思修說課課程教案(愛國主義)

1、20162017學(xué)年度第一學(xué)期章節(jié)2.2以愛國主義為核心的民族精神授課班級2017級數(shù)學(xué)教育1、2班授課時間2017年11月11日授課類型理論學(xué)時數(shù)2學(xué)時教學(xué)目的1、掌握愛國主義的科學(xué)內(nèi)涵和基本要求2、了解中華民族的愛國主義優(yōu)良傳統(tǒng)3、理解愛國主義的時代價值教學(xué)重點和難點重點：1、愛國主義的科學(xué)內(nèi)涵2、愛國主義的時代價值難點：如何實現(xiàn)從愛國情感到愛國覺悟和愛國行為的升華教學(xué)（具）準(zhǔn)備多媒體課件教學(xué)方法啟發(fā)式、討論法教學(xué)主要內(nèi)容、愛國主義的科學(xué)內(nèi)涵二愛國主義的傳統(tǒng)三、愛國主義的時代價值教學(xué)過程設(shè)計備注一、導(dǎo)入新課案例分析一錢學(xué)森的愛國心二、講授新課（一）愛國主義的科學(xué)內(nèi)涵觀看愛國主義教育電影一一

2、戰(zhàn)狼二賞析討論：個人英雄主義與民族英雄主義？提問第一，愛國主義首先表現(xiàn)為愛國情感，是一種熱愛祖國和民族的深厚情感。第二，愛國主義是基本的思想觀念，是一種正確認識和處理個人與祖國關(guān)系的崇高覺悟。第三，愛國主義是公民應(yīng)當(dāng)遵循的基本行為規(guī)范，是一種道德要求、政治原則和法律規(guī)范。（二）愛國主義的優(yōu)良傳統(tǒng)（圖片）案例：打砸在華日本商店是正常的愛國行為嗎？（摒棄狹隘民族主義、理性愛國）1、熱愛祖國矢志不渝：“茍利國家生死以，豈因禍福避趨之”“位卑未敢忘憂國報國之心，死而后已。2、天下興亡匹夫有責(zé)：“天下興亡、匹夫有責(zé)”、“先天下之憂而憂、后天下之樂而樂。3、維護統(tǒng)一反對分裂：“民族團結(jié)和睦是我國各族人民的

3、共同心愿。統(tǒng)一是我國歷史發(fā)展的主流。啟發(fā)學(xué)生尋找個人與祖國關(guān)系，得出結(jié)論啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想了解的愛國事跡尋找身邊的愛國4同仇敵愾抗御外侮：“中華民族愛好和平與自由，但決不能忍受外來的侵略和壓迫。面對外來侵略，各族人民總是能團結(jié)一致，同仇敵愾，奮起反抗?！笔论E學(xué)生總結(jié)本堂課案例汶川地震等自然災(zāi)害時候愛國舉措1、愛國主義是中華民族繼往開來的精神支柱2、愛國主義是維護祖國統(tǒng)一和民族團結(jié)的紐帶3、實現(xiàn)中華民族復(fù)興的動力4、實現(xiàn)人生價值的力量源泉三、課堂小結(jié)回顧愛國主義的內(nèi)涵、愛國主義的傳統(tǒng)、愛國主義的時代價值四、布置作業(yè)發(fā)現(xiàn)身邊的愛國英雄，撰寫一份愛國英雄的事跡知識，不足的教師補充板書設(shè)計一、愛國主義的科學(xué)

4、內(nèi)涵二、愛國主義的優(yōu)良傳統(tǒng)三、愛國主義的時代價值（）愛國主義是中華民族繼往開來的精神支柱（二）愛國主義是維護祖國統(tǒng)一和民族團結(jié)的紐帶（三）愛國主義是實現(xiàn)中華民族復(fù)興的動力（四）愛國主義是個人實現(xiàn)人生價值的力量源泉教學(xué)反思Se-m-章節(jié)1.2復(fù)平面上的點集1.3復(fù)變授課班級2015級數(shù)學(xué)教育班授課類型理論函數(shù)授課時間20年月曰學(xué)時數(shù)學(xué)時教學(xué)目的1熟悉平面點集基本概念，熟練區(qū)分簡單閉曲線、光滑曲線和區(qū)域2對復(fù)變函數(shù)概念有初步了解教學(xué)重點和難點重點：區(qū)域的概念.難點：復(fù)變函數(shù)概念的理解.教學(xué)（具）準(zhǔn)備三角板、圓規(guī)教學(xué)方法講授法、討論法教學(xué)主要內(nèi)容一、平面點集的幾個基本概念_、復(fù)變函數(shù)的概念教學(xué)過程設(shè)

5、計備注一、導(dǎo)入新課1提問數(shù)學(xué)分析中聚點、孤立點、邊界點、有（無）界集概念.2回憶上節(jié)提到的線段、直線等，它們都是復(fù)平面的點集，后續(xù)課中講到解析函數(shù)，其定義域、值域均為復(fù)平面上某點集.二、講授新課（一）平面點集基本概念1點集的基本概念z的p-鄰域,z的去心鄰域00聚點、內(nèi)點、孤立點、外點、邊界點、邊界（3）閉集、開集；有界集、無界集（4）區(qū)域、閉域充分理解上述定義，得出以下結(jié)論：鄰域為復(fù)數(shù)列與極限論的基礎(chǔ)1）內(nèi)點必為聚點；2）聚點可能屬于E，可能不屬于E;3）孤立點必為邊界點；4）有邊界的不一定是有界集，無邊界的必為無界集.例17（1）帶形區(qū)域yImzy（圖1-3）；（2）同心圓環(huán)區(qū)域r|z|R

6、（圖1-4）12TO77777777777777P=ili圖1-4此部分內(nèi)容師生共同討論完成圖1-32若當(dāng)曲線圖1-5非簡單曲線圖1-6簡單曲線圖1-8簡單閉曲線（二）復(fù)變函1定義（圖1-11）單值W=zW=z2多值w=Argz,w=nz圖1-112代數(shù)式w=u(x,y)+iv(x,y)，指數(shù)式w=P(r,0)+iQC,0)對于若當(dāng)曲線，給出圖形舉例，省去繁瑣而抽象的定義贅述例1-8設(shè)有函數(shù)w=z2,試問它把z平面上的下列曲線分別變成w平面上的何種雙曲線x2-y2二4.解設(shè)z二rCos0+isin0)w二z2曲線？(1)以原點為心,2為半徑，在第一象限例的圓??；傾角0=彳的直線；-r(cosQ

7、+isinQ)J則R-r2,Q-20(1)對應(yīng)w平面的圖形為以原點為心，4為半徑，在u軸上方的半圓周(2)射線q-竺w-z23=x2-y2+2xyi，故u=x2-y2，所以在w平面上的像為直線u二4三、課堂練習(xí)設(shè)函數(shù)w-z2+2,當(dāng)z-x+iy時當(dāng)z-rei0時,w分別寫成什么形式？四、課堂小結(jié)若當(dāng)曲線與區(qū)域的概念；復(fù)變函數(shù)的概念五、布置作業(yè)P4310、11對比數(shù)學(xué)分析中函數(shù)的概念，找到異同點解釋復(fù)變函數(shù)的圖象需要四維空間，不能形象描述提示學(xué)生前兩題考慮模與輻角，三題考慮代數(shù)關(guān)系，師生共同討論完成學(xué)生總結(jié)本堂課知識，不足的教師補充板書設(shè)計Ate-M-章節(jié)1.3復(fù)變函數(shù)(_)1.4復(fù)球面與無窮遠

