前幾次培訓(xùn)講稿賽題

1、2014 年數(shù)學(xué)建模競賽E 題乘用車物流計劃問題整車物流指的是按照客戶訂單對整車快速配送的全過程。隨著我國汽車工業(yè)的高速發(fā)展，整車物流量，特別是乘用車的整車物流量迅速增長。圖 1、2、3就是乘用車整車物流實施過程中的畫面。乘用車生產(chǎn)廠家根據(jù)客戶的購車訂單，向物流公司下達乘用車到全國各地的任務(wù)，物流公司則根據(jù)下達的任務(wù)制定計劃并配送這批乘用車。為此，物流公司首先要從他們當時可以調(diào)用的“轎運車”中選擇出若干輛轎運車，進而給出其中每一輛轎運車上乘用車的裝載方案和目的地，以保證任務(wù)的完成?！稗I運車”是通過公路來乘用車整車的車，根據(jù)型號的不同有單層和雙層兩種類型，由于單層轎運車實際中很少使用,本題僅考慮

2、雙層轎運車。雙層轎運車又分為三型：上下層各裝載 1 列乘用車，故記為 1-1 型（圖 1）；下、上層分別裝載 1、2 列，記為 1-2 型（圖 2）；上、下層各裝載 2 列，記為 2-2型（圖 3），每輛轎運車可以裝載乘用車的最大數(shù)量在 6 到 27 輛之間。在確保完成任務(wù)的前提下，物流公司追求降低成本。但由于轎運車、乘用車有多種規(guī)格等原因，當前很多物流公司在制定計劃時主要依賴調(diào)度人員的經(jīng)驗，在面對復(fù)雜的任務(wù)時，往往效率低下，而且成本不盡理想。請為物流公司建立數(shù)學(xué)模型，給出通用算法和程序（評審時要查）。裝載具體要求如下：每種轎運車上、下層裝載區(qū)域均可等價看成長方形，各列乘用車均縱向擺放，相鄰乘

3、用車之間縱向及橫向的安全車距均至少為 0.1 米，下層力爭裝滿，上層兩列力求對稱，以保證轎運車行駛平穩(wěn)。受層高限制，高度超過 1.7 米的乘用車只能裝在 1-1、1-2 型下層。轎運車、乘用車規(guī)格（第五問見附件）如下：表 1 乘用車規(guī)格1轎運車類型上下層長度(米)上層寬度(米)下層寬度(米)1-1192.72.71-224.33.52.7乘用車型號長度(米)寬度(米)高度(米)4.611.71.513.6151.6051.3944.631.7851.77表 2 轎運車規(guī)格整車物流的成本計算較為繁雜,這里簡化為：影響成本高低的首先是轎運車使用數(shù)量；其次，在轎運車使用數(shù)量相同情況下，1-1 型轎運

4、車的使用成本較低，2-2 型較高，1-2 型略低于前兩者的平均值，但物流公司 1-2 型轎運車擁有量小，為方便后續(xù)任務(wù)安排，每次 1-2 型轎運車使用量不超過 1-1 型轎運車使用量的 20%；再次，在轎運車使用數(shù)量及型號均相同情況下，行駛里程短的成本低，注意因為該物流公司是性公司，在各地均會有整車物流業(yè)務(wù)，所以轎運車到達目的地后原地待命，無須放空返回。最后每次卸車成本幾乎可以忽略。請為物流公司安排以下五次，制定詳細計劃，含所需要各種類型轎運車的數(shù)量、每輛轎運車的乘用車裝載方案、行車路線。（前三問目的地只有一個，可提供一個通用程序；后兩問也要給出啟發(fā)式算法的程序，優(yōu)化模型則更佳）：物流公司要物

5、流公司要物流公司要型的乘用車 39 輛。車型的乘用車 100 輛及車型的乘用車 68 輛。車型的乘用車 72 輛及車型的乘用車 52 輛。車型的乘用車 156 輛、車型的乘用車 102 輛及車4 物流公司要166 輛車型的乘用車（其中目的地是A、B、C、D 的分別為 42、50、33、41 輛）和 78 輛車型的乘用車（其中目的地是A、C 的，分別為 31、47 輛），具體路線見圖 4，各段長度：OD=160，DC=76，DA=200，DB=120，BE=104，AE=60。5. 附件的表 1 給出了物流公司需要的乘用車類型（含序號)、尺寸大小、數(shù)量和目的地，附件的表 2 給出可以調(diào)用的轎運車

6、類型（含序號)、數(shù)量和裝載區(qū)域大小（表里數(shù)據(jù)是下層裝載區(qū)域的長和寬, 1-1 型及 2-2 型轎運車上、下層裝載區(qū)域相同；1-2 型轎運車上、下層裝載區(qū)域長度相同，但上層比下層寬 0.8 米。此外 2-2 型轎運車因為層高較低，上、下層均不能裝載高度超過 1.7 米的乘用車。因為第五問的裝載方案太多，提醒，再找最優(yōu)解是不切實際的，可以改用啟發(fā)式算法，就是類似有經(jīng)驗的調(diào)度的去安排任務(wù)，簡化目標函數(shù)為容易求解，并且得到原來問題可能比較好的解。為此目標的簡化一定要做到具體問題具體分析，洞察問題的主要或關(guān)鍵。一定要開闊思路，大膽創(chuàng)新。其實一般情況可行解容易獲得，不斷設(shè)法改進可行解也是常用方法。最后自行

