高中物理競(jìng)賽-一個(gè)獵狼問(wèn)題的三種解法

1、一個(gè)獵狼問(wèn)題的三種解法金彪浙江省上虞市春暉中學(xué)（312353）原題：一只狼沿半徑為R的圓形島邊緣以逆時(shí)針?lè)较騽蛩倥軇?dòng)，如圖1所示，狼過(guò)A點(diǎn)時(shí)，一只獵犬以相同的速率從O點(diǎn)出發(fā)追擊狼。若追擊過(guò)程中狼、犬、O點(diǎn)始終在同一直線上，則獵犬是沿什么軌跡運(yùn)動(dòng)的？V1 V V2 ORAV圖2ORAV圖1分析：因?yàn)槔茄貓A島做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，獵犬以相同的速率追擊狼，獵犬、狼、O點(diǎn)始終在同一條直線上，可以判定獵犬做的是勻速率曲線運(yùn)動(dòng)。所以要判定獵犬的運(yùn)動(dòng)軌跡，只要判定獵犬的加速度或曲率半徑就可以了，當(dāng)然也可以判斷獵犬的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。設(shè)某時(shí)刻獵犬運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，狼運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，O、C、B在同一條直線上，設(shè)OC距離為可以將獵犬的

2、瞬時(shí)速度V正交分解為沿BC方向的V1和垂直BC方向的V2，如圖2所示。有： （1） （2）由（1）（2）兩式得 （3）解法1：根據(jù)加速度求解獵犬運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)分速度大小方向都在發(fā)生變化，故速度V1、V2都有切向和法向加速度。設(shè)V1的切向加速度為a11，法向加速度為a12；V2的切向加速度為a22，法向加速度為a21。 （4） （5）以上兩式可得a11與V1同向，而a22與V2反向。又因?yàn)閂1總是平行于狼速，V2總是垂直于狼速，故兩個(gè)速度方向改變的角速度都與狼的運(yùn)動(dòng)角速度相同，則法向加速度： （6） V V1 a1 V2 a a2 圖3 （7）由矢量關(guān)系可得a21與V1同向，而a12與V2反向。則

3、在V1和V2方向上合加速度分別為，且方向關(guān)系如圖3所示，由三角形相似得合加速度a垂直于V，大小為同時(shí)由于C點(diǎn)為任意點(diǎn)，可得獵狗的加速度大小恒定不變，方向始終垂直于瞬時(shí)速度，該運(yùn)動(dòng)一定為勻速率圓周運(yùn)動(dòng)；軌跡為圓，圓半徑為。解法2，根據(jù)曲率半徑求解E V/ C/ B/ V CB O圖4D設(shè)在一段極短的時(shí)間t中，狼從任意一點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到B/，獵狗從C運(yùn)動(dòng)到C/。如圖4所示，由于狼和犬速率都等于V，故，作V/的平行直線BDE與OC交于D點(diǎn)，由（2）式可得，V和V/的夾角即圓弧BB/圓心角為，由圖中可得。因?yàn)闀r(shí)間極短，近視相等，上式可化為因?yàn)榍拾霃降扔诨￠L(zhǎng)比弧度，故，本式表示獵犬運(yùn)動(dòng)過(guò)程中曲率半徑始終為，故物體作圓周運(yùn)動(dòng)。解法3，根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)求解將（1）式左右兩邊求導(dǎo)將（2）式代入得因?yàn)椋疑鲜阶筮呌疫叾汲艘詍即獵狗在過(guò)狼的半徑方向上所受合外力大小與離開O點(diǎn)的位移成正比，比例系數(shù)為，方向相反，說(shuō)明獵犬在該方向上作的是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。且角速度為，同時(shí)考慮到初始狀態(tài)下位移