(整理)采用極坐標求解彈性力學平面問題基本問題

1、精品文檔采用極坐標求解彈性力學平面問題基本問一、內(nèi)容介紹在彈性力學問題的處理時，坐標系的選擇從本質(zhì)上講并不影響問題的求解，但是坐標的選取直接影響邊界條件的描述形式，從而關(guān)系到問題求解的難易程度。對于圓形，楔形，扇形等工程構(gòu)件，采用極坐標系統(tǒng)求解將比直角坐標系統(tǒng)要方便的多。本章的任務就是推導極坐標表示的彈性力學平面問題基本方程，并且求解一些典型問題。二、重點1、基本未知量和基本方程的極坐標形式；2、雙調(diào)和方程的極坐標形式；3、軸對稱應力與厚壁圓筒應力；4、曲梁純彎曲、楔形體和圓孔等典型問題1平面問題極坐標解的基本方程學習思路:選取極坐標系處理彈性力學平面問題，首先必須將彈性力學的基本方程以及邊界

2、條件通過極坐標形式描述和表達。本節(jié)的主要工作是介紹基本物理量，包括位移、應力和應變的極坐標形式；并且將基本方程，包括平衡微分方程、幾何方程和本構(gòu)關(guān)系轉(zhuǎn)化為極坐標形式。由于仍然采用應力解法，因此應力函數(shù)的極坐標表達是必要的。應該注意的是坐標系的選取與問題求解性質(zhì)無關(guān)，因此彈性力學直角坐標解的基本概念仍然適用于極坐標。學習要點：1、極坐標下的應力分量；2、極坐標平衡微分方程；3、極坐標下的應變分量；4、幾何方程的極坐標表達；5、本構(gòu)方程的極坐標表達；6、極坐標系的Laplace算符；7、應力函數(shù)。1、極坐標下的應力分量為了表明極坐標系統(tǒng)中的應力分量，從考察的平面物體中分割出微分單元體ABCD，其由

3、兩個相距dp的圓柱面和互成d申的兩個徑向面構(gòu)成，如圖所示在極坐標系中，用表示徑向正應力，用f表示環(huán)向正應力,T(pp和分別表示圓柱面和徑向面的切應力，根據(jù)切應力互等定理，二。首先推導平衡微分方程的極坐標形式。考慮到應力分量是隨位置的變化，如果假設AB面上的應力分量為秸叭卩,則CD面上的應力分量為吹訴和守S如果AD面上的應力分量牡和，則BC面上的應力分量為同時，體力分量在極坐標徑向p和環(huán)向申方向的分量分別為Fbpq和Fb(p。2、極坐標平衡微分方程設單元體的厚度為1，如圖所示aDc考察其平衡首先討論徑向的平衡，注意到s血字cosl，可以得到0CT(b#+S)(P+Ap)A(p-apA(p-(dP

4、爲“字+J+詈S)“-f“+島咖1級二簡化上式，并且略去三階微量，則同理，考慮微分單元體切向平衡，可得簡化上式，可以得到極坐標系下的平衡微分方程，即3、極坐標下的應變分量以下推導極坐標系統(tǒng)的幾何方程。在極坐標系中，位移分量為Up，倫，分別為徑向位移和環(huán)向位移。極坐標對應的應變分量為：徑向線應變p，即徑向微分線段的正應變；環(huán)向線應變?yōu)榄h(huán)向微分線段的正應變；切應變Y即為徑向和環(huán)向微分線段之間的直角改變量。首先討論線應變與位移分量的關(guān)系，分別考慮徑向位移環(huán)向位移up，環(huán)向微分線段AB=pd申的相對伸長為如果只有環(huán)向位移時，徑向微分線段線沒有變形，如圖所示將上述結(jié)果相加，可以得到正應變分量E二些=土+