7、設(shè)2計方案的表達。注：程序可執(zhí)行文件的名：e 隊號.exe，如果無法用一個程序來完成，可以分幾個程序，但應(yīng)詳細說明使用方法與步驟，最初可執(zhí)行文件輸入接口為EXCEL 文件，見表 3；最后可執(zhí)行文件輸出格式是一個 EXCEL 文件，具體字段內(nèi)容見表 4。最后統(tǒng)計各型號轎運車使用數(shù)量（仍然按轎用車的序號順序排列，沒有使用的類型記為 0），單列一個EXCEL 文件。圖 1、1-1 型轎運車圖 2、1-2 轎運車圖 3、2-2 型轎運車表 3 輸入格式表 4 輸出格式3乘用車序號（即類型）需要的乘用車數(shù)量（如果沒有，對應(yīng)位置填 0）1234注：（如果沒有，對應(yīng)位置填 0）D圖 4序號類型八位雙橋邊輪廂

8、式 1-1 型 十位雙橋雙輪廂式 1-1 型十二位雙橋雙輪廂式 1-1 型十位雙橋邊輪廂式 1-1 型十九位雙橋雙輪框架 1-2 型十位單橋雙輪框架 1-1 型十位單橋雙輪框架 1-1 型十位單橋雙輪框架 1-1 型十九位雙橋雙輪框架 2-2 型十七位雙橋雙輪框架 1-2 型長寬2.72.92.72.72.82.72.72.73.52.7高擁123456789101918.324.32223.718.221211923.34.354.44.34.353.93.63.63.93.44.35A需求數(shù)B需求數(shù)C需求 數(shù)54有量（輛）211822151025416515DE需 需求 求數(shù) 數(shù)31421

9、07車型主機廠 名稱品牌車型長度(mm)寬度(mm)高度(mm)商品車車型類 別1奔 馳-JEEP大切諾 基4610普通車2奔馳-奔馳-勒 300C5015中型車3現(xiàn)現(xiàn)雅紳特4310普通車ADOBCE轎用車類型（第五問是序號）相 同類型、 相 同裝載 方式 的 車輛數(shù)裝在上層序號為 1 乘用車數(shù)量裝在上層序 號為 2 乘用車數(shù)量裝在下層序 號為 1 乘用車數(shù)量裝在下層序 號為 2 乘用車數(shù)量中間?？康啬康牡?49672168532500005764512250248512351558204365265代代4現(xiàn)代現(xiàn) 代索納塔4747普通車5F03460微型車6F844901780普通車昌河鈴木昌

10、河鈴木普通車長安福特長安馬自達馬自達 勁翔42701695普通車長安福特長安福特?？怂谷龓?480普通車10長安鈴木長安鈴木天語SX44135普通車11長安汽車長安4600普通車12汽 車嘉譽4574普通車13東風(fēng)本田東風(fēng)本田思域4500普通車14東風(fēng)日 產(chǎn)東風(fēng)日產(chǎn)4420普通車15東風(fēng)日產(chǎn)東風(fēng)日產(chǎn)天籟4930中型車16東風(fēng)悅 達起亞東風(fēng)悅達起亞賽拉圖4350普通車17東南汽車東南得利卡4945中型車18廣州本田廣州本田CITY 鋒范4400普通車19廣州本田廣州本 田雅閣4945中型車20哈飛汽車哈飛汽車路寶358815631533微型車21海馬汽 車海馬汽 車福美來4466普通車22寶馬寶

11、馬325i4531普通車23汽 車中華尊馳4880中型車24奇奇馭虎516018951870/中型車黃海汽車曙光領(lǐng)航者CUV4800普通車43514602120420871000150626汽車汽 車帥威4590普通車27吉利汽車吉利艦4194普通車28江淮汽車江淮汽車江淮賓悅4865普通車29菲菲派力奧376316151440微型車30奇瑞汽 車奇瑞 63998普通車31奇瑞汽車奇瑞瑞虎4285普通車32大眾大眾朗逸46081743普通車33大眾大眾帕薩特4789普通車34大眾大眾桑塔納468717001450普通車35通 用通 用別克凱越458017251460/普通車通用 通 用雪佛蘭科

12、魯茲4603普通車37上汽通用五菱五菱五菱揚光382014951860微型車38神龍汽車東風(fēng)標致標致307 兩廂421217621531普通車39一汽一汽三廂4245普通車40一汽一汽夏利兩廂374516151385微型車41一汽豐田一 汽豐田4855普通車42大眾大眾速騰4544普通車43大眾奧迪奧迪 A65035中型車44轎車 旗 艦加長豪華型6831大型車45轎車馬自達馬自達646701780普通車前四問解題思路參考前三問的一般模型：前三問的解題思路是一致的，只是在具體求解時難度不一樣，本質(zhì)上可歸結(jié)為一維下料問題。假設(shè)需要789車可裝載 100 輛 I 型乘用車和 74 輛 II 型乘用

13、車，空了 6 輛 II 型乘用車的車位）第二問。第二問中裝載 II 型乘用車和 III 型乘用車，注意 III 型乘用車只能裝載在 下層?？紤]兩種情況。第一、1-1 型轎運車長 19 米。上層單列只能裝載 II 型乘用車，在裝滿的情況下只有 一個擺放方案：（5,0,0）；下層單列可裝載 II 型乘用車和III 型乘用車，下層的基本擺放方案如下：因此，1-1 型轎運車裝載 II 型乘用車和 III 型乘用車的擺放方案有以下 5 種：（10,0,0），（8,0,1），（7,0,2），（6,0,3），（5,0,4）。第二、1-2 型轎運車長 24.3 米。上層雙列只能裝載 II 型乘用車，在裝滿的情

14、況下只 有一個擺放方案：（12,0,0）；下層單列可裝載 II 型乘用車和 III 型乘用車，其擺放方案如下：因此，1-2 型轎運車裝載 II 型乘用車和 III 型乘用車的擺放方案有以下 6 種：（18,0,0），（17,0,1），（16,0,2），（14,0,3），（13,0,4），（12,0,5）。所以，第二問的數(shù)學(xué)模型為1011因此，1-1 型轎運車裝載、II 型和 III 乘用車的擺放方案有以下 35 種方案：（8,0,0），（7,1,0），（7,0,1），（6,2,0），（6,1,1），（6,0,2），（5,3,0），（5,2,1），（5,1,2），（5,0,3），（4,5,0），