8、點授課班級2015級數(shù)學(xué)教育班授課時間20年月曰0,3S0,Vz：0z_zo0注：zTz0指z沿四面八方通向z的任何路徑趨近于z0,350,Vz:zTz0(x,y)t(x0,y0)有|f(z)(a+ib)=|lu(x,y)a+ilv(x,y)b,則|u(x,y)即limu(x,y)=a,limv(x,y)=b(x,y)t(x0y0)(x，y)t(x0y0)5的相關(guān)定義v(x,y)-0,350,Vz:0(x,y)T(x0，y0)(x，y)t(x0y0)有|u(x,y)a和|v(x,y)b于是u(x,y)a+v(x,y)b2即limf(z)zTz0zz00,350,Vz:zTz0例19證明f(z)

9、=丄2iVz5有|f(z)f(z&（z豐0）在原點無極限，從而在原點不連續(xù).書上的證明過程比較簡潔，不易解f（z）=丄1(z+z)(z-z)zz=2RezImz.設(shè)z=r(cos0+isin0)，則理解，將詳細證明過程板書演示”()2r2cos0sin0fz=sm20=1,沿=扌趨近原點.極限不存在，故在原點不連續(xù)0,沿e=0趨近原點例1.10設(shè)limf(z)=,則fQ)在z0的某去心鄰域內(nèi)有界.使f(z)0,350,Vz:有zTz0析：要找到某一MzTzzz0f0-耳|.在此式中想解出If(z)M，需要利用絕對值不等式f(z-hl，解出f(z)0，由limf(z)=f(z)有V0,350,V

10、z:有f(z)f(z)zTz000想證If(z)0利用絕對值不等式f(z)-f(z)|f(z)(z0)即可.只需取=此題過程由學(xué)生完成.zTzzZ0-；8g的去心鄰域丄z+g3相關(guān)結(jié)論：復(fù)平面以點g為唯一邊界點，擴充復(fù)平面以點g為內(nèi)點，且它是唯一無邊界區(qū)域.三、課堂練習(xí)提問：如果設(shè)z二x+iy，可否證明得出相應(yīng)結(jié)論？兩道例題由教師分析解題思路，證明過程由師生共同完成設(shè)函數(shù)fC)=r+y2若z豐0試證：fQ在原點不連續(xù).、0,若z=0四、課堂小結(jié)復(fù)變函數(shù)極限和連續(xù)的8-5語言，復(fù)球面與擴充復(fù)平面的概念五、布置作業(yè)P44-14、15提問：8是否可取其他值？只要取8-Ifz0都可證明學(xué)生總結(jié)本堂課知

11、識，不足的教師補充板書設(shè)計Ate-M-章節(jié)2.1解析函數(shù)的概念與柯西-黎曼方程授課班級2015級數(shù)學(xué)教育班授課時間20年月曰授課類型理論學(xué)時數(shù)學(xué)時教學(xué)目的1掌握復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分的概念2了解解析函數(shù)的概念，掌握判斷解析函數(shù)的方法3培養(yǎng)學(xué)生類比、歸納的能力教學(xué)重點和難點重點：解析函數(shù)的判斷方法難點：解析函數(shù)必要、充要條件定理的證明教學(xué)（具）準(zhǔn)備三角板教學(xué)方法講授法、討論法教學(xué)主要內(nèi)容、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分二、解析函數(shù)及其簡單性質(zhì)三、C.-R方程備注教學(xué)過程設(shè)計一、導(dǎo)入新課復(fù)變函數(shù)研究的主要對象為解析函數(shù)，它是一類具有某種特性的可為函數(shù)，本節(jié)我們來研究這類函數(shù)和它的性質(zhì).二、講授新課（一）解析函

12、數(shù)Az1導(dǎo)數(shù)廣(z2二limf+Az)一f)0zTz一AzTO2微分df(z)=ff(z)dz結(jié)論：（1）在一點可導(dǎo)o可微可微n連續(xù)例21證明f（z）=z在z平面處處不可微提問數(shù)學(xué)分析中證Af=z+Az-z=z+山-z=竺，當(dāng)Az分別取實數(shù)和純虛數(shù)時/極限不同，AzAzAzAz則f（z）=z極限不存在，從而在z平面處處不可微.例2.2求f（z）=（z2-4z+51的導(dǎo)數(shù)Az導(dǎo)數(shù)與微分的概念，類比得出復(fù)變函數(shù)相關(guān)概念（二）解析函數(shù)及其簡單性質(zhì)解析函數(shù)：w=f（z）在區(qū)域D內(nèi)可微，則稱fQ為D內(nèi)的解析函解析”概念解釋:fQ在z解析：f（z）在z的某一鄰域內(nèi)解析;fQ在區(qū)域D解析：fQ在區(qū)域D可微；

13、fQ在閉域d解析：fQ在包含閉域D的區(qū)域解析.經(jīng)過上述解釋，可得以下結(jié)論：fQ在z解析nf(z)在z可微；00(2)fQ在區(qū)域D解析ofQ在區(qū)域D可微奇點：不解析點(無定義、不連續(xù)、不可導(dǎo))例2.2的求導(dǎo)法柯西-黎曼方程則和數(shù)學(xué)分析中C.-R方程的引出一樣，由學(xué)生完假設(shè)w=fQ=u(x,y)+iv(x,y)是復(fù)變函數(shù)z二x+iy的一定義在區(qū)域D內(nèi)的函數(shù)當(dāng)二元實函數(shù)u(x,y),v(x,y)給定時，此函數(shù)也就完全確定一般說來，如果函數(shù)u(x,y)v(x,y)相互獨立，即使函數(shù)u(x,y)v(x,y)對x與y所有的偏導(dǎo)數(shù)都存在，函數(shù)fQ通常仍是不可微的例如，w二z二x-iy處處連續(xù)，并且u=x,v

14、=-y對x與y的一切偏導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，但w=z卻是一個處處不可微的函數(shù).提出想法：如果函數(shù)是可微的，它的實部u(x,y)與虛部v(x,y)應(yīng)不是獨立的，而必須適合一定的條件，下面我們來探討這種條件。探討：若f0在一點z=x+iy可微，則有(2.1)(2.2)熟練掌握解析的概念(2.3)fQ=limfj)-fQ)ztoAz設(shè)Az=Ax+iAy,f(z+Az)-f(z)=Au+iAv，則(2.1)變?yōu)閒Q=limAu+iAv心toAx+iAyAyO先設(shè)Ay=0,Axt0，貝U(2.2)式變?yōu)閺V(z)=lim+ilim竺AxtOAxAxtOAx即廣(z)=竺+i空OxOx再設(shè)Ax=0,Ayt0，則

15、(2.2)式變?yōu)閺V(z)=-ilim竺+lim色Ayt0AyAyt0Ay廣(人.dudvi1(2.4)比較(2.3)與(2.4)得出(C.-R.)du_dvdu_dvdxdy，dydx上述方程稱為柯西一黎曼方程，簡稱為C.-R.方程.函數(shù)若f0在一點z二x+iy可微必要條件：fQ在(x,y)滿足C.-R方程.充要條件：u(x,y)v(x,y)在(x,y)可微；fQ在(x,y)滿足C.-R.方程.充分條件：u,u,v,v在(x,y)連續(xù)；fQ在(x,y)滿足C.-R.方程.xyxy函數(shù)若fQ在區(qū)域D解析充要條件：u(x,y)v(x,y)在區(qū)域D可微；fQ在區(qū)域D滿足C.-R方程.充分條件：u,u

