概率與抽樣分布培訓(xùn)課件.ppt

1、第3章 概率與抽樣分布Probability and Sampling Distributions精品Section 3.1Random Variables隨機(jī)變量精品 事件的實(shí)際發(fā)生率稱(chēng)為頻率。設(shè)在相同條件下，獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，事件A出現(xiàn)f 次，則事件A出現(xiàn)的頻率為f/n。 概率：隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，用大寫(xiě)的P 表示；取值0，1。 一、頻率與概率frequency and probability精品 1. 樣本頻率總是圍繞概率上下波動(dòng) 2. 樣本含量n越大，波動(dòng)幅度越小，頻率越接近概率。頻率與概率的關(guān)系：調(diào)查株數(shù)(n)52550100200500100015002000受害株數(shù)(a

2、) 21215 33 72177 351 525 704棉株受害頻率(a/n)0.400.480.300.330.360.3540.3510.3500.352表 在相同條件下盲蝽象在某棉田危害程度的調(diào)查結(jié)果一、頻率與概率frequency and probability精品一、頻率與概率frequency and probability 小概率原理 若事件A發(fā)生的概率較小，如小于0.05或0.01，則認(rèn)為事件A在一次試驗(yàn)中不太可能發(fā)生，這稱(chēng)為小概率事件實(shí)際不可能性原理，簡(jiǎn)稱(chēng)小概率原理。這里的0.05或0.01稱(chēng)為小概率標(biāo)準(zhǔn)，農(nóng)業(yè)試驗(yàn)研究中通常使用這兩個(gè)小概率標(biāo)準(zhǔn)。精品二、隨機(jī)變量用以記錄隨機(jī)試

3、驗(yàn)結(jié)果(outcome)的變量，稱(chēng)為隨機(jī)變量(random variable)，用大寫(xiě)英文字母X, Y 等代表。隨機(jī)變量X的概率分布，表達(dá) X 的可能取值和取這些值的概率規(guī)則。精品離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的可能取值是離散的數(shù)字，如計(jì)數(shù)型或分類(lèi)型等，稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量(discrete random variable)。0, 1, 9 。20次實(shí)驗(yàn)中成功的次數(shù)， 二項(xiàng)式分布。隨機(jī)變量的可能取值是某一實(shí)數(shù)的區(qū)間，如“大于0”或“-22之間”等，稱(chēng)為連續(xù)型隨機(jī)變量(continuous random variable)。正態(tài)隨機(jī)變量二、隨機(jī)變量精品三、離散型隨機(jī)變量的概率分布X = xix1

4、，x2 ， ，xnP(X =xi)=pip1 ，p2 ， ，pn列出離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值列出隨機(jī)變量取這些值的概率通常用下面的表格來(lái)表示P(X =xi)=pi稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)精品四、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度若觀察資料數(shù)量夠大，則直方圖(組數(shù)適當(dāng)增加)的整體形態(tài)可用一近似的平滑曲線(xiàn)顯示。直方圖中縱軸改為次數(shù)比例，則該平滑曲線(xiàn)稱(chēng)為密度曲線(xiàn)(density curve)。精品概率密度曲線(xiàn)精品密度曲線(xiàn)的性質(zhì)曲線(xiàn)都在水平線(xiàn)上 (密度函數(shù)=0)。曲線(xiàn)下所涵蓋的全部面積正好為1(所有可能性為1)。曲線(xiàn)下任何范圍所涵蓋的面積，為觀察值落在該范圍的比例(概率)。密度曲線(xiàn)可視為是觀察變量的理

5、論分布圖形。 四、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度精品隨機(jī)變量X的一切可能取值的完備組中，各可能取值xi與其相對(duì)應(yīng)的概率pi乘積之和描述隨機(jī)變量取值的集中程度計(jì)算公式為五、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望精品隨機(jī)變量X的每一個(gè)取值與期望值的離差平方和的數(shù)學(xué)期望，記為D(X)描述離散型隨機(jī)變量取值的分散程度計(jì)算公式為六、隨機(jī)變量的方差精品Section 3.2The Binomial Distributions二項(xiàng)分布精品一、二項(xiàng)分布設(shè)定The Binomial Setting固定的觀察次數(shù) n。n 次的觀察都獨(dú)立，每次的觀察都不會(huì)對(duì)其他觀察提供任何信息。每次的觀察都只有兩種可能的結(jié)果，多假設(shè)為“成功”或“失敗”兩種

6、。每次的觀察“成功”的概率都一樣，設(shè)定為 p。精品二、二項(xiàng)分布Binomial Distribution滿(mǎn)足二項(xiàng)分布設(shè)定的試驗(yàn)，以 X 記錄 n次觀察中“成功”的次數(shù)，則稱(chēng) X 的分布為參數(shù)為 n 與 p 的二項(xiàng)分布(binomial)，記為B(n, p)。X 的所有可能取值為0, 1, , n。對(duì)應(yīng)的概率函數(shù)為 P(X = x) = P(x)。精品 例1 某種昆蟲(chóng)在某地區(qū)的死亡率為40%，即p=0.4，現(xiàn)對(duì)這種害蟲(chóng)用一種新藥進(jìn)行治療試驗(yàn)，每次抽樣10頭作為一組治療。試問(wèn)如新藥無(wú)療效，則在10頭中死3頭、2頭、1頭，以及全部愈好的概率為多少？按上述二項(xiàng)分布概率函數(shù)式計(jì)算 7頭愈好，3頭死去概率