15、（4,3,1），（4,2,2），（4,1,3），（4,0,4），（3,6,0），（3,5,1），（3,3,2），（3,2,3），（3,1,4），（2,7,0），（2,6,1），（2,5,2），（2,3,3），（2,2,4），（1,8,0），（1,7,1），（1,6,2），（1,5,3），（1,3,4），（0,10,0），（0,8,1），（0,7,2），（0,6,3），（0,5,4）。第二、1-2 型轎運車長 24.3 米。上層只能裝載型乘用車和 II 型乘用車，上層單列的基本擺放方案如下： 因此，上層雙列裝載型和 II 型乘用車的擺放方案有 11 種：（10,0,0），（9,1,0），（8,2

16、,0），（7,4,0），（6,5,0），（5,6,0），（4,8,0），（3,9,0），（2,10,0），（1,11,0），（0,12,0）。下層單列可裝載型、II 型和 III 型乘用車，其基本擺放方案如下：12基本擺放方案I 型乘用車II 型乘用車III 型乘用車余量（米）15000.8524101.84533202.8442400.1251501.11560602.1170511.09580420.0890231.78100141.765110050.75124010.83133020.81142030.79151040.77163111.825172212.82182121.80519

17、1410.1201222.8基本擺放方案型乘用車乘用車余量（米）1500.852411.8453322.844240.125151.1156062.11120131.195132111.235141212.23151121.215因此，1-2 型轎運車裝載、II 型和 III 乘用車的擺放方案有以下 81 種方案：（15,0,0），（14,1,0），（14,0,1），（13,2,0），（13,1,1），（13,0,2），（12,4,0），（12,2,1），（12,1,2），（12,0,3），（11,5,0），（11,4,1），（11,2,2），（11,1,3），（11,0,4），（10,6,0

18、），（10,5,1），（10,4,2），（10,2,3），（10,1,4），（10,0,5），（9,8,0），（9,6,1），（9,5,2），（9,4,3），（9,2,4），（9,1,5），（8,9,0），（8,8,1），（8,6,2），（8,5,3），（8,4,4），（8,2,5），（7,10,0），（7,9,1），（7,8,2），（7,6,3），（7,5,4），（7,4,5），（6,12,0），（6,10,1），（6,9,2），（6,8,3），（6,7,4），（6,5,5），（5,13,0），（5,12,1），（5,10,2），（5,9,3），（5,8,4），（5,6,5），（4,14,0

19、），（4,13,1），（4,12,2），（4,10,3），（4,9,4），（4,8,5），（3,15,0），（3,14,1），（3,13,2），（3,11,3），（3,10,4），（3,9,5），（2,16,0），（2,15,1），（2,14,2），（2,12,3），（2,11,4），（2,10,5），（1,17,0），（1,16,1），（1,15,2），（1,13,3），（1,12,4），（1,11,5），（0,18,0），（0,17,1），（0,16,2），（0,14,3），（0,13,4），（0,12,5），記13141516使用LINGO 求解以上模型得： x1 5, y1 6, z5

20、 8, z7 1, w1 1, w13 2, w19 2. 因此，有 5 輛按方案（8,0,0）裝載的 1-1 型轎運車全部在 D 處卸載完畢（卸載 40 輛 I 型 乘用車，比要求的少了 1 輛 I 型乘用車，它可從其他轎運車車上卸載）；有 8 輛按（4,5,0）裝載的 1-1 型轎運車和 1 輛按（2,7,0）裝載的 1-1 型車全部在 C 處卸載完畢（以上 9 輛車可裝載 34 輛 I 型乘用車和 47 輛 II 型乘用車，比實際要求的多了 1 輛 I 型乘用車，這輛乘用車可安排在 D 處卸載）；有 6 輛 1-1 型轎運車在 B 處全部卸載完畢（卸載了 48 輛 I 型乘用車，比要求的

21、少 了 2 輛I 型乘用車，它可從余下的轎運車車上卸載）；有 1 輛按（8,0,0）裝載的 1-1 型轎運車、2 輛按（12,4,0）裝載的 1-2 型轎運車和 2 輛按（6,12,0）裝運的 1-2 型轎運車在 A 處卸載（這 5 輛轎運車可裝載 44 輛 I 型乘用車和 32 輛 II 型乘用車，比要求的多了 2 輛 I 型乘用車和 1 輛 II 型乘用車，多的 2輛 I 型乘用車剛好可在 B 處卸載，多的 1 輛 II 型乘用車表明有 1 輛按（12,4,0）或（6,12,0）裝載的 1-2 型轎運車剛開始有一個 II 型乘用車的空位）。第四問結(jié)論：此 任務(wù)共使用轎運車 25 輛，其中有

22、 21 輛 1-1 型轎運車和 4 輛 1-2 型轎運 車；總 里程為 6404；具體 方案有很多種，上面只給出了其中的 案。這條題目的難點就在第五問，而實際問題就如同第五問，甚至更復(fù)雜一些。所以創(chuàng)新 也蘊藏在其中第五問，第五問解答的優(yōu)劣能夠體現(xiàn)反映了數(shù)學(xué)建模和解決實際問題的能力的高低。從競賽的情況看，參賽隊在這一問上確實拉開了差距。不少隊沒有結(jié)果或結(jié)果不理想，但也有個別隊得到了非常好的（見兩種 113 輛轎運車及 114 輛轎運車的裝載方案）。其 實用啟發(fā)式方法也能夠得到比較好的解答（見啟發(fā)式方法尋找第五問的較優(yōu)解后面）。，這條題目并非如許多那么。下面介紹競賽中沒有考慮過的幾個問題，看看怎樣