16、,v,v在區(qū)域D連續(xù)；f(z)在區(qū)域D滿足C.-R.方程.xyxy求導(dǎo)公式廣u+ivTOC o 1-5 h zxx例23討論函數(shù)fC)=z2的解析性解u(x，y)=x2+y2,v(x，y)=0，故u=2x,u=2y,v=v=0.又這四個偏導(dǎo)數(shù)xyxy|2只在z二0可微，但在整個z平面上處處不解析.在z平面上處處連續(xù)，則f(z)二例2.4討論函數(shù)f(z)=x2iy的可微性和解析性.解u(x，y)二x2,v(x,y)二-y故u二2x，u二v二0,v=-1/要滿足C.-R.方程/必xyxy須x=2，故僅在直線x=2上滿足c.-r方程，且偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，從而fo僅在直線x一2上可微，但在z平面上處處不解析

17、.并且ff(z)4=(+iv)丄=一1x=xxx=22學(xué)生分組討論，完成證明過程，體現(xiàn)師范學(xué)生的三、課堂練習(xí)試證函數(shù)f(z)=exCosy+isiny)在z平面上解析，且fQ=f(z).四、課堂小結(jié)示范性函數(shù)在某點可微的必要、充要、充分條件;函數(shù)在某區(qū)域的充要、充分條件五、冷直作業(yè)P903.4、5、81=DrOB掌握函數(shù)解析性的般方法，由學(xué)生總結(jié)步驟El?制g州壓念SAte-M-章節(jié)2.2初等解析函數(shù)授課班級2015級數(shù)學(xué)教育班授課時間20年月曰授課類型理論學(xué)時數(shù)學(xué)時教學(xué)目的1掌握指數(shù)函數(shù)和一角函數(shù)的性質(zhì)，并掌握其與實變函數(shù)的異同2會利用解析函數(shù)的性質(zhì)解決一般復(fù)數(shù)性問題教學(xué)重點和難點重點：指數(shù)

18、函數(shù)、一角函數(shù)的性質(zhì).難點：復(fù)函與實函相應(yīng)知識的不同.教學(xué)（具）準(zhǔn)備三角板教學(xué)方法講授法、討論法、指數(shù)函數(shù)教學(xué)二、三角函數(shù)主要內(nèi)容三、雙曲函數(shù)備注教學(xué)過程設(shè)計一、導(dǎo)入新課上節(jié)課我們將數(shù)學(xué)分析中的知識平行推廣到復(fù)變函數(shù)中，本節(jié)課我們來研究初等函數(shù)在復(fù)變函數(shù)中的推廣，會得到一些性質(zhì)，其中有與數(shù)學(xué)分析不同的新性質(zhì)，利用這些性質(zhì)我們可以解決一些復(fù)數(shù)性問題。二、講授新課（一）指數(shù)函數(shù)1定乂ez=ex+iy=ex(cosy+isiny)2性質(zhì)ez=ex,argez=y,ez豐0,().ez=ez;1,e-z=ez學(xué)生回不滿足Rolle定理，滿足羅比達法則.答;給出基本（二）三角函數(shù)周期和周期的概eizei

19、zeiz+eiz丄定乂sinz=,cosz=2i2教學(xué)設(shè)計：由歐拉公式eiy=cosy+isiny,e-iy=cosyisiny啟發(fā)學(xué)生思考怎樣求出cosy和siny，將y以復(fù)數(shù)z代替，便得到正余弦的定義.2性質(zhì)(sinz)=cosz,Cosz)=-sinz；念，證明由學(xué)生完成，強調(diào)與數(shù)分中不同;（4）舉例說明;回憶sinz是奇函數(shù)，cosz是偶函數(shù)，并滿足三角恒等式;sinz和cosz都以2n為基本周期;sinz的零點為kn(keZ)，cosz的零點為k兀+殳。eZ);2sinz和cosz在復(fù)數(shù)域無界.(三)雙曲函數(shù)定義雙曲正余弦sinhz=t,coshz=記憶方法：正余弦定義中去掉所有的i

20、即可.例25求sinG+2i)的值解in(112i)=ei(1+2i)-e-G+2i)=e-2+i-e2-isin+1=2i_2ie-2(cos1+isin1)-e2(cos1-isin1)2ie-2+e2._e-2e2-sin1+i-cos122=cosh2sin1+isinh2cos1例26VzeZ，若sin(z+e)=si=sinz,貝忱=2k兀,keZ解由已知有sin(z+w)-sinz=0，即2cos于是sin-=0所以-=k兀則e=2k兀,keZ.22三、課堂練習(xí)利用定義證明sin(z+z)=sinzcosz+coszsinz121212四、課堂小結(jié)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的性質(zhì)，與數(shù)分

21、的不同之處五、布置作業(yè)P9110P92-13、14數(shù)分相關(guān)知識,Rolle定理和羅比達法則，由學(xué)生驗證驗證和差化積公式之一;(3)由學(xué)生討論并驗證;(4)求解有難度，教師板演一個，另一個由學(xué)生完成;(5)反例cosiy無界，強調(diào)與數(shù)分中不同EL/制g州壓念SAta-M-章節(jié)2.3初等多值函數(shù)授課班級2015級數(shù)學(xué)教育班授課時間20年月曰授課類型理論學(xué)時數(shù)學(xué)時教學(xué)目的1明確對數(shù)函數(shù)和一般指數(shù)函數(shù)的概念2會求一個復(fù)數(shù)的對數(shù)和復(fù)指數(shù)教學(xué)重點和難點重點：復(fù)對數(shù)的求法.難點：將一般指數(shù)函數(shù)歸為求解復(fù)對數(shù).教學(xué)（具）準(zhǔn)備三角板教學(xué)方法講授法、討論法i教學(xué)、對數(shù)函數(shù)主要內(nèi)容二、一般指數(shù)函數(shù)備注教學(xué)過程設(shè)計一

22、、導(dǎo)入新課前幾節(jié)課我們研究了初等解析函數(shù)，它們分別是指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)，這三類函數(shù)均為單值函數(shù)。本節(jié)課介紹兩種多值函數(shù)對數(shù)函數(shù)和一般指數(shù)函數(shù).提問：指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的定義.二、講授新課（一）對數(shù)函數(shù)1定義指數(shù)函數(shù)ew=z的反函數(shù)即為對數(shù)函數(shù)，稱w為復(fù)數(shù)z的對數(shù)，記為w=Lnz2求解公式推導(dǎo)設(shè)z=re9,w=u+iv則ew=z變?yōu)閑u+iv=rei9，即卩eueiv=rei9,于是有u=Lnr,v=9+2k兀,keZ得出對數(shù)公式Lnz=lnr+i+2k一)=lnz+i(argz+2k一)=lnz+iArgz找學(xué)生回答定義，鞏固上節(jié)課的內(nèi)容主值Inz=Inz+iargzC一argzW一