5、丄些卩加，pp詢4、幾何方程的極坐標表達面考察切應變與位移之間的關(guān)系。設微分單元體ABCD在變形后變?yōu)锳BCD，如圖所示因此切應變?yōu)閅p(p=耳+(卩-；而a角應等于上式中耳表示環(huán)向微分線段AB向p方向轉(zhuǎn)過的角度，即表示徑向微分線段AD向申方向轉(zhuǎn)過的角度，因此產(chǎn)二字A點的環(huán)向位移除以該點的徑向坐標p，即痩二鄉(xiāng)。1Su.3%,將上述結(jié)果回代，則一點的切應變?yōu)镕廖綜上所述，可以得到極坐標系的幾何方程為5、本構(gòu)方程的極坐標表達由于討論的物體是各向同性材料的，因此極坐標系的本構(gòu)方程與直角坐標的表達形式是相同的，只要將其中的坐標x和y換成P和申就可以了。對于平面應力問題，有%二討廠心%二*(各_5)二也

6、二2Q+1/)1J7P廣-;F薜對于平面應變問題，只要將上述公式中的彈性常數(shù)E，v分別換為1V22=，就可以。6、極坐標系的Laplace算符平面問題以應力分量形式表達的變形協(xié)調(diào)方程在直角坐標系中為可(6+bj二0。由于x+cy=cp+%為應力不變量，因此對于極坐標問題，僅需要將直角坐標中的Laplace算符轉(zhuǎn)換為極坐標的形式。因為，x=pcos申，y=psin申，即。將p和申和分別對x和y求偏導數(shù)，可得鼻根據(jù)上述關(guān)系式，可得以下運算符號3dp3Stp391.9=+=cos1-sina?dx&dpdxd(pdppS(pddpddtpb.91d=+=sin(p+cos(pdydydpSydipb

7、ppb(p/d1.3.d1.d,(costp-一Ein護)(cos-一sintp)bpp8訶dppdp_2d22sin|cos1d2*sin2cosd+sin2d卩亦p3成ppdpTOC o 1-5 h z31d.d1d-=(sinp+cosj)(sinp+cosp)dppdpdpp.d2cos2a?-sin2a?d2sincos1=smcos+鼻oppdpd(ppdpcos2sin2pdsincosjd2p1d(pp1將以上兩式相加，簡化可以得到極坐標系的Laplace算符。2_e2d2_d218152V=護+薩=請+3喬+歹步另外，注意到應力不變量+弓=空+入，因此在極坐標系下，平面問題的

8、由應力表達的變形協(xié)調(diào)方程變換為7、應力函數(shù)如果彈性體體力為零，則可以采用應力函數(shù)解法求解。不難證明下列應力表達式是滿足平衡微分方程的這里艸（p,是極坐標形式的應力函數(shù)，假設其具有連續(xù)到四階的偏導數(shù)。將上述應力分量表達式代入變形協(xié)調(diào)方程，可得顯然這是極坐標形式的雙調(diào)和方程?？偠灾?，用極坐標解彈性力學的平面問題，與直角坐標求解一樣，都歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解雙調(diào)和方程。在應力函數(shù)解出后，可以應用應力分量表達式求解應力，然后通過物理方程和幾何方程求解應變分量和位移分量。7.2軸對稱問題的應力和相應的位移學習思路:如果彈性體的結(jié)構(gòu)幾何形狀、材料性質(zhì)和邊界條件等均對稱于某一個軸時，稱為軸對稱結(jié)構(gòu)。

9、軸對稱結(jié)構(gòu)的應力分量與申無關(guān)，稱為軸對稱應力。如果位移也與申無關(guān)，稱為軸對稱位移問題。本節(jié)首先根據(jù)應力分量與申無關(guān)的條件，推導軸對稱應力表達式。這個公式有3個待定系數(shù)，僅僅根據(jù)軸對稱應力問題的邊界條件是不能確定的。因此討論軸對稱位移，根據(jù)胡克定理的前兩式，得到環(huán)向位移和徑向位移公式，然后代入胡克定理第三式，確定待定函數(shù)。軸對稱問題的實質(zhì)是一維問題，因此對于軸對稱問題，均可以得到相應的解答。應該注意的問題是如何確定軸對稱問題。學習要點：1、軸對稱應力分量；2、軸對稱位移；3、軸對稱位移函數(shù)推導；4、軸對稱位移和應力表達式。1、軸對稱應力分量考察彈性體的應力與申無關(guān)的特殊情況，如圖所示。即應力函數(shù)