23、開辟新的思路、另辟蹊徑。一證明前面幾個問題的都是最優(yōu)解。首先需要先建立可行解的必要條件，用以判定不符合這些條件的解方案都不可行。1， 可行方案的所有被運送的乘用車的總長度再加上所有被運送的乘用車的總數(shù)與被使用的轎運2， 2，可行方案的所有被運送的乘用車的總長度加上所有被運送的乘用車的總數(shù)與被使用的轎運3， 可行方案的所有被運送的乘用車的總長度加上所有被運送的乘用車的總數(shù)與被使用的轎運據(jù)此可以證明第一問的解答（16，2）是最優(yōu)解。因為根據(jù)題目的要求首先是被使用的轎運車的總數(shù)達到最少，在被使用的轎運車的總數(shù)17帶格式的: 縮進: 首行縮進: 0.77 厘米帶格式的:+ 級別: 1 +樣式: 一,

24、十, 百 + 起始: 1 + 對齊方式: 左側(cè) + 對齊位置:0.77 厘米 + 縮進位置: 1.51 厘米帶格式的: 縮進: 左側(cè): 0.77 厘米帶格式的:+ 級別: 1 +樣式: 1, 2, 3, + 起始: 1 + 對齊方式: 左側(cè) + 對齊位置: 0.77厘米 + 縮進位置: 1.4 厘米帶格式的:+ 級別: 1 +樣式: 1, 2, 3, + 起始: 1 + 對齊方式: 左側(cè) + 對齊位置: 0.77厘米 + 縮進位置: 1.4 厘米帶格式的: 無項目符號或帶格式的: 縮進: 左側(cè): 0 厘米帶格式的: 縮進: 首行縮進: 2 字符域代碼已更改一定的前提下，1-2 轎運車使用最少的

25、就是最優(yōu)解。這樣裝載方案之間是離散的，而且可以 排序，如果比某個可行方案排序 的方案都不可行，顯然這個方案就是最優(yōu)方案。而轎運車總數(shù)減少或轎運車總數(shù)不變而 1-2 轎運車使用量減少，一般轎運車的總長度會變短，所以排序在后的方案不滿足必要條件，則一般排 面的方案也不滿足必要條件，所以只要檢驗與某個可行方案排序相鄰的方案是不滿足必要條件，則該可行方案就是最優(yōu)解。又因為 1-2 轎運車的長度大于 1-1 轎運車的長度但又小于 1-1 轎運車的長度的兩倍，所 以可能比（16，2）好的解只能是（17，1）、（18，0）、（16，1）、（15，2）等，前兩個轎運車的總數(shù)不變，但 1-2 轎運車使用更少，后

26、兩個轎運車的總數(shù)比（16，2）少。但因為其中這四個方案中排序最后轎運車的總長度最大的是（17，1），它的轎運車的總長度最大，如果這種情況下所有被運送的乘用車的總長度再加上所有被運送的乘用車的總數(shù)與被使用的轎運車的總數(shù)之差乘 0.1（安全間隔）大于被使用的轎運車的總長度，則（17，1）因為就不符合滿足可行解的必要條件，從而是不可行的，所以這樣（16，2）既是可行解，也是最優(yōu)解就被證明。24.3*3+19*2*17=718.913*2*19，（13，0）輛轎運車方案不可行。因 4.61*156+3.615*102+4.63*39+（156+102*2-54*3）8*0.119*2*26+24.3*

27、3*4,故（26，4）輛轎運車方案不可行。因 4.61*166+3.615*78+（166+78-22*21-43*3）*0.119*2*22+24.3*3*3，故（22，3）輛轎運車方案不可行。類似可以第一問的證明，（12，1）是第二問的最優(yōu)解，（25，5）是第三問的最優(yōu)解，（21，4）是第四問在僅考慮轎運車的總數(shù)情況下的最優(yōu)解可以得到證明。前面得到在使用（21，4）輛轎運車的前提下，要證明里程為 6404 公里的方案，要證明 這是第四問的最優(yōu)解又一些，因為沒有類似的必要條件可用?？梢赃@樣考慮問題。里程總數(shù)是 25 輛轎運車行駛里程的總和，即 25 個正數(shù)之和， 又因為只有四個目的地，如果可

28、以不考慮折返（考慮折返，則顯然里程變長，不影響最小值）則這里僅是四種正數(shù)之和。因此如果能夠得到四種正數(shù)的個數(shù)或者得到從大到小四種正數(shù)的最少個數(shù)就能夠得到總和的極小值下界。關(guān)于這點，有以下三點結(jié)論：1， 若 1-2 型轎運車使用不超過 4 輛，在使用 1-2 型轎運車不超過 4 輛的前提下，到達 A 點的轎運車不能少于 5 輛；2， 若 1-2 型轎運車使用不超過 4 輛，在使用 1-2 型轎運車不超過 4 輛的前提下，到達 A、或B 點的轎運車不能少于 11 輛；3， 在若使用 1-2 型轎運車使用不超過 4 輛的前提下，到達 A、或 B、或 C 的轎運車不 能少于 20 輛；因為到達A 點的

29、轎運車不少于 5 輛，故至少 5 輛轎運車的總里程大于等于 360 公里； 因為到達 A 或 B 點的轎運車不少于 11 輛；故至少 11 輛轎運車的里程大于等于 280 公里，因此除去里程大于等于 360 公里的 5 輛，至少還有 6 輛轎運車的里程大于等于 280 公里；又因為到達A 或B 或 C 點的轎運車不少于 20 輛，故除去里程大于等于 280 公里的 11 輛轎運車，至少還有 9 輛轎運車的里程大于等于 236 公里（到 C 的最短距離）；由于一定使用轎運車 25 輛，至少都到達D；故至少還有 5 輛轎運車的里程大于等于 160 公里。將上述結(jié)論用不等式表示：1819述（隱含可以

