2021行測系列課 方法精講-數(shù)量關(guān)系(講義+筆記)(4)

1、 方法精講-數(shù)量4(筆記)啟智職教的店學習任務：1課程內(nèi)容：容斥原理、排列組合與概率授課時長：3小時對應講義：178頁184頁4重點內(nèi)容：掌握兩集合公式，三集合的三種公式一一標準型、非標準型、常識型掌握圖示法在容斥原理中的運用，理解容斥原理結(jié)合最值的考法掌握常用的排列組合公式，理解分類討論與分步計算的區(qū)別，正難反易則從反面求解掌握兩種經(jīng)典方法(捆綁法、插空法)的適用范圍和操作步驟掌握概率問題的兩種題型一一給情況求概率或給概率求概率第八節(jié)容斥原理【注意】1.容斥原理只要聽明白原理，后面就是正常套路，代公式即可，難度不大。而排列組合可能很多同學都沒有基礎(chǔ)，有的同學高中時學過，有的同學(體育、藝術(shù)、

2、文科類)沒學過，沒有關(guān)系，因為公考中考查的排列組合與高中沒有多大的關(guān)系，高中所學的排列組合特別難，而公考學習老師會從最基本的概念開始講解，只要掌握基本概念，后面遇到排列組合問題就不會太糾結(jié)。2.最值問題是思維量最大的，最值問題都不怕，更不用怕排列組合問題。【知識點】兩集合：兩個集合之間有交叉、有重疊的情況。例如班里有的同學特別擅長行測，有的同學特別擅長申論，中間有一部分同學既擅長行測又擅長申論，即有重疊的地方，重疊的地方在做題時，要算成1個人擅長兩種，注意去重即可。容斥原理的核心即如何將重復的部分去重。1.公式：A+B-AGB二全-都不。2推導：假設擅長行測的記為A,擅長申論的記為B,求擅長的

3、同學一共有多少人？擅長行測和擅長申論都屬于擅長的，記為A+B，但發(fā)現(xiàn)此時中間部分在A和B中都算了一次，即算重了，因此要減去AHB；還有一部分同學既不擅長A也不擅長B,這部分同學稱為都不擅長的，此時得到關(guān)系式：A+B-AGB=總數(shù)-都不。3若不能理解，也可以理解為AB覆蓋的總面積為多少？即圓的總面積=圈A+圈B-AB重疊的面積=方塊面積-圈外面積。兩個思路都可以，注意去重即可。注意：現(xiàn)在打醬油不可怕，目前可以什么都不擅長，但最主要的任務就要擠到里面去，把不擅長變?yōu)樯瞄L，這才是大家備考的目的。不要灰心喪氣，天就想著考得上、考不上，“想”解決不了問題，而是要在有想法的基礎(chǔ)上去做，要腳踏實地去干，幸福

4、是奮斗出來的，不能光想?！纠?】（2017廣東）某單位有107名職工為災區(qū)捐獻了物資，其中78人捐獻衣物，77人捐獻食品。該單位既捐獻衣物，又捐獻食品的職工有多少人？A.48B.50C.52D.54【解析】例1.出現(xiàn)“捐衣物”“捐食品”，還有“既捐獻衣物，又捐獻食品”的，說明有重疊的部分，為兩集合容斥問題，列式：78+77-？=107-都不，題干沒有提到“都不”，只說了107名職工捐獻了物資，說明沒有人不捐，即“都不”=0（又如題干說“72名運動員去參加運動會”，意思就是這72名都參加了，沒有不參加的）。數(shù)字較小可以直接相加，數(shù)字大的時候可以看選項尾數(shù)是否相同，本題選項尾數(shù)各不相同，直接看尾數(shù)

5、即可。右邊：107-0=尾數(shù)7，左邊：尾數(shù)8+尾數(shù)7-?的尾數(shù)二尾數(shù)7,貝腫的尾數(shù)為8,對應A項?！具xA】【注意】有的同學可能第一次考公務員，不理解它的出題模式，很多同學會糾結(jié)本題有“食品”“衣物”，也有可能捐獻其他東西，如有的人會捐獻玩具、帳篷等等。但如果自己腦補這些東西，則無法做題，因此做題時不要在題目之外想其他東西，出題人說什么我們就做什么。例如出題人如果沒有說速度變?yōu)樵瓉淼囊话耄湍J速度不變，只能就題做題，不要杠。例2（2018聯(lián)考）某試驗室通過測評I和II來核定產(chǎn)品的等級：兩項測評都不合格的為次品，僅一項測評合格的為中品，兩項測評都合格的為優(yōu)品。某批產(chǎn)品只有測評I合格的產(chǎn)品數(shù)是優(yōu)品

