of

23、high strength materials for structural applications34Orowan與Irwin對(duì)Griffith理論的解釋與發(fā)展 Orowan在1948年指出，金屬材料在裂紋的擴(kuò)展過(guò)程中，其尖端附近局部區(qū)域發(fā)生塑性變形。因此，裂紋擴(kuò)展時(shí)，金屬材料釋放的應(yīng)變能，不僅用于形成裂紋表面所吸收的表面能，同時(shí)用于克服裂紋擴(kuò)展所需要吸收的塑性變形能（也稱為塑性功）。 設(shè)金屬材料的裂紋擴(kuò)展單位面積所需要的塑性功為 ，則剩余強(qiáng)度和臨界裂紋長(zhǎng)度可表示為 Griffith理論35Griffith理論Orowan 發(fā)現(xiàn)36Irwin在1948年引入記號(hào) 外力功 釋放出的應(yīng)變能 能

24、量釋放率 能量釋放率也稱為裂紋擴(kuò)展能力 準(zhǔn)則 臨界值,由試驗(yàn)確定 Irwin的理論適用于金屬材料的準(zhǔn)脆性破壞破壞前裂紋尖端附近有相當(dāng)范圍的塑性變形 .該理論的提出是線彈性斷裂力學(xué)誕生的標(biāo)志.Griffith理論Griffith脆斷準(zhǔn)則37前面僅是以固定邊情況為例。對(duì)于一般約束情況， 具有更廣泛的物理意義。 取一厚度為B 的板，中心有穿透裂紋長(zhǎng)度為2a，載荷P，面積A = 2aB。在裂紋長(zhǎng)度不變的情況下，P 與作用點(diǎn)位移成正比將板拉長(zhǎng)后固定兩端。下圖中直線的斜率為剛度系數(shù)，其倒數(shù)為柔度系數(shù)（柔度），等于單位載荷下的位移。當(dāng)裂紋面積增加時(shí)，彈性裂紋體剛度下降，柔度增加，即彈性曲線斜率減小。下面需要

25、分析三種不同邊界條件的情況Griffith理論381）固定位移情況 在圖中體系應(yīng)變能減少，釋放出的應(yīng)變能作為裂紋擴(kuò)展所需的功。應(yīng)變能減少量=Griffith理論392） 固定載荷情況 在圖中，體系應(yīng)變能增加，載荷作的功一半用于增加系統(tǒng)應(yīng)變能，一半作為剩余功用于裂紋擴(kuò)展。 將上述兩種情況的統(tǒng)一寫成應(yīng)變能增加量=矩形-Griffith理論40 裂紋擴(kuò)展時(shí)，載荷對(duì)位移曲線從a變化到f，其斜率為3)彈性約束情況 對(duì)于一般彈性條件，可看成彈性約束，簡(jiǎn)化為裂紋體與彈簧串聯(lián)的力學(xué)模型。彈簧柔度系數(shù)Griffith理論41反映了裂紋擴(kuò)展能量釋放率與試件柔度之間的關(guān)系，稱為Irwin-Kies關(guān)系。是用柔度法確

26、定 進(jìn)而確定應(yīng)力強(qiáng)度因子的重要基礎(chǔ)。 系統(tǒng)推動(dòng)裂紋擴(kuò)展的有效能量為外力功與應(yīng)變能增加（或減少）之差（或和）對(duì)前兩種情況，則由Griffith理論稱為應(yīng)變能釋放率的柔度表達(dá)式對(duì)于如圖所示的裂紋板，沿裂紋延長(zhǎng)線上，有由應(yīng)力場(chǎng)計(jì)算公式得到： 假設(shè)當(dāng)裂紋擴(kuò)展時(shí)，系統(tǒng)釋放的能量等于迫使裂紋閉合回到原始狀態(tài)所需要的變形功 Griffith理論在閉合時(shí),應(yīng)力在 那段所做的功為 其中，B為裂紋體厚度。 位移場(chǎng)表達(dá)式 4243平面應(yīng)力 平面應(yīng)變 同理 Griffith理論由此可見，線彈性條件下，應(yīng)力強(qiáng)度因子和能量釋放率具有對(duì)應(yīng)關(guān)系，兩者是等效的。公式是在假定裂紋沿原裂紋方向直線擴(kuò)展條件推導(dǎo)。對(duì)于II型裂紋，裂紋

27、并不沿裂紋方向擴(kuò)展，上面的關(guān)系是名義關(guān)系。44裂紋尖端存在奇異性,即: 基于這種性質(zhì)，1957年Irwin提出新的物理量應(yīng)力強(qiáng)度因子,即：1960年Irwin用石墨做實(shí)驗(yàn),測(cè)定開始裂紋擴(kuò)展時(shí)的 斷裂判據(jù)( 準(zhǔn)則) Griffith理論45裂紋尖端附近的應(yīng)力場(chǎng)和位移計(jì)算46裂紋的類型一.裂紋的類型 1.按裂紋的幾何類型分類 穿透裂紋:裂紋沿構(gòu)件整個(gè)厚度貫穿. 表面裂紋:深度和長(zhǎng)度皆處于構(gòu)件表面的裂紋,可簡(jiǎn)化為 半橢圓裂紋.深埋裂紋:完全處于構(gòu)件內(nèi)部的裂紋,片狀圓形或片狀橢 圓裂紋.472.按裂紋的受力和斷裂特征分類 張開型(型):拉應(yīng)力垂直于裂紋擴(kuò)展面,裂紋上、下表面沿作用力的方向張開,裂紋沿著

28、裂紋面向前擴(kuò)展,是最常見的一種裂紋. 滑開型(型):裂紋擴(kuò)展受切應(yīng)力控制,切應(yīng)力平行作用于裂紋面而且垂直于裂紋線,裂紋沿裂紋面平行滑開擴(kuò)展.48撕開型裂紋(型):在平行于裂紋面而與裂紋前沿線方向平行的剪應(yīng)力作用下,裂紋沿裂紋面撕開擴(kuò)展.49裂紋尖端附近的應(yīng)力場(chǎng)、位移場(chǎng)計(jì)算 50H. M. WestergaardDr. Harold Malcolm Westergaard(1888-1950)University of Illinois professor of theoretical and applied mechanics.Gordon McKay Professor of Civil E

29、ngineering and Dean of the Graduate School of Engineering, Harvard University (1936-1946).Although he has left his post as dean he will not become inactive, but will retain the Gordon McKay professorship of Civil Engineering. 51The member of American Philosophical Society, Class I: mathematical and physical sciences(1942).H. M. WestergaardWest side of the American Philosophical Society building in Philadelphia, PAJournal of Applied Mechanics, 1939,