23、)問“負數(shù)無對數(shù)”在復(fù)數(shù)域是否成立？例27Ini=Ini+i一=（一）（一）i+i=(2J(2丿Lni=In例2.8Ln(3+4i)=ln5+iarctan+2一iQeZ)3（二）一般指數(shù)函提示注意區(qū)別Ln與In在設(shè)z,w時，讓學(xué)生思考設(shè)代數(shù)式還是指數(shù)式，1定義稱w=azGH0,X）為一般指數(shù)函數(shù).學(xué)生討論完成2求解方法W二az二eLnaz二ezLna例29(1)ii二eLnii=eiLni二eln1+i(2)21+i二eG+i)Ln2二e(1+i)lln2+i(0+2kK)l=eGn2-2k兀Li(ln2+2k兀)=e(in2-2kR)(cosln2+isinln2)三、課堂練習(xí)負數(shù)也有對數(shù)

24、，1.求Ln(3+4i)強調(diào)與實變函數(shù)的不同之處2.解方程ez二1+打icosz+sinz二0(4)1+ez=03.試求（1+J及3i之值.四、課堂小結(jié)例2.8由學(xué)生完成，并復(fù)習(xí)主輻1對數(shù)函數(shù)的求解方法角的求法2-般指數(shù)函數(shù)的求解方法.五、布置作業(yè)P9320、24對比高中數(shù)學(xué)中的對數(shù)恒等式，提示注意區(qū)別Ln與ln由學(xué)生板演，教師點評學(xué)生總結(jié)本堂課知識，不足的教師補充Se-m-章節(jié)3.1復(fù)積分的概念及其簡單性質(zhì)授課班級2015級數(shù)學(xué)教育班授課類型理論教學(xué)目的1充分理解復(fù)積分的概念授課時間20年月曰學(xué)時數(shù)學(xué)時2會求簡單的復(fù)積分3培養(yǎng)學(xué)生利用已知探索解題方法的自主學(xué)習(xí)精神教學(xué)重點和難點重點：復(fù)積分的

25、計算.難點：參數(shù)思想.教學(xué)（具）準(zhǔn)備三角板教學(xué)方法講授法、討論法一、復(fù)積分的定義教學(xué)二、復(fù)積分的計算主要內(nèi)容三、復(fù)積分的性質(zhì)四、積分估值教學(xué)過程設(shè)計備注一、導(dǎo)入新課復(fù)積分是研究解析函數(shù)的一個重要工具，積分的概念和數(shù)學(xué)分析中積分的概念相似。提問:在數(shù)學(xué)分析中積分是如何定義的？分幾個步驟求解？定積分的求法：二、講授新課分割，近似求和，（一）復(fù)積分的定義取極限1準(zhǔn)備知識周線：逐段光滑的簡單閉曲線.（2）方向“反時針”為正，順時針”為負.2定義設(shè)有向曲線C:z=zC）,（at邛）以a=z為起點，b=z）為終點，fvz丿沿C有定義順著C從a到b的方向在C上取分點：a二z,z,z二b把曲線C01n3.4.

26、5.周線的概念為第分成若干個小弧段在從z至lz(=1,2,n)的每一段弧上任取一點.，作和數(shù)k-1kkS=Ef(kz,其中Az=znkkkkk=1趨于零時，如果和數(shù)s的極限存在且等于j，則稱fQ沿c可積，而稱j為fQ沿nC的積分，并記為J=Jf(z)dz.C為積分路徑.C3注意(1)若J存在，一般不能寫成Jbf(z)dz，因為積分和路徑C有關(guān).-z當(dāng)分點無限增多，而這些弧段長度的最大值k-1二節(jié)做準(zhǔn)備由學(xué)生回憶數(shù)學(xué)分析中相應(yīng)概(2)可積的必要條件是有界.念，對應(yīng)著模擬(二)復(fù)積分的計算步驟1.寫出積分路徑C的參數(shù)方程z=zQatW卩,dz=zC)dt2代入Jf(z)dz=JpfLSzOdzCa

27、3計算此實積分.例3.1計算積分JRezdz.(1)連接由0到1+i的直線段連接0到1以及1到C1+i的直線段所組成的折線.解設(shè)點1為A，點1+i為B(1)OB:X，z=t+itGt1),Rezdz=J11(L+i)dt=(1+i、y=tcI1tdt=1+0出復(fù)積分的概念，教師給予及時評價讓學(xué)生考慮如果積分路徑是順時xt,z二tGtAB:y=0JRezdz=J1tdt+J1idt=+iC002(三)復(fù)積分的基本性質(zhì)OA:針，結(jié)果會怎樣？訂af(z)dz=aJf(z)dzTOC o 1-5 h zCC2.Jf(z)+g(z)dz=Jf(z)dz+Jg(z)dzCCCJf(z)dz=Jf(z力z+

28、Jf(z力z,C由C和C銜接而成CC1C212Jf(z)dz=-Jf(z)dzc-|Jf(z)dz|=Jf(z)dz|=J|f(z)dsI廠I廠c(四)積分估值定理31fQ連續(xù)，存在M0使f(zM，L為C之長，則Jf(z)dzML.三、課堂練習(xí)證明J竺dz0，只要開始取的那個小圓足夠小，則小圓內(nèi)一切點:均符合條件ft)-f(z)8，于是有f(z)0,350,Vg:g-zf|f(g)-f(z)Yp|g-z有充分應(yīng)dgYpg-z用，讓學(xué)生給予充分重視.=P5有f(g)-f(z.于是(3.5)不大于dgfdg=2兀p=2ks.定理得證.PYPyp2柯西積分公式的變形式推論3.10=2兀if(z)(z

29、eD)cgz注：柯西積分公式中g(shù)=z是被積函數(shù)f(g)=在C內(nèi)部的唯一奇點.若F(g)在Cgz內(nèi)有兩個或兩個以上奇點，則不可用此公式.思考題：定理3.9的條件下，若z電D，則丄f理dg的值如何？2兀icgz例35求解周線積分f負)dg,其中C:|g|解g=-i為被積函數(shù)在g|2內(nèi)的唯一奇點，則-g2吐)dg=fc芫)dg=加乙g=-i這一步非常重要，將復(fù)雜路徑簡化解析函數(shù)平均值定理定9311若fQ在gzR上連續(xù)，則R內(nèi)解析，在閉圓gz0fQ)=f2kfC+Re血(02兀o0意義：fQ在圓心的值等于它在圓周上的值的算術(shù)平均數(shù).0,使當(dāng)例36設(shè)fQ在|z在|za,且fa.試證:內(nèi)無零點,而由題設(shè)f

30、（z）在|z=R上也無零點于是設(shè)F(z)=-)在閉圓|z利用推論可又有題設(shè)IFG）=崗-a-.從而有-IfG)aa以求周線積分，此處注R上解析由解析函數(shù)平均值定理F（0）=J2KFHi歸2兀o意強調(diào)g=z丄-2兀-矛盾.故在圓|z|R內(nèi)fQ至少有一個零點.a2兀a是C內(nèi)唯一（三）解析函數(shù)的無窮可微性奇點1柯西積分公式的高階求導(dǎo)公式（1）猜測公式f(z)=舟Jc鬢dg-f(z)=/JC血dg，fa皤JC昌dg廣(z)=4dg，猜測八）（z）=簽JCdg滿足柯西積定理3.12在定理3.9條件下，fQ在d內(nèi)有各階導(dǎo)數(shù)，且有(n)(z)=J(f冷dg2兀iclg-z人+1(zgD)n=1,2,例37計