10、僅為坐標P的函數(shù)。這樣，變形協(xié)調(diào)方程即雙調(diào)和方程成為常微分方程如將上式展開并在等號兩邊乘以P4，可得4dSf3F爲2丄_n這是歐拉方程，對于這類方程，只要引入變換卩=,則方程可以變換為常系數(shù)的微分方程，有如一4如+4血二0d?臚臚其通解為緲f(f)=+Bte賽+Ce畫+D注意到t=Inp，則方程的通解為丹(p)-/Inp+Bp2Inp+Cp+D將上式代入應力表達式則軸對稱應力分量為cr=-+50.+2Inp)+2CPApp=0上述公式表達的應力分量是關(guān)于坐標原點對稱分布的，因此稱為軸對稱應力。2、軸對稱位移現(xiàn)在考察與軸對稱應力相對應的變形和位移。對于平面應力問題，將應力分量代入物理方程可得應變

11、分量耳二+Q+iz)-+(1-3y)5+2(1-y)Bln/?+2(1-y)C%=*-Q+v)T+(3-+2(1-v)Bln/?+2(1-v)C根據(jù)上述公式可見，應變分量也是軸對稱的。將上式代入幾何方程可得位移關(guān)系式-=(1+)-+-3y)B+2-y)Blnp+2(l-y)CTOC o 1-5 h z%11A+二-0.+V)-+(3-y)5+2(1-P)EIn#+2(1-y)Cppb(pEp1duduu上_1+丄二0pbpbpp對上述公式的第一式積分，可得叫二+2Q-討)珈(InQT)+(1-弘)珈+2(1-p)Cq+(訶)其中f（申）為申的任意函數(shù)。將上式代入公式的第二式叫1加巾1A+二一Q

12、+V)-+(3-y)B+2(1-y)Bln+2(1-y)CppEp積分后可得%二警土_J）收+如）這里g（p）為p的任意函數(shù)。3、軸對稱位移函數(shù)推導將徑向位移叫二+-Q+卩)鄉(xiāng)+2Q-w)%(lnp-1)+(1-弘)珈+2(1-i/)Up+(訶)和環(huán)向位移%二警乂一J/（繆）d訶+g（p）的結(jié)果代入公式的第三式或者寫作上式等號左邊為P的函數(shù)，而右邊為申的函數(shù)。顯然若使上式對所有的P和申都成立，只有弩+打（訶）切二Fdip其中F為任意常數(shù)。以上方程第一式的通解為gp)=Hp+F這里H為任意常數(shù)。為了求出f（申），將方程的第二式對申求一次導數(shù)，可得其通解為/S）=1血爐+懇8沖。另外將上述公式分別

13、代入位移表達式6二+Q3）鄉(xiāng)+2Qj）盼zD+Q）珈Fl-卩）如+）可得位移分量的表達式=i-(l+y)+20.-y)B/?(ln/?-1)+(1-3v)Bp+2(1-v)Cp+Isinp+疋cos訶up二4?訶+Hp-1sin+Kcosp4、軸對稱位移和應力表達式位移分量的表達式=i-(l+v)+2(L-y)珈(kip-Y)+(1-3v)Bp+2(1-v)Cp+Isinp+up=4?訶+Hp-+Kcostp中的A，B，C，H，I，K都是待定常數(shù)，其取決于邊界條件和約束條件。上述公式表明應力軸對稱并不表示位移也是軸對稱的。所以，軸對稱應力表達式可以簡化為但是在軸對稱應力中，假如物體的幾何形狀和

14、外力，包括幾何約束都是軸對稱的，則位移也應該是軸對稱的。這時，物體內(nèi)各點的環(huán)向位移均應為零，即不論P和申取什么值，都應有U=0o因此,B=H=I=K=0而位移表達式簡化為%=上述公式當然也可以用于平面應變問題，只要將E,v分別換為即可。7.3圓筒受均勻分布壓力的作用學習思路:本節(jié)介紹典型的軸對稱問題，厚壁圓筒作用均勻壓力的求解。問題的主要工作是通過邊界條件確定軸對稱應力公式中的待定系數(shù)。除了厚壁圓筒作用內(nèi)外壓力，還分析了作用內(nèi)壓力的圓筒應力分布。這個解答工程上稱為拉梅（Lame）解答，是厚壁圓筒等工程問題的經(jīng)典解答。學習要點：1、厚壁圓筒內(nèi)外作用均勻壓力；2、厚壁圓筒受內(nèi)壓力1、厚壁圓筒內(nèi)外作