7、：8頭愈好，2頭死去概率：9頭愈好，1頭死去概率：10頭全部愈好的概率： 三、示例精品 若問(wèn)10頭中不超過(guò)2頭死去的概率為多少？則應(yīng)該應(yīng)用累積函數(shù)，即三、示例精品四、二項(xiàng)分布的期望值與標(biāo)準(zhǔn)差期望值： E(X) = np方差： Var(X) = np(1-p)標(biāo)準(zhǔn)差：精品Section 3.3Normal Distributions正態(tài)分布精品一、特點(diǎn)正態(tài)曲線(xiàn)所有正態(tài)曲線(xiàn)都有相同的外型具有對(duì)稱(chēng)、單峰及鐘形的特性。正態(tài)曲線(xiàn)所代表的分布即為正態(tài)分布(normal distribution)每一正態(tài)分布都有其平均值 與標(biāo)準(zhǔn)差精品ms一、特點(diǎn)精品正態(tài)曲線(xiàn)較大ms一、特點(diǎn)精品正態(tài)曲線(xiàn)的拐點(diǎn)拐點(diǎn)落在一個(gè)處拐

8、點(diǎn)落在-處一、特點(diǎn)精品二、為什么這么重要Good descriptions for some distributions of real data身高, 體重, 考試成績(jī)Good approximations to the results of many kinds of chance outcomesTossing a coin many timesMany statistical inference procedures are based on normal distributions精品三、68-95-99.7規(guī)則正態(tài)分布有其特定的數(shù)據(jù)分布規(guī)則：平均值為 , 標(biāo)準(zhǔn)差為 的正態(tài)分布68%

9、的觀察資料落在m 的 1 之內(nèi)95%的觀察資料落在m 的 2 之內(nèi)99.7%的觀察資料落在m 的 3 之內(nèi)精品0123-1-2-3mm+sm+2sm+3sm-sm-2sm-3s68% 的資料95% 的資料99.7% 的資料三、68-95-99.7規(guī)則精品四、變量標(biāo)準(zhǔn)化(Standardization)令觀察值 x 服從平均值為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 的分布，則 x 的標(biāo)準(zhǔn)化值(standardized value)定義為標(biāo)準(zhǔn)化值又稱(chēng)為 z-值(z-score)。精品標(biāo)準(zhǔn)化變量可以證明z的平均值為0z的標(biāo)準(zhǔn)差為1四、變量標(biāo)準(zhǔn)化(Standardization)精品五、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量 X 服從平均值為 ，

10、標(biāo)準(zhǔn)差為 的正態(tài)分布，簡(jiǎn)記為 X N(, 2)。X 經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化后為 Z(=(X-)/ s )，則 Z 也服從正態(tài)分布，并且平均值為 0 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 1，即Z N(0, 1)。我們稱(chēng) Z 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)(standard normal)。精品六、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表z表列數(shù)字是z左邊的面積z = - 0.44z左邊的面積為0.33- 0.440.33精品z表列數(shù)字是z左邊的面積z = 0.44z左邊的面積為0.67六、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表精品七、雙側(cè)臨界值在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線(xiàn)圖下， 右方與 左方的面積和為 a ,則稱(chēng) 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率為 a 的雙側(cè)臨界值?？刹楸?。m = 0面積為a/2面積為a/2精品八、單側(cè)臨界值在標(biāo)準(zhǔn)

11、正態(tài)曲線(xiàn)圖下， 右方的面積為 a ,則稱(chēng) 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率為 a 的單側(cè)臨界值?？刹楸?。m = 0面積為a精品 例2 假定y是一隨機(jī)變數(shù)具有正態(tài)分布，平均數(shù) =30，標(biāo)準(zhǔn)差 =5，試計(jì)算小于26，小于40的概率，介乎26和40區(qū)間的概率以及大于40的概率。首先計(jì)算：先將x轉(zhuǎn)換為u值 九、計(jì)算精品同理可得： FN(40)=0.9773 所以：P(26x40)=FN(40)FN(26)=0.97730.2119 = 0.7654 P(x40)=1P(x40)=10.9773 =0.0227 查附表，當(dāng)u=0.8時(shí)，F(xiàn)N(26)=0.2119，說(shuō)明這一分布從到26范圍內(nèi)的變量數(shù)占全部變量數(shù)的21.

