華中師范大學(xué)實(shí)變函數(shù)2011(B)(共6頁)

1、華中師范大學(xué) 20112012 學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷（B卷）課程名稱 實(shí)變函數(shù) 課程編號(hào) 83410014 任課教師 李工寶、何穗、劉敏思、鄭高峰題型判斷題敘述題計(jì)算題解答題總分分分得分評(píng)閱人一、判斷題（判斷正確、錯(cuò)誤，請?jiān)诶ㄌ?hào)中填“對”或“錯(cuò)”。 共5小題，每題3分，共53=15分）1、由1，2兩個(gè)數(shù)構(gòu)成的實(shí)數(shù)列全體具有連續(xù)勢（即連續(xù)基數(shù)）。 （ ）2、設(shè)是中的可數(shù)集，則仍為可數(shù)集。 （ ）3、設(shè)為開集，則一定可以表示成一列閉集的并集（即是型集）。 （ ）4、若為上的有理數(shù)集，為可測集，則。 （ ）5、設(shè)是上的一列非負(fù)單調(diào)可測函數(shù)，則是上的Lebesgue可積函

2、數(shù)。 （ ） 得分評(píng)閱人二、敘述題 (共5小題 , 每題3分，共53 =15分)1、請準(zhǔn)確地?cái)⑹龇从硢握{(diào)遞增非負(fù)可測函數(shù)列Lebesgue積分與極限可交換性的Levi的單調(diào)收斂定理。院（系）： 專業(yè)： 年級(jí)： 學(xué)生姓名： 學(xué)號(hào)： - 密 - 封 - 線 -2、請準(zhǔn)確地?cái)⑹龇从骋罍y度收斂與幾乎處處收斂之間關(guān)系的Lebesgue定理（勒貝格定理）。3、請準(zhǔn)確地?cái)⑹龇从晨蓽y函數(shù)列與連續(xù)函數(shù)之間關(guān)系Lusin定理（魯津定理）。4、請準(zhǔn)確地?cái)⑹龇从硟蓚€(gè)集合對等的Bernstein定理。5、請準(zhǔn)確地?cái)⑹龇从撤秦?fù)可測函數(shù)的重積分化累次積分的Fubini定理。 第 1 頁(共 3 頁)得分評(píng)閱人三、計(jì)算題（共

3、2題，每題10分，共20分） 1、設(shè)為上的Cantor三分集， ，求 。2、計(jì)算。 - 密 - 封 - 線 -得分評(píng)閱人四、解答題（共5小題，共 50分）1、（10分）設(shè)是可測集，則存在一列單調(diào)上升的閉子集，使得，。2、（5分）若為上的可測函數(shù)，為閉集，則，是可測集。 3、（10分）設(shè)是可測集，為上的可測函數(shù)，且存在零測集，使得，于，記，證明：。 第 2 頁(共 3 頁)4、（10分）設(shè)于，證明：于。5、（15分）設(shè)為可測集，為上的實(shí)函數(shù)，（1）若對幾乎所有的，都是在上的連續(xù)函數(shù)；對任取的，都是在上的可測函數(shù)，證明：對于任何上的實(shí)值可測函數(shù)，也是上的可測函數(shù)。（2）設(shè)還滿足：存在常數(shù)，使得，對任意，若是上的可積函數(shù)，且，證明：。 - 密 - 封 - 線 - 第 3 頁(共 3 頁)內(nèi)容總結(jié)（1）華中師范大學(xué) 20112012 學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷（B卷）課程名稱 實(shí)變函數(shù) 課程編號(hào) 83410014 任課教師 李工寶、何穗、劉敏思、鄭高峰題型判斷題敘述題計(jì)