31、算J（cos；dz,其中C是繞i周的周線.cziKcosz解JCRe+e-1=兀icosi=兀i2z=i分定理的條件，積分值定理3.12的證明圖3.5即證limf(z+Az)f(z)AztO證明n=1情形即證廣）=丄J2兀ic(fdg成立(g-z)2即證Az定理3.11fC+Az)-fC)丄jf2兀ic(g-zAzdgd0.設(shè)|Az|g-z1Jf(g)_hg-莎Jcdg_z|-|Az|，則盞Jc(g-z-茫)g-z)2dg式證明，由學(xué)生分組討論完成閏J2兀c|g-z-Az|g-z|國簽，取一min卩dKd32ML，于是有f_羔JcfQdg提示含至設(shè)n_k時結(jié)論成立即f（k）（z）_邑J（f（g

32、）2兀7cdg,當(dāng)n二k+1時，有呢+1多”至少字眼時多用lim八念+Az)-八念)_lim丄AztOAzAztOAzkJAz2兀ic(g-f(g)z-Az+1dgFk+1反證法.-dg0)在右邊平面內(nèi)是調(diào)和函數(shù)，并求以此為虛部的解討論完成析函數(shù)fQ.四、課堂小結(jié)解析函數(shù)的等價條件，已知調(diào)和函數(shù)求解析函數(shù)的步驟.五、布置作業(yè)P14316(1)(2)第二章內(nèi)容此為第三個等價定理思考：如果先由C.-R.方程另一個先求出v(x,y)，結(jié)果是否一樣？學(xué)生分組討論并匯報結(jié)果.學(xué)生總結(jié)本堂課知識，不足的教師補充板書設(shè)計Se-m-章節(jié)4.0實級數(shù)的相關(guān)知識授課班級2015級數(shù)學(xué)教育班授課類型理論授課時間20

33、年月曰學(xué)時數(shù)學(xué)時1掌握實級數(shù)的相關(guān)概念教學(xué)目的2會用比較法、比值法、根值法、萊布尼茲判別法判斷級數(shù)的斂散性.重點：判斷實級數(shù)的斂散性.難點：比較法的推論.重點和難點教學(xué)（具）準(zhǔn)備三角板教學(xué)方法講授法、討論法教學(xué)一、實級數(shù)的基本概念主要內(nèi)容二實級婁攵斂散性的判別法備注教學(xué)過程設(shè)計一、導(dǎo)入新課在講第四章復(fù)級數(shù)之前，學(xué)生應(yīng)先掌握基本的實級數(shù)知識，由于數(shù)學(xué)分析中實級數(shù)部分沒有講，所以在講本章知識之前先學(xué)習(xí)一下相關(guān)知識.二、講授新課（一）實級數(shù)的基本概念1數(shù)項級數(shù)藝u-u+uuTOC o 1-5 h zn12nn=12.n項部分和（前n項和）S二u+u+un12n3收斂limS=S或limYu=S，稱s

34、為級數(shù)的和.nnnT8nT8-i=1對比數(shù)學(xué)分析相發(fā)散.發(fā)散或limS不存在.nnns應(yīng)知識4幾個常用結(jié)論幾何級數(shù)藝arn-1=a+ar+ar2+arn-1+n=1當(dāng)?shù)?時，級數(shù)發(fā)散.廣義調(diào)和級數(shù)藝丄=1+丄+丄+丄+np2p3pnpn=1當(dāng)p1時，級數(shù)收斂.常用送丄發(fā)散，送丄收斂.nn=1n2n=1級數(shù)藝丄=1+丄+丄+丄+收斂n!2!3!n!n=1（二）判斷級數(shù)斂散性的方法1判斷正項級婁攵斂散性的方法正項級數(shù)藝u=u+u+u+n12nn=1，其中u（i=1,2,）為正數(shù)i(Dtb較法藝u與藝v,3NgN,VnN有ucvnn+nnn=1n=1若區(qū)v收斂，則區(qū)u收斂；若區(qū)u發(fā)散，則區(qū)v發(fā)散.n

35、nnnn=1n=1n=1n=1推論藝u與藝v,limn=k(0k+只)nnv.nsyn=1n=1n0k+8，則二者有相同的斂散性;若k=0，且藝v收斂，則藝u收斂;nnn=1n=1若k=+8散，則區(qū)u發(fā)散.nnn=1n=1比值法（達朗貝爾判別法）limJ=lnsUn當(dāng)l1時，級數(shù)發(fā)散.根值法（柯西判別法）limn：u=ln當(dāng)l1時，級數(shù)發(fā)散.2.判斷交錯級數(shù)的斂散性師生共同討論幾何級數(shù)的斂散性熟記以上結(jié)論,以后會經(jīng)常應(yīng)用交錯級數(shù)(-l)n-1u=u-un1n=1萊布尼茨法則若limu=0,nnsu，則交錯級數(shù)收斂.n+13.致收斂函數(shù)項級數(shù)藝u（x）=u（x）+u（x）+u（x）+在I收斂于和

36、函nn=1數(shù)S(x)，Vo,3neN,nN,JI有SC)-SC丄3n2-12n31=丄,lim嚶n!“T81=丄,limnnslimnslimnTg,由于1發(fā)散，所以,q攵=0,ln1+推論，師生共同完成而厶攵斂，由比較法推論知亠攵斂.n!n-n!n=1n=1=1,而區(qū)丄發(fā)散，由比較法推論知區(qū)ln1+上發(fā)散.nn=1n=1=limn2n+12=11,由根值法知藝n、2n+1n=1n收斂.=lim丄=01,由根值法知丄收斂.lnnnn*lnnlnnnn=1當(dāng)1=1時級數(shù)的斂散性無法確n+1lim匚=lim忑=lim=11,比值法蘭也發(fā)散.nsUnsnnnsnnnT1且lim1=0，由萊布尼茨法則

37、知藝(-1爲(wèi)1收斂+nn+1n*nnn=1二、課堂練習(xí)判斷級數(shù)的斂散性藝1藝1n2+1n2lnnn=1n=1四、課堂小結(jié)數(shù)項級數(shù)斂散性的判別方法致收斂部分為大學(xué)本科重點，專科選修學(xué)生總結(jié)本堂課知識，不足的教師補充板書設(shè)計板書11實級數(shù)的基本概念2實級數(shù)斂散性的判別方法板書2練習(xí)題教學(xué)反思Ate-M-章節(jié)4.1復(fù)級數(shù)的基本性質(zhì)授課班級2015級數(shù)學(xué)教育班授課時間20年月曰授課類型理論學(xué)時數(shù)學(xué)時教學(xué)目的1熟練掌握復(fù)數(shù)項級數(shù)斂散性的判別方法2明確復(fù)函數(shù)項級數(shù)一致收斂的重要性教學(xué)重點和難點重點：復(fù)數(shù)項級數(shù)斂散性的三個判別法.難點：復(fù)函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性.教學(xué)（具）準(zhǔn)備三角板教學(xué)方法講授法、討論法教學(xué)