12、19%，或者說(shuō)，x26概率為0.2119.九、計(jì)算精品 例3 在應(yīng)用正態(tài)分布時(shí)，經(jīng)常要討論隨機(jī)變數(shù)x離其平均數(shù)的差數(shù)大于或小于若干個(gè)值的概率。例如計(jì)算離均差絕對(duì)值等于小于和等于大于1 的概率為：也可以簡(jiǎn)寫(xiě)為 九、計(jì)算精品 相應(yīng)地，離均差絕對(duì)值等于小于2 、等于大于2 、等于小于3 和等于大于3 的概率值為：九、計(jì)算精品 例4 計(jì)算正態(tài)分布曲線(xiàn)的中間概率為0.99時(shí)，其y或u值應(yīng)等于多少？ 因?yàn)檎龖B(tài)分布是對(duì)稱(chēng)的，故在曲線(xiàn)左邊從到 u的概率和在曲線(xiàn)右邊從u到的概率都應(yīng)等于1/2(10.99)=0.005。 查表，u=2.58時(shí)， fN(x) =0.004940.005。 于是知，當(dāng) 2.58時(shí)，在

13、其范圍內(nèi)包括99%的變量，僅有1%變量在此范圍之外。上述結(jié)果寫(xiě)作：九、計(jì)算精品同理可求得：九、計(jì)算精品同理， 亦可寫(xiě)成： 以上 乃正態(tài)曲線(xiàn)下左邊一尾x從到 上的面積和右邊一尾y從 到上的面積之和，亦可寫(xiě)成：九、計(jì)算精品Section 3.4Sampling Distributions抽樣分布精品一、總體與樣本 population and sample總體：根據(jù)研究目的確定的同質(zhì)研究對(duì)象的全體（集合）。分有限總體與無(wú)限總體樣本：從總體中隨機(jī)抽取的部分研究對(duì)象 精品二、總體容量與樣本容量population size and sample size總體容量（N)：總體中所包含的個(gè)體數(shù)目。根據(jù)N大

14、小，總體分有限總體和無(wú)限總體樣本(n)：從總體中隨機(jī)抽取的部分研究對(duì)象 精品三、隨機(jī)抽樣 random sampling為了保證樣本的可靠性和代表性，需要采用隨機(jī)的方法抽取樣本（在總體中每個(gè)個(gè)體具有相同的機(jī)會(huì)被抽到）。精品四、參數(shù)與統(tǒng)計(jì)量parameter and statistic參數(shù)：總體的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，如總體均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差，采用希臘字母分別記為、。固定的常數(shù) 總體樣本抽取部分觀察單位 統(tǒng)計(jì)量 參 數(shù) 推斷inference統(tǒng)計(jì)量：樣本的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，如樣本均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差，采用英文字母分別記為 。 參數(shù)附近波動(dòng)的隨機(jī)變量 。精品五、總體均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差總體均值總體方差總體標(biāo)準(zhǔn)差精品六、樣本均值、方差

15、與標(biāo)準(zhǔn)差總體均值總體方差總體標(biāo)準(zhǔn)差精品七、樣本的概率分布統(tǒng)計(jì)量(為樣本的函數(shù))，亦為隨機(jī)變量，其概率分布稱(chēng)為抽樣分布(sampling distribution)。一般統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布，則多根據(jù)重復(fù)抽樣(實(shí)驗(yàn))結(jié)果來(lái)了解其概率分布。 的抽樣分布大數(shù)法則，中心極限定理精品八、大數(shù)法則由具有有限(finite)平均數(shù) m 的總體隨機(jī)抽樣，隨著樣本容量的增加，樣本平均數(shù) 越接近總體的均數(shù) m 。樣本平均數(shù)的這種行為稱(chēng)為大數(shù)法則(law of large numbers)。精品以 代表樣本容量為 n 的資料平均數(shù)，逐漸增加樣本容量，將 n 及對(duì)應(yīng)的 圖示如后。八、大數(shù)法則精品Number of obs

16、ervations, n前 n個(gè)樣本的均數(shù)2223242526272829303132331510501005001000500010000八、大數(shù)法則精品九、樣本平均數(shù)的均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差令 為樣本容量為 n 的一組SRS的平均數(shù)，其總體平均數(shù)為 m 與標(biāo)準(zhǔn)差為 s。則 的分布平均數(shù)為 m 與標(biāo)準(zhǔn)差為 。因?yàn)?的分布平均數(shù)也是 m，故 又稱(chēng)為 m 的不偏估計(jì)。樣本容量越大，則樣本平均數(shù) 的變異越小。精品十、正態(tài)的樣本平均數(shù)的分布若總體服從正態(tài) N(m, s2) ，則SRS的平均數(shù) 也服從正態(tài) N(m, )。精品十一、中心極限定理(CLT)若總體平均數(shù)為 m 、標(biāo)準(zhǔn)差為 s ，當(dāng)樣本容量夠大時(shí)，則SRS的平均數(shù) 的分布近似正態(tài) N(m, )。我們稱(chēng)之為中心極限定理(Central Limit Theorem)?？?/p>