15、用均勻壓力設有圓筒或圓環(huán)，如圖所示外半徑為b，受內(nèi)壓力q1及外壓力q2的作用。內(nèi)半徑為a顯然，問題的應力是軸對稱的，如果不計剛體位移，則其位移也是軸對稱的。將軸對稱應力公式代入本問題的邊界條件求解可得聯(lián)立求解上述公式，可得將上述所得的A，C回代軸對稱應力公式可得Lame解答pb2-a2p1b2-a2_/滬q2-Qiq2q/2pUb2-a2%二2、厚壁圓筒受內(nèi)壓力當外壁壓力q2為零時，即圓筒僅受內(nèi)壁壓力的作用，則圓筒應力為根據(jù)上述分析，容易看到徑向應力小于零，為壓應力；而環(huán)向應力大于零，為拉應力。最大應力為發(fā)生在內(nèi)壁的拉應力，其值為7.4曲梁純彎曲學習思路:本節(jié)介紹曲梁純彎曲問題。對于曲梁，其幾

16、何形狀并不具有軸對稱性質(zhì)，但是對于純彎曲問題，其任意橫截面的內(nèi)力具有軸對稱性質(zhì)。因此這是一個典型的軸對稱應力問題。由于問題屬于軸對稱應力，但是卻不是軸對稱位移，因此應該注意選取的應力和位移表達式。問題性質(zhì)確定后，主要工作仍然是通過邊界條件確定軸對稱應力表達式的待定系數(shù)。除了曲梁純彎曲應力分布分析，本節(jié)還討論了曲梁的變形和位移。根據(jù)分析，曲梁純彎曲的橫截面是保持平面的，但是彎曲應力0申沿橫截面高度按雙曲線分布，這與直梁的彎曲應力是不同的。因此，平面假設用于曲梁是不準確的。學習要點：1、曲梁純彎曲邊界條件；2、曲梁彎曲應力；3、曲梁純彎曲位移與平面假設1、曲梁純彎曲邊界條件設有矩形截面的曲梁，如圖

17、所示其內(nèi)半徑為a，外半徑為b，兩端受彎矩作用，設單位寬度的彎矩為Mo取曲率中心為坐標原點O，從梁的一端量取申o由于梁的所有徑向截面上的彎矩均相同，因此可以認為各個截面的應力分%pdpp1布是相同的，也就是說應力分布是軸對稱的。其應力分量滿足軸對稱應力公式=A+B(l+21n)+2C=-+S(3+21n/7)+2C%=根據(jù)邊界條件可以確定待定常數(shù)A,B,C本問題的邊界條件為巧嚴=o?=0.%円=Jtrpd/?=0fjo-pAp-Maa將軸對稱應力分量代入上述邊界條件，可以得到-4+2Bln+B+2C=0+2Elnb+E+2U二0b(+2Eln盤+E+2C)遼(+2Elnb+E+2C)二0JWn+

18、B(b2In6-a2Ina)+C(b2-a2)=Ma2、曲梁彎曲應力上述公式-4+2Blna+B+2C=0+2Elnb+E+2C二0(L+251n+5+2q-a(-+2BlnZ?+5+2Q=0.din+B(b2In6-a2Ina)+C(b2-a2)-Ma的第三式是第一，第二式線性組合的必然結(jié)果。將其余三個方程聯(lián)立求解?？梢缘玫狡渲蠳=(b2-a2)2+4a2d2(ln-)2a=0cr=-+50.+2Inp)+2CPApp爲二二一+H+21nQ)+2C0巴(駕ln2+護ln?+亍In蘭)Np2appb=+d2ln+(2ln+d2-2)Npapp將上述系數(shù)代入應力分量表達式，不難看出、仲性諂上述應