38、主要內(nèi)容一、復(fù)數(shù)項級數(shù)的相關(guān)知識和判別法二、一致收斂的復(fù)函數(shù)項級數(shù)三、解析函數(shù)項級數(shù)教學(xué)過程設(shè)計備注一、導(dǎo)入新課提問：實正項級數(shù)的斂散性判別法.如果將實數(shù)域擴大為復(fù)數(shù)域，得到復(fù)數(shù)項級數(shù)和復(fù)函數(shù)項級數(shù).二、講授新課（一）復(fù)數(shù)項級數(shù)1基本概念藝a=a+a+a+,a為復(fù)數(shù)n12nnn=1若limS=S，稱級數(shù)收斂于S，稱S為級數(shù)的和，即S=a.nnnTg.n=12判定定理定理41級數(shù)藝a=+ib）收斂于a+ibo藝a,送b分別收斂于a,b.nnnnnn=1n=1n=1n=1定理42（柯西準(zhǔn)則）級數(shù)藝a收斂0,3NeN,VnN,VpeN,有+nn=1ex+a+an+1n+2n+p注：級數(shù)藝a收斂nli

39、ma=0；nn=1nns收斂級數(shù)的各項必有界;若級數(shù)去掉有限項，不影響其斂散性.定理43區(qū)|a收斂n級數(shù)區(qū)a收斂nnn=1n=1例41判斷級數(shù)送n=11i）_+n2n丿的斂散性.回憶數(shù)學(xué)分析中級數(shù)斂散性的判別法，平行推廣到復(fù)變函數(shù)中定理4.1由學(xué)生猜測結(jié)果并證明，教師給予及時評價解:藝1發(fā)散，雖然送丄收斂，但原級數(shù)發(fā)散.n2nn=1n=1（二）一致收斂的復(fù)函數(shù)項級數(shù)1基本概念(1)復(fù)函數(shù)項級數(shù)藝f(z)=f(z)+f(z)+f(z)+n12nn=1(2)若復(fù)函數(shù)項級數(shù)的各項在點集E上有定義，且在E上存在一個函數(shù)f(z),對于E上的每一點z，級數(shù)均收斂于f(z)，則稱f(z)為級數(shù)藝f(z)的和

40、函數(shù).nn=1由柯西準(zhǔn)則得出2.致收斂(1)對于級數(shù)藝f(Z)，如果在點集E上有一個函數(shù)f(Z)，使對任給e0，存在nn=1正整數(shù)N=N(e)，當(dāng)nN時，對一切的zeE均有3點注釋，注的fQ-s(z)0,3NG)wN,VnN時,對一切zeE,VpeN,均有f(z)+f(z)+n+1n+pI3優(yōu)級數(shù)準(zhǔn)則若存在正數(shù)列M，使對一切zeE有If(z)M且正項級數(shù)n1nnn+1e.n+p介紹絕對收斂和條件收斂的概念區(qū)M收斂，則復(fù)函數(shù)項級數(shù)區(qū)fQ在集E上絕對收斂且一致收斂.nn-1在閉圓IZr(r1)上一致收斂.n=1n=1例4.1較簡單，例42級數(shù)1+z+Z2+Zn+4一致收斂的應(yīng)用.由學(xué)生完成定理45

41、設(shè)級數(shù)區(qū)f(z)的各項在點集E上連續(xù)，并且一致收斂于f(z)，則和函nn=1數(shù)f(z)=藝f(Z)也在E上連續(xù).nn=1定理46設(shè)級數(shù)另f(z)的各項在曲線C上連續(xù)，并且在C上一致收斂于f0,nn=1則沿C可以逐項積分Jf(z)dz=Jf(z)dzCnCn=1解析函數(shù)項級數(shù)(選學(xué))定理4.7設(shè)(1)函數(shù)f(Z)在區(qū)域D內(nèi)解析;(2)藝f(z)在D內(nèi)內(nèi)閉一致收斂于nnn=1fz）;貝則函數(shù)f（z）在區(qū)域D內(nèi)解析;（2）送f（p）（z）=f（p）Q（zeD,p=1,2,）；nnn=1藝f（p）（z在D內(nèi)閉一致收斂于f（p）（z）.nnn=1二、課堂練習(xí)證明級數(shù)CJ1收斂，但非絕對收斂i+n1n=1

42、思路：藝cJ1=CJ（nJ乏（J（，利用萊布尼茨i+n1vn1）2+1vn1）2+1n=1n=1n=1法貝證明兩個交錯級數(shù)收斂由CJn1一1=1、一1i+n1讓+1Jn2（2n2）n判斷級數(shù)非絕對收斂四、課堂小結(jié)復(fù)數(shù)項級數(shù)斂散性，一致收斂性五、布置作業(yè)P1781（2）（3）解釋復(fù)函數(shù)項級數(shù)和復(fù)數(shù)項級數(shù)的聯(lián)系強調(diào)收斂和一致收斂的區(qū)別，讓學(xué)生把握區(qū)別和聯(lián)系.解題關(guān)鍵是擺脫乙找正數(shù)列Mn定理4.5和4.6也和數(shù)學(xué)分析中相應(yīng)的定理平行.收斂的證明相對簡單，學(xué)生分組討論完成，絕對收斂由老師給出證明過程學(xué)生總結(jié)本堂課知識，不足的教師補充板書設(shè)計afie-M-章節(jié)4.2幕級數(shù)授課班級2015級數(shù)學(xué)教育班授課

43、時間20年月曰授課類型理論學(xué)時數(shù)學(xué)時教學(xué)目的1掌握幕級婁攵斂散性的判定方法2會求幕級數(shù)的收斂半徑教學(xué)重點和難點重點：冪級數(shù)收斂半徑的求法.難點：阿貝爾定理的證明.教學(xué)（具）準(zhǔn)備三角板教學(xué)方法講授法、討論法教學(xué)、幕級數(shù)的斂散性主要內(nèi)容二收斂半徑的求法備注教學(xué)過程設(shè)計一、導(dǎo)入新課幕級數(shù)是最特殊的數(shù)項級數(shù)，相對比與數(shù)學(xué)分析中的幕級數(shù)，相應(yīng)的知識可以平移過來.二、講授新課(一)冪級數(shù)的斂散性TOC o 1-5 h z定義41具有藝c(z-a)n=c+c(z-a)+c(z-a)2+形式的復(fù)函數(shù)項級數(shù)稱n012n=0為冪級數(shù)，其中c,c,c，和a都是復(fù)常數(shù)如果作變換:=z-a，則以上幕級數(shù)還012可以寫成

44、如下形式(把匚仍改寫為z)區(qū)czn=c+cz+cz2+n012n=0定理4.8(阿貝爾定理)如果幕級數(shù)藝c(z-a)在某點z收斂，則它必在圓n1n=0I內(nèi)絕對收斂且內(nèi)閉一致收斂.證(證絕對收斂)設(shè)z時所述圓K內(nèi)的任意定點因為區(qū)c(z-a)n收斂，它的各n項必然有界，即有正數(shù)M，使c(z-a)nM(nn=0=0,1,2,)這樣一來，即有，注意到I蘭Mn=0z一a一an為收斂的等比級數(shù).因而蘭c(z-a在圓K內(nèi)絕對收斂.nn=0(證內(nèi)閉一致收斂)對K內(nèi)任一閉圓K:z-aPI)上的一切點來回憶數(shù)學(xué)分析中級數(shù)Mn=0(、Pz-ai(、piz-ainnn=0在K上有收斂的優(yōu)pn因而它在K上絕對且一致收斂