30、折返），因為有四個地點，故有 15 種方案分別是：1-D,2-B,3-C,4-A,5-DB,6-DC,7-DA，8BA，9-BC,10-A C,11-D BA,12-DCB,13-BCA，14-ACD，15-ABCD。經(jīng)過這些地點集合的最短里程都是唯一的，第 j 種方案的最短里程記為20乘用車。共需要 1-1 型轎運車 82/4+32/5=26.9 列，即 14 輛 1-1 型轎運車。但這樣 1-2 型轎運 車使用量超過 1-1 型轎運車使用量的 20%，不合題目的要求。可以將原來由 1 輛 1-2 型轎運車的乘用車改由 2 輛 1-1 型轎運車來運送。立即獲得使用（16，2）輛轎運車運送 1

31、00輛I 型乘用車，68 輛 II 型乘用車的最優(yōu)方案，極其簡單。類似第一問，第二問要運送 72 輛 II 型乘用車，52 輛III 型乘用車，共計 124 輛。同前，轎運車的使用總量小于等于 15 輛，1-2 型轎運車最多可以使用 2 輛。為了減少轎運 車的使用量，顯然應(yīng)該多用 1-2 型轎運車，而且采用長度浪費小的裝載方案。對 1-2 型轎運車長度浪費最小的裝載方案是每列裝載（4，2）輛乘用車，每列僅浪費 8Cm，但由于 III 型乘用車必須裝載在轎運車的下層，上層只能采用（6，0）裝載方案，2 輛 1-2 型轎運車最多能夠運送（32，4）輛乘用車，剩余（40，48）輛乘用車等待 1-1

32、型轎運車運送。對1-1 型轎運車長度浪費最小的裝載方案是每列裝載（5，0）輛乘用車或（0，4）輛 乘用車。需要 1-1 型轎運車 40/5+48/4=20 列，即 10 輛 1-1 型轎運車。 然而這樣下層只有 10 列，無法裝載完必須裝在下層的 III 型乘用車，故至少需要 12輛 1-1 型轎運車，同時可以減少 1 輛 1-2 型轎運車。1 輛 1-2 型轎運車最多能夠運送（16，2）輛乘用車，剩余（56，50）輛乘用車等待 1-1 型轎運車運送。對 1-1 型轎運車采用裝載方案是每列裝載（5，0）輛 II 型乘用車或（0，4）輛 III 型乘用車的裝載方案。共需要 1-1 型轎運車 56

33、/4+50/5=24 列， 恰好 12 輛 1-1 型轎運車可以運送完。前已證明這也是最優(yōu)方案。類似第一問，第三問要運送 156 輛 I 型乘用車，102 輛 II 型乘用車，39 輛 III 型乘用車， 共計 297 輛。根據(jù)前兩問的最優(yōu)解，對需要使用的轎運車的數(shù)量可以作出更精確的估計。168/18=9.33，124/13=9.54因此第三問需要使用轎運車的約 31 輛，1-2 型轎運車最多可以使用 5 輛。有又因為 III 型乘用車與I 型乘用車在長度上僅相差 2Cm，可以與I 型乘用車一起考慮。對 1-2 型轎運車長度浪費最小的裝載方案是每列裝載（2，4，0）輛乘用車或（0，4，2）輛乘

34、用車（只能用于下層）。5 輛 1-2 型轎運車最多能夠運送（20，60，10）輛乘用車，剩余（136，42，29）輛乘用車等待 1-1 型轎運車運送。對 1-1 型轎運車長度浪費最小的裝載方案是每列裝載（4， 0）輛 I 型或 III 型乘用車或（0，5）輛 II 型乘用車。共需要 1-1 型轎運車（136+29）/4+42/5=49.75列，即 25 輛 1-1 型轎運車。共計使用轎運車（25，5）輛，前已證明這是最優(yōu)方案。 至于 III 型乘用車必須裝載在轎運車的下層， 因為總共才 39 輛，5 輛 1-2 型轎運車裝載后只剩下 29 輛 III 型乘用車，但有 25 輛 1-1 型轎運車

35、，有 25 個下層，所以沒有任何問題。第四問是多目標規(guī)劃問題，同前分段決策，先只考慮減少轎運車的使用量，則第四問的 第一階段與前三問完全一致。第四問要運送 166 輛 I 型乘用車，78 輛 II 型乘用車，共計 244輛。根據(jù)前兩問的最優(yōu)解，對需要使用的轎運車的數(shù)量可以作出更精確的估計 26 輛左右， 1-2 型轎運車最多可以使用 54 輛。對 1-2 型轎運車長度浪費最小的裝載方案是每列裝載（2，4）輛乘用車。54 輛 1-2 型轎運車最多能夠運送（3024，6048）輛乘用車，剩余（131642，1830）輛乘用車等待 1-1 型轎運車運送。對 1-1 型轎運車長度浪費最小的裝載方案是每

36、列裝載（4，0）輛 I 型乘用車或（0，5）輛 II 型乘用車，需要 1-1 型轎運車 13642/4/5=3741.65列，即 1921 輛 1-1 型轎運車。但這樣 1-2 型轎運車使用量超過 1-1 型轎運車使用量的 20%， 不合題目的要求，改為使用 4 輛 1-2 型轎運車。4 輛 1-2 轎運車最多能夠運送（24，48）輛乘用車，剩余（142，30）輛乘用車等待 1-1 型轎運車運送。需要 1-1 型轎運車 142/4+30/5=41.5列，即 21 輛 1-1 型轎運車。前已證明這也是轎運車的使用量最優(yōu)的方案。第四問的第二階段是在轎運車使用總量為（21，4）的前提下，使里程最短。

