2009年gct入學(xué)資格考試數(shù)學(xué)精解

1、2年入學(xué)資格學(xué)基礎(chǔ)能力試題參考與1. 【】 D【】本題主要考查了一元二次函數(shù)的圖像（開口方向與對稱軸方程）。b解法1由題中的圖可知拋物線的開口向上且對稱軸為 x 2 ，在4 個選項(xiàng)中只有2ay x2 4x 5符合題意。故正確為 D 。解法2從題中的圖可以看出 f (1) f (5) 0 ，在4 個選項(xiàng)中只有 y x2 4x 5符合題意。故正確為 D 。2. 【】 B【】本題主要考查了簡單代數(shù)式與等差數(shù)列的平均值或前n 項(xiàng)和公式。 2009 22010 2008 1(2009 1)(2009 1) 1 (41)2 1681(1 3 5 7 9 11 13)2 (1 13) 7 2492為 B 。

2、故正確3. 【】 B【】本題主要考查了面積計(jì)算方法中的常用方法（割補(bǔ)法）及圓的面積計(jì)算公式。解法1如下圖(a) 所示，將圖中左上角的曲邊三角形補(bǔ)到右下角時，陰影部分的面積是兩個半徑分別為 a2 b2 與b 的 1 圓的面積之差，即4 (a2 b2 ) b2 a2444故正確為 B 。解法2所求面積為圓弧CC 及線段CD ， BD ， CB 圍成的面積（第一部分）減去圓弧 DD 及線段 BD， BC ， CD 所圍成的面積（第二部分）。如圖(b) 所示，連 AC ， AC 。第一部分面積為扇形 ACC 的面積加上兩個直角三角形的面積。因CAC 90 ，故第一部分面積為 (a2 b2 ) 21 a

3、b 。第二部分為長方形 ABCD42的面積加上扇形 ADD 的面積，其面積為ab b2 。所求面積為4 (a2 b2 ) 21 ab (ab b2 ) a24424為 B 。故正確4. 【】 D【】本題主要考查了奇偶數(shù)的概念。前100 個正整數(shù)中有50 個偶數(shù)，其中一位數(shù)字的有4 個，即2 ，4 ，6 ，8 ；兩位數(shù)字的有45個，即10 ，12 ，14 ，98 ；三位數(shù)字的有1個，即100 。將它們按要求排成一行共有97 位，所以從第98 位開始依次是102104 ，故第101個數(shù)碼是1。為 D 。故正確5. 【】C【】本題主要考查了函數(shù)的圖形表示法及函數(shù)周期性的概念。因 f (x) 是周期為

4、3 的周期函數(shù)，根據(jù)周期函數(shù)的概念可知(1) ，(0) 。從圖中可以看出 f (1) 1 ， f (0) 1 ， f (1) 2 。所以(1) 。(1) 2 (1) 2(0) f (1)1 2故正確為C 。6. 【】 A【】本題主要考查了等比數(shù)列、等差數(shù)列的概念和基本的代數(shù)公式及簡單的變形方法。解法1設(shè)兩個正數(shù)分別是a ， b ，根據(jù)題設(shè)可知a b 2 15ab 122所以a b(a b)2 (a b)2 4ab 900 576 324 18故正確為 A 。解法2由a b 2 15ab 122得b2 30b 144 (b 24)(b 6) 0 ，進(jìn)一步得a 6a 24或b 24b 6所以 a

5、b故正確 18。為 A 。7. 【】 D【】本題主要考查了運(yùn)動中的簡單相遇問題。設(shè)兩地距離是 x 千米，根據(jù)題意可知甲車到達(dá)相遇地點(diǎn)所用的時間是x 50 350乙車到達(dá)相遇地點(diǎn)所用的時間是2x 50 340由x 502x 503 35040解出 x 225 。故正確為 D 。8. 【】 D【】本題主要考查了特殊三角形的概念與特殊角的三角函數(shù)值。解法1在等腰ABC 中，當(dāng) AB AC 3 時，BC 3 時。這時sin A 3 13，22233223 。從而當(dāng) BC 3 時， A 的取值范圍應(yīng)是(所以 A , ) 。故正確為 D 。A 的取值范圍可以接近 ，而選項(xiàng) A ，B ，解法2本題利用排除法

6、最簡單。根據(jù)題意C 都做不到這一點(diǎn)，故正確9. 【】 B為 D ?！尽勘绢}主要考查了二項(xiàng)式展開系數(shù)的性質(zhì)。7k k nk解法1由題中的圖可知，第8 行的數(shù)字之和應(yīng)是(a b)7 C a b的展開系數(shù)之和，7k 07 7即C 27 128 。kk 0故正確為 B 。解法2本題也可以根據(jù)圖中的規(guī)律，得到第8 行中的數(shù)字是1，7 ，21，35 35 ，21，7 ，1，它們的和是128 。故正確為 B 。10. 【】 B【】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本概念（虛數(shù)、模）與簡單運(yùn)算（加法、除法）。由于 z 1 1 1 i ， z 2i2 5i3 2 5i ，所以z z3 4i 5 。1212i故正確為 B 。