45、,此級數(shù)必在圓K內(nèi)絕對且內(nèi)P推論49若幕級數(shù)c(z-a)n在某點zCa)發(fā)散則它在以a為心并通過z的n22n=0圓周外部發(fā)散.對于幕級數(shù)，在z=a這一點總是收斂的，z豐a時可能有下述三種情況:第一種任意的z豐a，級數(shù)藝cC-a)均發(fā)散.nn=0例如，級數(shù)1+z+22z2+nnzn+第二種任意的z，級數(shù)c(z-a)n均收斂.nn=0例如，級數(shù)1+z+竺+蘭+22nn第三種存在一點z,使cG-a丄收斂，另外又存在一點z，使cQ-a1n2nn=0n=0發(fā)散在這種情況下，存在一個有限正數(shù)R，使得藝cC-a)在圓周|z-a部絕對收斂，在圓周|z-ann=0=R外部發(fā)散.R稱為此幕級數(shù)的收斂半徑；圓|z-

46、a收斂半徑R二0(n+1)=limnTgcn+1cn(4)因當(dāng)n是平方數(shù)時，c=1，其他情形c=0.因此，相應(yīng)有化眉=1或0，于是nnn1(3)1=limnTg=+g,.R=0n!數(shù)列jc的聚點是0和1,從而1=1,R=1.n三、課堂練習(xí)求下列幕級數(shù)的收斂半徑藝M(2正nznnn=0n=02n(3)nnZnn=0四、課堂小結(jié)幕級數(shù)的相關(guān)概念以及幕級數(shù)收斂半徑的求法五、布置作業(yè)P1781(1)(2)，P1782收斂半徑R=+8級數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對收斂，在圓周上不一定收斂收斂圓周上的點不一定收斂，它只是斂散的一個界限補充上極限”定義:給定無窮數(shù)列，由它的一切收斂子序列的極限值所成的集合中元糸的最人值

47、.應(yīng)用定理4.10解決例4.3例題較簡單，刖二題由學(xué)生完成，第四題教師啟發(fā)思路，師生共同完成ELZJZ制g州壓念S板書11幕級數(shù)的斂散性板書22收斂半徑的求法例4.3教學(xué)反思Ate-M-章節(jié)4.3解析函數(shù)的泰勒展式授課班級2015級數(shù)學(xué)教育班授課時間20年月曰授課類型理論學(xué)時數(shù)學(xué)時教學(xué)目的1掌握解析函數(shù)等價條件2會將簡單初等函數(shù)在某點展成泰勒級數(shù)教學(xué)重點和難點重點：將解析函數(shù)在某一點展成泰勒級數(shù).難點：泰勒定理的證明.教學(xué)（具）準(zhǔn)備三角板、圓規(guī)教學(xué)方法講授法、討論法教學(xué)、泰勒定理主要內(nèi)容二、一些初等函數(shù)的泰勒展式備注教學(xué)過程設(shè)計一、回顧舊知、導(dǎo)入新課上一節(jié)我們了解到，任一個具有非零收斂半徑的幕

48、級數(shù)在其收斂圓內(nèi)收斂于個解析函數(shù)，本節(jié)我們來研究它的逆命題也是成立的，于是得到了解析函數(shù)的又一等價定理.二、講授新課z一aR含于D/則fQ）在（一）泰勒定S定理411設(shè)fQ在D內(nèi)解析，aeD，只有圓K:K內(nèi)能展成幕級數(shù)，fc（z-a丄具中nn=0證設(shè)z為K內(nèi)任意取定的點/存在圓周r:-aP11jf匕心fnQC二J?n2兀ip(=pGn!刁一aPR）使點z含在r此級數(shù)稱為泰勒的內(nèi)部由柯西積分公式得f（z）=丄J型c其中2兀i停-zf(C)=f(C)C-a=f(C)C-zC-aC-zC-aCa、i(、=fi=G-a)_(z-a)c-a1z-ac-a1n=0Ca級數(shù)，系數(shù)的兩個形式分別是積其中n=0

49、f(z)=丄J躍-a)廠2k?r(crpn=0勺M,二者乘積一致收斂于是n一致收斂，一a力+i分式和微分式證明關(guān)鍵：利用柯西積分公式=(z-aUfL心n=02?rp(C-a)+1唯一性可設(shè)另一展式，證明系數(shù)相等即可.（二）一些函數(shù)的泰勒展式=藝zn=1+z+z2+1z泰勒定理證明較圖4.1定理4.12（解析函數(shù)等價定理4）fQ在D內(nèi)解析Of（Z）在D內(nèi)任一點a的鄰域內(nèi)可展成z-a的幕級數(shù)，即泰勒級數(shù).(z1n=0丄上(dzn=1z+z2(z|1)1+zn=0Ezn1z2z3=1+z+n!2!3!E(d=1+V2n+1)2!4!E(dz2nzz3z5“/=1(2n)13!5!n=0例44試將函數(shù)

50、f(z)=三按z-1的幕展開，并指明收斂區(qū)間.z+2-(z+8(z+8解f（z）=z22=172=1cn+3二1-2(-d1z131n=03(z1|3)三、課堂練習(xí)將函數(shù)f（z）=#按z-1的冪展開，并指明收斂區(qū)間.四、課堂小結(jié)五個初等函數(shù)的泰勒展式五、布置作業(yè)難理解，采取分層次教學(xué)，有余力學(xué)生盡量掌握致收斂部分較難理解唯一性證明由學(xué)生完成提問解析函數(shù)四個等價定理，重點強調(diào)P1797(1)(2)(3)熟記這些公式，在解題中有重要應(yīng)用強調(diào)按照z-1的幕展開，需將函數(shù)化成有關(guān)z-1的式子EL/制g州壓念S板書11泰勒定理證明板書2解析函數(shù)四個等價定理例題2.-些函數(shù)的泰勒展式五個泰勒展式教學(xué)反思A

51、te-M-章節(jié)4.4解析函數(shù)零點的孤立性及唯性定理授課班級2015級數(shù)學(xué)教育班授課時間20年月曰授課類型理論學(xué)時數(shù)學(xué)時教學(xué)目的1會求函數(shù)零點及零點的階2明確零點的孤立性和唯一性教學(xué)重點和難點重點：解析函數(shù)零點的階.難點：零點的孤立性和唯一性.教學(xué)（具）準(zhǔn)備三角板教學(xué)方法講授法、討論法教學(xué)、解析函數(shù)的零點主要內(nèi)容二、零點的孤立性及唯一性備注教學(xué)過程設(shè)計一、導(dǎo)入新課在很多實際問題中，往往需要研究使一個函數(shù)等于零的點，即求根。本節(jié)我們從函數(shù)fQ根的分布情況來研究f（z）三0的問題.二、講授新課（一）解析函數(shù)的零點1定義42若f（a）=0，稱a為f（z）的零點.2,定義43若f(a)=ff(a)=f(