37、在轎 運車的使用量（包括 1-2 轎運車使用量）一定的前提下，要使總里程最短，顯然應(yīng)該使21里程最長的轎運車數(shù)量最少（啟發(fā)式思維，不證明），反之使里程短的轎運車數(shù)量多。又因為各地點需要運送的乘務(wù)車的數(shù)量給定，所以要實現(xiàn)這一點，應(yīng)該讓容量大的轎運車去 里程最遠的目的地。對于第四問的第二階段即應(yīng)該讓 1-2 轎運車去 A 點（可能還包括 B、C點，視 1-2 轎運車使用量和A 點需要的乘務(wù)車的數(shù)量而定）。因A 點需要的乘用車（42，31）輛，不能完全采用最小浪費長度的裝載乘用車（2，4）的方案，只能使用 7 列，另 5 列采用次小浪費長度的裝載乘用車（5，0）的方案，剩余I 型乘用車 63 輛，I

38、I 型乘用車 3 輛，再用 1 輛 1-1 型轎運車就可以完全運完（同時留下 2 輛 I 型乘用車空位），即 5 輛轎運車就可以完成A 點的乘務(wù)車任務(wù)，前已證明這是轎運車使用數(shù)量的最小值。（注意這里只是求一個較優(yōu)的可行解，不排除有更好的方案，無須在這里花費太多的時間）。由于 1-2 轎運車已經(jīng)用完，下面任務(wù)很簡單了，就是讓到 B、C 點的 1-1 型轎運車盡量裝滿，減少 1-1 型轎運車即可。因為A、B 在一條路線上，而且到 B 的里程比到C 的里程長，所以優(yōu)先考慮 B 點。B 點的乘務(wù)車任務(wù)是 50 輛 I 型乘用車，因為去 A 點的轎運車上留有 2 輛I 型乘用車空位，應(yīng)該充分利用，故（5

39、0-2）/8=6 輛 1-1 型轎運車就可以完成 B 點的任務(wù)。再考慮C 點，C 點的乘務(wù)車任務(wù)是 33 輛I 型乘用車，47 輛 II 型乘用車，對 1-1 型轎運車長度浪費最小的裝載方案是每列裝載（4，0）輛乘用車或（0，5）輛乘用車，需要 1-1 型轎運車 33/4+47/5=17.65 列，即 9 輛 1-1 型轎運車就可以完成 C 點的任務(wù)。最后再考慮D 點，D 點的乘務(wù)車任務(wù)是 41 輛 I 型乘用車，因為去 AC 點的轎運車 上留有 1 輛 I 型乘用車空位，應(yīng)該充分利用。對 1-1 型轎運車長度浪費最小的裝載方案是每列裝載（4，0）輛 I 型乘用車，需要 1-1 型轎運車 40

40、/4=10 列，即 5 輛 1-1 型轎運車就可以完成C 點的任務(wù)。顯然這樣與第一階段得到的最優(yōu)解使用了相同數(shù)量的轎運車（包括 1-2 轎運車使用量）（21，4）輛。其運送總里程是5*360+6*280+9*236+5*160=6404 公里，前已證明是第四問的最短里程。前四問現(xiàn)在都已經(jīng)用啟發(fā)式方法求出了最優(yōu)解，這短短兩頁紙的推理，都無須使用計算 機就實現(xiàn)了，應(yīng)該在一天之內(nèi)能夠辦到。如果在競賽中做到這些，還有三天多的時間就可以非常從容地做前四問的數(shù)學(xué)模型和第五問了。 對第五問，首先也有對轎運車使用量的估計及 1-2 型轎運車的最大使用量問題（顯然 多使用 1-2 型轎運車可以減少轎運車使用總量

41、）。 21 的轎運車每列可以運送 4 輛乘用車，長 21 米以上的轎運車每列可以運送 5 輛 乘用車，由于這兩種轎運車數(shù)目大致相等，可以認為轎運車的每列平均可以裝載乘用車 4.5輛，則 4*5+25*3+x*2=1207/4.5=28068,其中x 代表 1-1 轎運車的使用量，為了減少轎運車使用總量，這里讓 1-2、2-2 型轎運車全部使用，可能偏大，后面再修正。解得 X=9387 ,則 1-2 型轎運車最大使用量為 2018 輛。因而4*5*3+x*2=1207/4.5=2680， 解得 X=10097 ,則 1-2 型轎運車最大使用量為 2019 輛，得到轎運車使用量的第一次估計為 5+

42、18+97=12510 輛。可以利用必要條件來推導(dǎo)轎運車使用量的下界。設(shè)22序號類型長寬高擁有量（輛）95103478126十九位雙橋雙輪框架 2-2 型 十九位雙橋雙輪框架 1-2 型十七位雙橋雙輪框架 1-2 型十二位雙橋雙輪廂式 1-1 型十位雙橋邊輪廂式 1-1 型十位單橋雙輪框架 1-1 型十位單橋雙輪框架 1-1 型八位雙橋邊輪廂式 1-1 型十位雙橋雙輪廂式 1-1 型十位單橋雙輪框架 1-1 型1923.723.324.32221211918.318.23.52.82.72.72.72.72.72.72.92.73.43.94.354.34.353.63.94.354.43.6

43、510152215416211825假設(shè) 10 種轎用車使用的數(shù)量分別為2324可能對這批數(shù)據(jù)有懷疑，但由于有 45 種轎車，如果某列裝載其中的 5 種，則一個估計是有25上層372299414846341187711下層63449208777483770上層2481338下層45334868994212244462694234上層17493390487510728車，1 輛 31 號車；5045=1904019100。1、17 號車運完。31 號車剩 29 輛，25 號車剩 22 輛。四），14 輛 18.31-1 轎運車僅下層，每層裝載 1 輛 26 號車，2 輛 31 號車，1 輛 25

44、號車；4900*2=1836018400。31 號車剩 1 輛，25 號車剩 8 輛，26 號車剩 7 輛。五），1 輛 191-1 轎運車僅下層，每層裝載 1 輛 31 號車，3 輛 25 號車； 4900*3=1908519100。31 號車運完，25 號車剩 5 輛。六），5 輛 191-1 轎運車僅下層，每層裝載 1 輛 25 號車，1 輛 26 號車，2 輛 32 號 車（長度 4608 毫米）。4900*2=1900619100。號車運完， 26 號車剩 2 輛，32 號車剩 32 輛（總共需要運送 42 輛）七），1 輛 191-1 轎運車僅下層，每層裝載 2 輛 26 號車，2