7、11. 【】C【】主要考查了平面直線的基本概念及簡單的位置關(guān)系。解法1如下圖所示，過原點(diǎn)及直線 y 2x 4 與 y 2 的交點(diǎn)(3, 2) 的直線l1 的斜率 2 ，過原點(diǎn)且與直線 y 2x 8 平行的直線l 的斜率k 2 。當(dāng)直線 y kx 介于l 和lk之1221232間，即 k 2 ，直線與所給圖像有三個不同交點(diǎn)。3故正確為C 。y=2x+423用排除法。取k 0 ，解法2， 2 直接將選項(xiàng) A ， B ， D 排除。12. 【】 D【】本題主要考查了投影的概念及圖形對稱性、勾股定理和正方形的面積。解法1作如下圖所示的輔助線，顯然所得的小直角三角形與直角DMN 及BPQ 全等。設(shè)小直角

8、三角形的兩條直角邊的長度分別為 a ， b ，則5b 10 ， 5a 2b 10 ，所以b 2 ，a 656 36 4 136。從而 a2 b2，所求面積之和是 252566。5為 D 。故正確過Q 作線段QR 垂直 DA 交 DA 于 R 。設(shè) DM a ， DN b ，設(shè) MN c ，則解法 2DMDNMNc a2 b2 ，由圖，DMN RNQ ，故，NQ 5c ，。又 MNRNRQNQ所以 RQ 5b 10 ， RN 5a ，容易解得b 2 。又5a 2b 10 ，所以a 6 。從而56 6 2 1625個小正方形的面積為 S 6c2 6 22 32。 5 故正確為 D 。13. 【】

9、A【】本題主要考查了等可能事件的概率乘法公式和分步求積的計(jì)數(shù)原理。解法1根據(jù)題意，從甲、乙兩盒中各任取一個零件配在一起，共有200 240 種情況，其08 3 。中有160 180 種是 A 型螺栓。所以要求的概率是 p故正確為 A 。045解法2本題也可以利用獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求得08 30245p 為 A 。故正確14. 【】 A【】本題主要考查了四面體（三棱錐）的體積公式及相似三角形的性質(zhì)。根據(jù)題意，每個角去掉的仍是四面體，且每條棱的長是原來四面體對應(yīng)棱的一半，所以去 1 311掉的體積是原來的4 倍，從而剩余部分的體積是 64 32 。222為 A ?！緾故正確15. 【】本題

10、主要考查了雙曲線的基本概念（焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、實(shí)軸）和簡單計(jì)算（焦點(diǎn)坐標(biāo)）。解法1根據(jù)題意，本題可用特殊值代入法進(jìn)行求解。取 a 3 ， b 4 ，則右焦點(diǎn)為(5, 0) 。再取雙曲線右支上的一點(diǎn) P (5,) ，則以 PF 為52直徑的圓的圓心坐標(biāo)為(5, ) 。以實(shí)軸為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為(0, 0) ，所以兩圓的距離是3168 8 283 32 2 3 52， 3 這與兩圓的半徑之和相同，所以兩圓外切。故正確解法 2為C 。，因?yàn)?2a ，設(shè)以 PF2 為直徑的圓半徑為 r ，圓心為M 。PF1PF2以實(shí)軸為直徑的圓，其半徑為a ，圓心為O 。兩個圓的圓心連線為OM 。因?yàn)镺M 是F1PF2的

11、中位線，所以y112( PF22 2a) r aOMPF1即知兩圓外切。故正確為C 。F1解法3設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 P(x, y) ，PF2 的中點(diǎn) ex a ， 故兩 個圓的 半徑和 為為 M 。 根據(jù) 雙曲線 的焦半 徑公式 PF2， x c 2ex aex as r1 r2 a 。又兩個圓的圓心距離為d OM，222x2y2c利用e 和 1容易計(jì)算d 2 s2 0 ，由此可以推出d s ，所以兩個圓外切。a2b2a故正確為C 。16. 【】 B【】本題主要考查如何求函數(shù)的極限。解法1利用法則。(x -1)limlim (x -1)lim 1 1故正確為 B 。sin x 1以及無窮小量的

12、等價代換定理。解法2利用重要極限limxx01)1)(x 1)lim ( lim 1(x 1)x1故正確為 B 。17. 【】 B【】本題主要考查分段函數(shù)表示絕對值函數(shù)、簡單函數(shù)的圖形及求函數(shù)的交點(diǎn)。x 2x f (x) 的定義域?yàn)?x 0 。當(dāng) x 0 時x 2x 2 與x 可知x 的草圖如下所示，顯然，f (x) 的由最小值點(diǎn)是 y 2 x 與 y x 在0, 2 上交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 y x 4 0 y 2 x即(x 4)(x 1) 0 ，因此有 x 10, 2 ， f (1) 1 1是 f (x) 的最小值。為 B 。故正確 因 y x 是單調(diào)遞增函數(shù)， f (x) 的最小值點(diǎn)一定是 x

