直線的方向向量與直線的向量方程（基礎(chǔ)教育）

1、3.23.2.1直線的方向向量與直線的向量方程理解教材新知把握熱點考向應(yīng)用創(chuàng)新演練考點一考點二第三章空間向量與立體幾何考點三知識點一知識點二考點四知識點三32.1直線的方向向量與直線的向量方程問題1：當(dāng)t確定時，點P的位置是否被確定？提示：確定提示：過點A且平行于向量a的一條直線用向量表示直線或點在直線上的位置 (1)給定一個定點A和一個向量a，再任給一個實數(shù)t，以A為起點作向量 ta，這時點P的位置被t的值完全確定當(dāng)t在實數(shù)集R中取遍所有值時，點P的軌跡是通過點A且平行于 的一條直線l，反之，在l上任取一點P，一定存在一個實數(shù)t，使 ，則向量方程通常稱作直線l以 的參數(shù)方程 稱為該直線的方向

2、向量向量at為參數(shù)向量a 若直線l1的方向向量為v1，直線l2的方向向量為v2，且v1，v2. 問題1：若v1v2，則l1與l2有什么關(guān)系？ 提示：平行或重合 問題2：若直線l的方向向量v與v1，v2共面，且v1、v2不共線，則直線l與平面平行嗎？ 提示：不一定，l可能在內(nèi) 問題3：若平面，則v1，v2與什么關(guān)系？ 提示：v1，v2.v1v2v1且v2vxv1yv2 問題1：兩條直線垂直，對應(yīng)的方向向量垂直嗎？ 提示：垂直 問題2：兩條直線所成的角與兩直線的方向向量的夾角之間有什么關(guān)系？ 提示：相等或互補(bǔ) 用向量運(yùn)算證明兩條直線垂直或求兩條直線所成的角 設(shè)直線l1和l2所成的角為，方向向量分別

3、為v1和v2，則l1l2 ，cos v1v2|cosv1，v2| 1直線的方向向量不是唯一的，可以分為同向和反向兩類解題時，可以選取坐標(biāo)最簡的方向向量 2若直線l1，l2的方向向量平行，則包括l1與l2平行和l1與l2重合兩種情況 3求異面直線所成的角時要注意范圍 一點通此類問題常轉(zhuǎn)化為向量的共線、向量的相等解決，設(shè)出要求點的坐標(biāo)，利用已知條件得關(guān)于要求點坐標(biāo)的方程或方程組求解即可1已知O為坐標(biāo)原點，四面體OABC中，A(0，3，5)，B(1，2，0)，C(0，5，0)，直線ADBC，并且AD交坐標(biāo)平面xOz于點D，求點D的坐標(biāo) 例2已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E、F分別是B

4、B1、DD1的中點，求證： (1)FC1平面ADE； (2)平面ADE平面B1C1F. 思路點撥利用直線的方向向量以及線面平行，面面平行的條件證明 一點通 (1)證兩條直線平行可轉(zhuǎn)化為證明兩直線的方向向量平行 (2)用向量法證明線面平行：一是證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi)；二是證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線向量是共面向量且直線不在平面內(nèi) (3)利用向量證明面面平行，可轉(zhuǎn)化為證明線面平行3在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD3，AA1 2，P、Q、R、S分別是AA1、D1C1、AB、CC1的中點 證明：PQRS.5.如右圖，在平行六面體ABCD

5、A1B1C1D1中E、F、G分別是A1D1、D1D、D1C1的中點求證：平面EFG平面AB1C. 例3在棱長為a的正方體OABCO1A1B1C1中，E、F分別是AB、BC上的動點，且AEBF，求證：A1FC1E.思路點撥 一點通利用向量法證明線線垂直往往轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量垂直，即證明它們的方向向量的數(shù)量積為0.證明的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，正確地表示出點的坐標(biāo)進(jìn)而求直線的方向向量6正方體ABCDA1B1C1D1中，E為AC的中點，證明：(1)BD1AC，(2)BD1EB1. 思路點撥先建立空間直角坐標(biāo)系，求出A1C與AD1的方向向量再求出方向向量的夾角的余弦值，最后轉(zhuǎn)化為異面直線A1C與AD1所成的角精解詳析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 一點通利用向量求異面直線所成角的步驟為： (1)確定空間兩條直線的方向向量； (2)求兩個向量夾角的余弦值； (3)確定線線角與向量夾角的關(guān)系：當(dāng)向量夾角為銳角時，即為兩直線的夾角；當(dāng)向量夾角為鈍角時，兩直線的夾角為向量夾角的補(bǔ)角8已知正四棱錐PABCD底面邊長為a，高PO的長也為a，E，F(xiàn)分別是PD，