19、力分量表達式稱為克洛文解。應力分布如圖所示Vminmax穹曲應力擠壓.應力廳爐p在內(nèi)邊界，即p=a，彎曲應力最大。中性軸，即=0處，在靠近內(nèi)邊界一側(cè)。擠壓應力秤的最大值較中性軸更靠近內(nèi)邊界一側(cè)。EIsin+Kcosg?對于曲梁的彎曲位移，可將系數(shù)A,B,C代入軸對稱應力的位移表達式ia-0.+v)+20.-y)B/?(lnpV)+(l-3y)5/?+2(1-y)C/?+Isin+cosEp3、曲梁純彎曲位移與平面假設而其余待定常數(shù)H，K，I將由梁的約束條件來確定。假設即認為P點的位移為零，而且該點的徑向微分線段沿申方向的轉(zhuǎn)角也為零，如圖所示將軸對稱位移據(jù)表達式代入上述位移邊界條件，則H二1二0

20、疋二+Q3)才一爼一)陥111燉f卩)燉一2U(1-卩)燦將上述待定系數(shù)回代軸對稱應力的位移表達式1All命=-0.+v)一+2Q-v)Bpn/?-1)+(1-3)Bp+2(1-y)Cp+Isin+疋cos訶則可得曲梁的位移。以下討論平面截面的假設，為此考慮曲梁的環(huán)向位移曲梁橫截面上的任一徑向微分線段的轉(zhuǎn)角a為對于曲梁的任一橫截面，申為常數(shù)，因此橫截面上的所有微分線段的轉(zhuǎn)角a均相等。這也就是說，曲梁的橫截面保持平面。這與材料力學關(guān)于梁的彎曲變形平面假設是一致的。但是，彎曲應力f按雙曲線分布顯然與直梁的彎曲應力是不同的，而且假設徑向應力Cp=0和嘻=0，就是認為縱向纖維僅受簡單的環(huán)向拉壓的假設對

21、于曲梁是不成立的。但是，由于平面假定的正確，所以對于曲率不大的曲梁，這個誤差并不是特別顯著。因此，材料力學彎曲應力的計算公式在工程中廣泛應用。7.5曲梁受徑向集中力學習思路:本節(jié)討論曲梁作用徑向集中力問題。曲梁在集中力作用下，已經(jīng)不是軸對稱應力問題。對于彈性力學問題的求解，重要的問題是確定應力函數(shù)的形式。對于曲梁作用徑向集中力，借助于邊界彎矩與應力函數(shù)的關(guān)系，找到應力函數(shù)的基本形式，然后根據(jù)變形協(xié)調(diào)方程得到應力函數(shù)。對于應力函數(shù)中的待定系數(shù)，則根據(jù)邊界條件確定。學習要點：1、曲梁徑向集中力問題的應力函數(shù)；2、邊界條件；3、曲梁應力1、曲梁徑向集中力問題的應力函數(shù)設有矩形截面的曲梁，如圖所示其內(nèi)

22、半徑為a，外半徑為b，一端固定而另二端受徑向力F作用，設其為單位寬度。取曲率中心為坐標原點O，從梁的一端量取申。根據(jù)曲梁受力分析，任一橫截面的內(nèi)力，彎矩與sin申成正比。因此根據(jù)應力函數(shù)的性質(zhì)，假設問題的應力函數(shù)也與sin申成正比，即將上式代入變形協(xié)調(diào)方程可以得到f()所需要滿足的方程這個方程可以轉(zhuǎn)換為常系數(shù)的常微分方程，其通解為fp)-Aps+B+Cp+Dpnp將其代入應力函數(shù)表達式訶f3)二/(/?)sin訶，則訶f(Q“)=(Ap3+H丄+C/?+Dpn/?)sinp2、邊界條件根據(jù)極坐標應力分量表達式可得曲梁應力分量為PPPP=|芳=(6羽+牛血爐廠二一旦(丄退)二一(2如一苓+E)金

23、訶現(xiàn)在的問題是利用面力邊界條件確定待定常數(shù)A,B和D。本問題的面力邊界條件為=0?=0?pfp=a_0卯ih_ordp=-F3、曲梁應力求解上述方程，可以得到其中N=a2-b2+(a2+b2)n-a將上述計算所得的待定常數(shù)代入應力分量表達式將曲梁應力分量代入面力邊界條件，可得則曲梁的應力分量為F.a2+b2a2b2.7.6帶圓孔平板的均勻拉伸學習思路:平板受均勻拉力q作用，平板內(nèi)有半徑為a的小圓孔。圓孔的存在，必然對應力分布產(chǎn)生影響?？卓诟浇膽⑦h大于無孔時的應力，也遠大于距孔口稍遠處的應力。這種現(xiàn)象稱為應力集中?？卓诘膽校鶕?jù)局部性原理，影響主要限于孔口附近區(qū)域。根據(jù)上述分析，在與