13、1，而不是 x 4 。f (x) 的分段表達(dá)式為注2 x ,x 0,1 (0,1)x 4, )f (x 2 ,yy=2 xy=xy=x 20124x18. 【】 A【】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷及定積分的性質(zhì)。因在(0, ) 內(nèi) g (x) 0 ，所以 g(x) 在(0, ) 內(nèi)單調(diào)增加。又t (0, ) 時有t ，因222 而，當(dāng)t 0,， g(t) g(sin t)，從而g(t) dt g(sin t) dt 成立。22故正確2 xx為 A 。111注 當(dāng) 0 x 1 時，有g(shù)(t) dt g(sin t) dt 成立；當(dāng)1 x 時，有 g(t) dt 2xxx1g(sint ) dt。

14、x19. 【】 Dsin x 1，極限運(yùn)算法則及無窮小量階的比較?！尽勘绢}主要考查重要極限limxx0由題設(shè)lim x g(x) 1及l(fā)imsin x 0 有l(wèi)imx g(x) 0 ，從而lim g(x) 0 。解法1sin xlim g(x)x0 x0g(x)x0 x g(x) xx0 lim x g(x) x 1 1 0 x0 sin xsin x 故正確為 D 。解法2利用排除法。由題設(shè)lim x g(x) 1及l(fā)imsin x 0 有l(wèi)imx g(x) 0 ，從而lim g(x) 0 。sin xx0 x0 x0 x0lim g(x) 的存在與 g(x) 在 x 0 點(diǎn)是否有定義無關(guān)，

15、因此，無法考查 g(x) 在 x 0 點(diǎn)的連x0續(xù)性和可導(dǎo)性，由此排除 A ， B ， C 。故正確為 D 。解法3特殊函數(shù)代入法。取 g(x) x2 ，它滿足題設(shè)條件，顯然，它在 x 0 點(diǎn)可導(dǎo)，排除C 。又取 g(它在 x 0 點(diǎn)沒有定義，因此它不連續(xù)，而且還不可導(dǎo)，排除 A ， B 。，為 D 。故正確20. 【】C【】本題主要考查定積分的換x及變上限求導(dǎo)法則。du dt ，且當(dāng)u 0 時，t x ；當(dāng)u x 時，t 0 。在uf (x u) du 中令 x u t ，則0于是x0 uf x uu 0t x0 x t f tf (t) dt tf (t) dt ，0故xxxf (t) d

16、t tf (t) dt x ln 200對上式再關(guān)于 x 求導(dǎo)，得 1 2 x，即f (t) dt 1 ，xxf (t) dt xf (x) xf (x) 2 x00 1 2 x1x1在f (t) dt 中令 x 1，得f (t) dt 。200故正確21. 【為C ?！?A【】本題主要考查高階導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算以及抽象復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。由題知 f (x) f 2 (x)，故 f (x) 2 f (x) f (x) 2 f 3 (x) ，進(jìn)而f (x) 6 f 2 (x) f (x) 6 f 4 (x) 。所以 f (0) 6 f 4 (0) 6 。故正確為 A ?！?D22. 【】本題主

17、要考查矩陣的運(yùn)算（轉(zhuǎn)置、乘法、逆矩陣）與解線性方程組。解法1設(shè) 1 1a13 a31 a1222a2122A (a ) aa ，則 AT aaaa23 32 ij2112 a aaaaa 3133 1333 3223因 AT A E ，所以 A1 AT 。由 AA1 E 得， AAT E 。由 AAT E 1，所以a 0 ， a 0 。由 AT A E，1 a2 a2，121312131 a2 a2 1，所以a 0 ， a 0 。因此21312131 100 AT00aa32 22aa33 23方程 AX b 兩邊AT ，得 AT AX ATb ，從而 1 1 100X ATb 0 0 0 a

18、a32 22 0 0 0aa33 23解法2用特殊矩陣代入法。 10 010A 00 1 0它滿足題設(shè)條件 AT A E ，顯然 A1 A 。方程 AX b 兩邊A1 ，得 10 1 1010X A1b 00 0 0 。 01 0 0 為 D 。故正確23. 【】C【】本題主要考查行列式的性質(zhì)。在a1 x a2 x a3 xb1 x b2 x b3 xc1 x c2 x c3 xf (x) 中，將第一列乘1分別加到第二、三列上得a1 x a2 x a3 xb1 x b2 x b3 xc1 x c2 x c3 xa1 x a2 x a3 xb1 a1 b2 a2 b3 a3c1 a1 c2 a2 c3 a3f (x) b1 a1 b2 a2 b3 a3c1 a1 c2 a2 c3 a31b1 a1 x 1 b2 a21b3 a3c1 a1 c2 a2 c3 a3a1 a2 a3當(dāng)1b1 a11 b2 a21b3 a3c1 a1 c2 a2 c3 a3 0時， f (x) 是常數(shù)，它沒有零點(diǎn)；當(dāng)1b1 a11 b2 a21b3 a3c1 a1 c2 a2 c3 a3 0時， f (x)