52、)=-二fCm-i)。)二0,但fCjQz0，稱a為m階零點.3求零點的方法定義法（按定義求各階導(dǎo)數(shù)，帶零點，判斷哪階不為零）定理法定理413不恒為零的解析函數(shù)fQ以a為m階零點的充要條件為z-aR內(nèi)解析，且申（a）H0.fQ)=(z-a)m(z),其中比)在|證必要性f(z)=泌2(3-a)+半啤(z-a)m!vm+1丿za加+1+vm+1丿零點定義對應(yīng)于數(shù)學(xué)分析中相應(yīng)定義只要設(shè)乙）=匸（m）（a）-a)+即可.+m!充分性已知fHQ-a)mqQ)，其中申Q)在|0=c+cQ-a)+cQ-a01z-a0,R+8)內(nèi)解析函數(shù)的上一章我們用泰勒級數(shù)來表示圓形區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，但某些函數(shù)在圓心無意

53、義，無法表成泰勒級數(shù)本章研究圓環(huán)rz-aR級數(shù)表示，并以此為工具研究解析函數(shù)在孤立奇點鄰域內(nèi)的性質(zhì).二、講授新課z-aR內(nèi)表一解析函數(shù)級數(shù)c+c(z-a)+c(z-a)2+為幕級數(shù)，在|0121TOC o 1-5 h z級數(shù)+宀丫+作變換q=1后變?yōu)閏g+cg2+它在材z一az一a)2z一a-1-2(iA0丄+8內(nèi)表一解析函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)rR時,二者有公共收斂區(qū)域Ir丿R則二者求和為藝c(z一ann=0+ScG一a)-n=ScG一a丄+一nnn=1n=0ScG一a=ScG一annn=-gn=-g對比兩個級數(shù),經(jīng)過變換后，找此為雙asm到兩個級數(shù)的公(二)解析函數(shù)的洛朗展式定理51(洛朗定理)在圓

54、環(huán)H:rz-a0,R+s)內(nèi)的解析函數(shù)f(z)必可展成雙邊幕級數(shù)f(z)=藝c(z-a)n，其中c=丄J(fG?dgr為圓周nn2兀ir-a幾+in=g共收斂區(qū)域，導(dǎo)出雙邊幕級數(shù)的概念2p(rpR)，且展式唯一.證z為H內(nèi)任一取定點，總存在圓周r:|ga=P和r:$a121P內(nèi)(如圖5-1),因為函數(shù)f(z)在2內(nèi)解析.于是有f(z)=2=丄丿止d$+丄J蟲d$2兀ir$z2兀irz$21=P，使得z含22+圖5-1上述兩積分分別記作和對于，丄J止d$=另c(z-ann=0對于，被積函數(shù)止=止z$zafG)1-口Z-an=oza則變?yōu)閬AJ$2藝n-12兀irza1n=1d$=區(qū)丄J(f)d$(

55、za)n=11由學(xué)生找出洛朗f-n定理和泰勒定理=另宀丁.二者相加即得結(jié)果.z-a)n=1洛朗級數(shù)和泰勒級數(shù)的關(guān)系圓是圓環(huán)的特殊情形，則泰勒級數(shù)是洛朗級數(shù)的特殊情形.例5.1求f(z)=_1)(_2)在其解析區(qū)域內(nèi)的洛朗展式解(1)在圓冋1內(nèi),|f(z)=士-h士-2的異同之處n=01-丄2n+1丿Zn在圓環(huán)12內(nèi)，-1,1-1y1yzn_n_0n_0znn_02n+ln_1zn在圓環(huán)2+8內(nèi)，2fQ_1y(2V1y1y2ny1y(J1_I_2n1n_0n_0znn_0zn+1n_0zn+1n_1zn解析函數(shù)在孤立奇點鄰域內(nèi)的洛朗展式基本定義定義51點a的去心鄰域K-(J:0|z-R定義5.2

56、fQ在0|z-aR內(nèi)解析，點a是fQ的奇點，則a為fQ的一個孤立奇點.解析函數(shù)在孤立奇點鄰域內(nèi)的洛朗展式若a為f(z)的一個孤立奇點，則必存在正數(shù)R，使f(z)在a的去心鄰域K-LJ:0|z-a|R內(nèi)可展成洛朗級數(shù).由學(xué)生猜測洛朗級數(shù)和泰勒級數(shù)的關(guān)系，教師給例52f(z)=_1)(在z平面內(nèi)只有兩個奇點z_1,z_2.試求f0分別在0|z-1|1(2)0|z-1(3)1|z-1+8(4)1|z-2|+8內(nèi)的洛朗展式.解在0|z-11內(nèi)f(z)_-士+(dr1_-占應(yīng)(z-心予及時評價n_0(2)在0|z-1內(nèi)土-y(一d(z-2丄n_0在1|z-1|+8內(nèi)，fQ)=11z-1(z-1)-1=_

57、1_+丄1z-1z-1n=0C-d=丄另z一1n=1(4)在1|z-2+8內(nèi)，f(z)=士-(4kt=1一1(-dz-21z-2z-2Q-21+n=0z-2=-1z-2n=0三、課堂練習(xí)(-d(一dn=2題比較簡單,由學(xué)生完成，兩題較難，采取引導(dǎo)啟發(fā)式教學(xué)法將z+1、分別在0z2(z-1)z-1|1和1|z-1+8內(nèi)展成洛朗展式.四、課堂小結(jié)雙邊幕級數(shù)；洛朗展式；解析函數(shù)在孤立奇點鄰域內(nèi)的洛朗展式五、布置作業(yè)P2171(1)(2)，P2195從形象上認識孤立奇點的概念兩題比較簡單，由學(xué)生完成,(3)(4)兩題較難，采取引導(dǎo)啟發(fā)式教學(xué)法學(xué)生總結(jié)本堂課知識，不足的教師補充板書設(shè)計板書11雙邊幕級數(shù)

58、2洛朗展式定理證明板書2例題3泰勒級數(shù)、洛朗級數(shù)的關(guān)系板書34解析函數(shù)在孤立奇點鄰域內(nèi)的洛朗展式例題(1)基本概念教學(xué)反思Ate-M-章節(jié)5.2解析函數(shù)的孤立奇點授課班級2015級數(shù)學(xué)教育班授課時間20年月曰授課類型理論學(xué)時數(shù)學(xué)時教學(xué)目的1掌握孤立奇點的二種類型，會判別孤立奇點的類型2培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力教學(xué)重點和難點重點：孤立奇點類型的判別.難點：極點階的求法.教學(xué)（具）準(zhǔn)備三角板教學(xué)方法講授法、討論法教學(xué)主要內(nèi)容、孤立奇點的三種類型二、可去奇點三、極點四、本質(zhì)奇點五、判斷奇點類型的方法教學(xué)過程設(shè)計一、導(dǎo)入新課備注正則部分也叫做孤立奇點是解析函數(shù)的奇點中最簡單最重要的一種類型，以解析函數(shù)的洛朗展式為工具，我們能在孤立奇點的去心鄰域內(nèi)充分研究一個解析函數(shù)的性質(zhì)，本節(jié)我們來研究孤立奇點的分類及性質(zhì).二、講授新課（一）孤立奇點的三種類型1.定義53f（z）=藝c（z-a）+藝c（z-aL前后兩部分級數(shù)分別叫做函數(shù)nnn=0n=1fQ的正則部分和主要部分.2孤立奇點分類定義54設(shè)a為f0的孤立奇點fQ在a的主要部分為零，稱a為fQ的孤立奇點;解析全存fQ在a的主要部分為有限項，設(shè)為（c”冷+Cvza人f（z）的m階極點；fQ在a的主要部分為無限多項，稱a為fQ的本質(zhì)奇點.（二）可去奇點定理