45、 輛 4 號車（長度 4747 毫米）；4690*2*2=1907419100。號車運完， 4 號車剩 40 輛（總共需要運送 42 輛）八），4 輛 24.31-1 轎運車僅下層，每層裝載 4 輛 37 號車，2 輛 39 號車長度 4245 毫米）；4345*2*4=2437024400。37 號車剩 21 輛，39 號車剩 25 輛（總共需要運送 33 輛）九）5 輛 192-2 轎運車僅下層，每列裝載 2 輛 37 號車，3 輛 5 號車（長度 3560 毫 米）；3560*3*2=1852019100，而且兩種乘用車均適合裝載 2 列。37 號車剩 1 輛，5 號車剩 24 輛（總共

46、需要運送 54 輛）十），1 輛 18.31-1 轎運車僅下層，每層裝載 1 輛 37 號車，3 輛 34 號車（長度 4687毫米）；3920*3=1828118400。 37 號車運完， 34 號車剩 22 輛（總共需要運送 25 輛）至此高度超過 1700 毫米的 8 種乘用車已經(jīng)全部裝載。共用 5 輛 192-2 轎運車、4輛 24.31-1 轎運車、21 輛 191-1 轎運車、15 輛 18.31-1 轎運車的全部下層。下面安排寬度超過 1700 毫米的乘用車，因為它們無法將兩列裝載在同一層。它們有 24 種：10 號車，長度 4135 毫米，11 輛；38 號車，長度 4212

47、毫米，33 輛；16 號車，長度4350 毫米，28 輛；21 號車，長度 4466 毫米，18 輛；9 號車，長度 4480 毫米，23 輛；6 號車，長度 4490 毫米，58 輛；13 號車，長度 4500 毫米，42 輛；22 號車，長度 4531 毫米，13 輛；42 號車，長度 4544 毫米，29 輛；35 號車，長度 4580 毫米，28 輛；11 號車，長度4600 毫米，20 輛；36 號車，長度 4603 毫米，28 輛；32 號車，長度 4608 毫米，現(xiàn)在剩 32輛；45 號車，長度 4670 毫米，53 輛；4 號車，長度 4747 毫米，現(xiàn)在剩 40 輛；33 號

48、車，長度 4789 毫米，31 輛；41 號車，長度 4855 毫米，25 輛；28 號車，長度 4865 毫米，32 輛；23 號車，長度 4880 毫米，21 輛；15 號車，長度 4930 毫米，12 輛；19 號車，長度 4945 毫米，14 輛；2 號車，長度 5015 毫米，11 輛；43 號車，長度 5035 毫米，25 輛；44 號車，長度 6831 毫米，4 輛。首先用上面用過的 40 輛轎運車的上層來裝載（5 輛 192-2 轎運車除外），因為它們都只有一列，寬度不是問題。一），2 輛 18.31-1 轎運車僅上層，每層裝載 1 輛 16 號車（長度 4350 毫米），2輛

49、 44 號車；6931*2=1831218400。44 號車運完，16 號車剩 26 輛。二），9 輛 24.31-1 轎運車僅上層，每層裝載 2 輛 43 號車，3 輛 32 號車；265135*2*3=2439424400。43 號車剩 7 輛，32 號車剩 5 輛.三），7 輛 191-1 轎運車僅上層，每層裝載 1 輛 43 號車，1 輛 19 號車，2 輛 16 號車（長度 4350 毫米），5135*2=1908019100。43 號車運完，19 號車剩 7 輛，16 號車剩 12 輛四），7 輛 191-1 轎運車僅上層，其中 6 輛每層裝載 1 輛 2 號車，1 輛 19 號車

50、，2輛 16 號車，5115*2=1906019100。另 1 輛轎運車上層 1 輛 19 號車，3 輛 35 號車，5115*3=19085 19100。 19、16 號車運完，2 號車剩 5 輛，35 號車剩 25 輛。五），5 輛 191-1 轎運車僅上層，每層裝載 1 輛 2 號車，3 輛 42 號車，5115*3=1904719100。2 號車運完，42 號車剩 14 輛。六），2 輛 191-1 轎運車僅上層，每層裝載 2 輛 15 號車， 2 輛 18 號車， 5030*2*2=1906019100。15 號車剩 8 輛，18 號車剩 33 輛（總共需要運送 37 輛）。七），1

51、 輛 211-1 轎運車，上下層都裝載 4 輛 15 號車；5030*43=2012021100。15 號車運完。八），2 輛 18.31-1 轎運車僅上層，其中 1 輛上層裝載 3 輛 32 號車，1 輛 10 號車；4235*3=1835918400。另 1 輛上 層 裝 載 2 輛 32 號車 ， 1 輛 35 號車 ， 1 輛 10 號車 ；4235*2=1833118400。32 號車運完，10 號車剩 9 輛（總共需要運送 11 輛），35 號車剩24 輛。九），3 輛 18.31-1 轎運車僅上層，每層裝載 2 輛 28 號車，2 輛 10 號車； 4235*2*2=18400。

52、28 號車剩 26 輛，10 號車剩 3 輛。至此用完了前一階段用了的 4 輛、現(xiàn)在又增加 5 輛計 9 輛 24.31-1 轎運車、21 輛191-1 轎運車、7 輛 18.31-1 轎運車的全部上層；同時用了一輛 211-1 轎運車。十）， 5 輛 24.31-1 轎運車上下層，每層 1 輛 23 號車，4 輛 4 號車；4980*4=2436824400。4 號車運完，23 號車剩 11 輛。十一），2 輛 24.31-1 轎運車上下層，其中 2 輛上層和 1 輛下層 3 輛 23 號車，2輛 36 號車；4980*3*2=2434624400。另1 輛下層2 輛23 號車，2 輛36