24、小圓孔同心的厚壁圓筒上，應力可以分為兩部分：一部分是沿外圓周作用的不變的正應力，另一部分是以三角函數(shù)變化的法向力和切向力。對于前者是軸對稱問題；或者根據(jù)問題性質(zhì)可以確定應力函數(shù)后求解。孔口應力分析表明，孔口應力集中因子為3。學習要點：1、帶圓孔平板拉伸問題；2、厚壁圓筒應力函數(shù)；3、應力與邊界條件；4、孔口應力。1、帶圓孔平板拉伸問題設平板在x方向受均勻拉力q作用，板內(nèi)有一個半徑為a的小圓孔。圓孔的存在，必然對應力分布產(chǎn)生影響，如圖所示?？卓诟浇膽⑦h大于無孔時的應力，也遠大于距孔口稍遠處的應力。這種現(xiàn)象稱為應力集中。孔口的應力集中，根據(jù)局部性原理，影響主要限于孔口附近區(qū)域。隨著距離增加，

25、在離孔口較遠處，這種影響也就顯著的減小。根據(jù)上述分析，假如b與圓孔中心有足夠的距離，則其應力與無圓孔平板的分布應該是相同的。因此qoqbqb心=qcos2=(1+cos2lcos+Esin爐+（Ccos?+Dsin爐）其中A，B，C和D為待定常數(shù)，將上式代入應力函數(shù)表達式可得繆f（/?,訶）=j4/?cos+劭sin級+/?（Ccos+Dsin繆）由于過且過勢+Ep血卩=Hx+Ey為線性項，不影響應力分量的計算，因此可以刪去。因此應力函數(shù)為訶f（p,訶）=p訶（Ceos訶+Dsin訶）2、楔形體邊界條件=0由應力分量表達式，可得楔形體的應力分量7Jj=一(Dcos?-Csinp)P現(xiàn)在的問題是

26、利用面力邊界條件確定待定常數(shù)。楔形體左右兩邊的面力邊界條件已經(jīng)自然滿足。此外還有一個應力邊界條件：在楔形體頂端附近的一小部分邊界上有一組面力，它的分布沒有給出，但已知它在單位寬度上的合力為F。如果取任意一個截面，例如圓柱面ab，如圖所示則該截面的應力分量必然和上述面力合成為平衡力系，因此也就必然和力F形成平衡力系。于是得出由應力邊界條件轉(zhuǎn)換而來的平衡條件iJbcos(ppA(p+Fcos0二03、楔形體應力將應力分量表達式代入上式，則2J(Deos2p-CsinpcQsp)dq?+FcosJ=02J(Deos2p-Csin.?cos(p)A(p+Fsin二0積分可得D(sina+a)+Fcos

27、0二QC(sinff-ff)+Fsin=O將常數(shù)C和D代入應力分量表達式則本問題的解答為上述楔形體應力在等于0時，將趨于無限大。即在載荷作用點的應力無限大，解答是不適用的。但是如果外力不是作用于一點，而是按照上述應力分布作用于一個小圓弧區(qū)域，上述解答則為精確解。根據(jù)圣維南原理，除了力的作用點附近，解答是有足夠精度的。4、半無限平面作用集中力在上述楔形體問題中，如果令（X二兀，卩二0,則轉(zhuǎn)化為彈性半無限平面作用集中力問題。將x二兀,卩二0代入楔形體應力表達式則彈性半無限平面作用集中力作用的應力表達式為彈性半無限平面作用集中力作用的應力場具有以下特點：1、秤為主應力,其余主應力為0。2、在直徑為d,圓心在x軸并且與y軸相切于原點O的圓上，由于該圓上任意一點滿足p=dcos申，所以，圓上任意一點應力為Qp=2F/兀d。這就是說，圓上任意一點應力，除載荷作用點以外，各點應力和秤相同。此圓為等徑向應力的軌跡線，稱為