53、號車，1 輛28 號車；4980*2*2=2433124400。23 號車運完，36 號車剩 20 輛，28 號車剩 25 輛。十二），4 輛 24.31-1 轎運車上下層，其中 3 輛每層 4 輛 28 號車，1 輛 14 號車； 4965*4=2438024400。第四輛下層 1 輛 28 號車，3 輛 41 號車，1 輛 21 號車；4965*3=2439624400。上層 4 輛 41 號車，1 輛 21 號車； 4566*4=2438624400。28 號車運完，14 號車剩 17 輛，41 號車剩 18 輛，21 號車剩 16 輛。十三），1 輛 24.31-1 轎運車上下層，每層

54、裝載 4 輛 41 號車，1 輛 21 號車；4566*4=2438624400。41 號車剩 10 輛，21 號車剩 14 輛。27十四），5 輛 24.31-2 轎運車僅下層，每層裝載 1 輛 41 號車，4 輛 36 號車；4955*4=2376724400。上層前面已經(jīng)裝載。36 號車運完，41 號車剩 5 輛。十五），5 輛 23.71-2 轎運車僅下層，每層裝載 1 輛 41 號車，4 輛 11 號車，4955*4=2375523800。轎運車上層暫未裝載。41、11 號車運完。十六），5 輛 23.31-2 轎運車僅下層，每層裝載 2 輛 33 號車，3 輛 14 號車； 452

55、0*3*2=2333823400。轎運車上層暫未裝載。33 號車剩 21 輛，14 號車剩 2 輛。十七），7 輛 23.31-2 轎運車僅下層，每層裝載 3 輛 33 號車，2 輛 7 號車； 4330*2*3=2332723400。轎運車上層暫未裝載。33 號車運完，7 號車剩 7 輛（總共需要運送 21 輛）。十八），3 輛 23.31-2 轎運車僅下層，每層裝載 2 輛 45 號車，3 輛 13 號車； 4770*2*3=2334023400。轎運車上層暫未裝載。45 號車剩 47 輛，13 號車剩 33 輛。十九），7 輛 221-1 轎運車上下層，其中 6 輛轎運車每層裝載 3 輛

56、 45 號車，2 輛 29 號車； 4770*3*2=2207622100。另一輛轎運車下層裝載 1 輛 45 號車，4 輛 7 號車。4770*4=22090 21100 。 上 層 裝載 2 輛 35 號車， 3 輛 10 號車 ；4680*2*3=2206522100。10、29 號車運完，7 號車剩 3 輛，35 號車剩 22 輛，45 號車剩 10 輛。二十），1 輛 221-1 轎運車上下層，其中下層裝載 1 輛 35 號車，3 輛 7 號車，1輛 3 號車； 4680*3=2208022100。上層裝載 1 輛 35 號車，3 輛 38 號車，1 輛3 號車。4680*3=220

57、2622100。7 號車運完，35 號車剩 20 輛，3 號車剩 38 輛，38 號車剩 30 輛。二十一），5 輛 221-1 轎運車上下層每層 1 輛 35 號車，3 輛 38 號車，1 輛 3 號車。4680*3=2202622100。38 號車運完，35 號車剩 10 輛，3 號車剩 28 輛。二十二），2 輛 221-1 轎運車上下層，其中 1 輛轎運車每層裝載 2 輛 35 號車，1輛 40 號車，2 輛 3 號車。4680*2*2=2202522100。另 1 輛轎運車上層裝載 3 輛35 號車，1 輛 5 號車，1 輛 8 號車。4680*3=2197022100；下層裝載 3

58、 輛 35 號車，1 輛 5 號車，1 輛 18 號車。4680*3=2210035 號車運完，40 號車剩 25 輛，5 號車剩 22 輛， 18 號車剩 32 輛，8 號車剩 28 輛，3號車剩 24 輛。二十三），3 輛 18.31-1 轎運車上下層，每層裝載 2 輛 22 號車， 2 輛 21 號車。 4566*2*2=1839418400。22 號車剩 1 輛，21 號車剩 2 輛。二十四），1 輛 211-1 轎運車上下層，上層裝載 1 輛 22 號車，2 輛 21 號車，2 輛5 號車。4566*2*2 =2088321100。下層裝載 3 輛 42 號車，2 輛 5 號車。46

59、44*3*2 =2105221100。21、22 號車運完，42 號車剩 11 輛，5 號車剩 18 輛。二十五），2 輛 211-1 轎運車上下層，2 輛上層及 1 輛下層均裝載 3 輛 42 號車，2輛 5 號車。4644*3*2 =2105221100。另一輛下層裝載 2 輛 42 號車，2 輛 5 號車，1 輛13 號車；4644*2*2=2100821100。42 號車運完，13 號車剩 32 輛，5 號車剩 10 輛。28二十六），3 輛 211-1 轎運車上下層，其中 3 輛上層及 2 輛下層裝載 2 輛 45 號車，3 輛 40 號車。4770*2*3 =2107521100。

60、另一輛下層裝載 3 輛 13 號車，2 輛 5 號車；4600*3*2=2092021100。45 號車運完，40 號車剩 10 輛，5 號車剩 8 輛，13 號車剩 29 輛。二十七），2 輛 211-1 轎運車上下層，每層裝載 3 輛 13 號車，2 輛 5 號車； 4600*3*2=2092021100。5 號車運完，13 號車剩 17 輛。二十八），8 輛 18.31-1 轎運車上層，每層裝載 6 號車 4 輛；4590*4=1836018400。6 號車剩 26 輛。二十九），5 輛 211-1 轎運車上下層，每層裝載 20 號車 2 輛、8 號車 1 輛，先裝 13 號車 2 輛，