6、數(shù)的2倍，測評I合格和測評II合格的產(chǎn)品數(shù)之比為6：5。若該批產(chǎn)品次品率為10%，則該批產(chǎn)品的優(yōu)品率為（）。A.10%B.15%C.20%D.25%【解析】例2已知“只有測評I合格的產(chǎn)品數(shù)是優(yōu)品數(shù)的2倍”，說明只I=2*都合格。讀完題目，發(fā)現(xiàn)與上題不同，上題人數(shù)已知，而本題數(shù)量未知，給的都是倍數(shù)、百分數(shù)，為給比例求比例的情況，想到賦值法。容斥問題中，賦值時一般建議從最中間開始入手，因此賦值“都合格”為1（賦值為100也可以，為了簡化計算，賦值為1）,則只1=2。本題代不了公式，如果題干表述出現(xiàn)“只I”，在公式中是沒有的，此時代公式不好理解，而公式是通過畫圖得來的，因此遇到“只”的情況，直接畫圖

7、求解（從里往外標數(shù)。）如圖，畫兩個圈，中間有重合的部分，因此兩個圈有交集。標數(shù)的時候從里往外標。“都合格”=1,“只I”說明只在I中且不在交集內(nèi)，因此在左邊半圓中標入2,根據(jù)“測評I合格和測評II合格的產(chǎn)品數(shù)之比為6：5”,可得3：11=6：5,貝口1=2.5,2.5二都滿足+只II,解得只11=1.5。已知“該批產(chǎn)品次品率為%”，說明空白部分占比為L0%,則圈內(nèi)部分占比為100%-10%=90%，列式：2+1+1.5=90%*總數(shù)，解得：總數(shù)=4.5/9=5，優(yōu)品率=1/5=20%。對應C項。【選C】【例3】（2016四川）某學校2015年有64%的教師發(fā)表了核心期刊論文；有40%的教師承擔

8、了科研項目，這些教師中有90%公開發(fā)表了論文，這些論文均發(fā)表在核心期刊上。則發(fā)表了核心期刊論文但沒有承擔科研項目的教師是承擔了科研項目但沒有發(fā)表論文的多少倍？A.4B.7C.9D.10【解析】例3.已知“有40%的教師承擔了科研項目，這些教師中有90%公開發(fā)表了論文”，“這些教師”對應的是40%，則有40%*90%=36%的教師既承擔科研項目又發(fā)表論文，對應最中間的部分。問“發(fā)表了核心期刊論文但沒有承擔科研項目的教師是承擔了科研項目但沒有發(fā)表論文的多少倍”，即問“只論文”是“只項目”的幾倍關(guān)系。題干所給均為比例，為給比例求比例的情況，設總?cè)藬?shù)為100。畫圖表示，兩個圈分別表示“發(fā)表論文”“承擔

9、科研項目”，從中間開始入手，中間部分為36（既承擔科研項目又發(fā)表論文），已知“64%的教師發(fā)表了核心期刊論文”，則“只論文”=64-36=28，同理，“40%的教師承擔了科研項目”，則“只【知識點】三集合：標準型公式：A+B+C-AGB-BGC-CGA+AGBGC二全部-都不。2推導：假設3個集合分別用A、B、C表示，要求覆蓋的總面積，先加和為A+B+C此時發(fā)現(xiàn)中間有部分加重了，應該去掉，和B、B和C、C和A重疊的部分分別加了2次，要減去，此時為A+B+C-AGB-BGC-CGA，但并不是減完了，中間紅色部分在AGB、BGC、CGA中均包含，加的時候加了3次，減的時候又減了3次，說明此時所計算

10、的總面積中沒有包含中間紅色部分，需要再補上去，則有答:A、B、C中均包含紅色部分，加的時候加了3次，而AGB、BGC、CGA中也都包含紅色部分，減的時候又減了3次，因此要補上。若不能理解，就死記硬背，記住口訣：單個-兩兩+三個=全-都不。例4（2018陜西）有關(guān)部門對120種抽樣食品進行化驗分析，結(jié)果顯示，抗氧化劑達標的有68種，防腐劑達標的有77種，漂白劑達標的有59種，抗氧化劑和防腐劑都達標的有54種，防腐劑和漂白劑都達標的有43種，抗氧化劑和漂白劑都達標的有35種，三種食品添加劑都達標的有30種，那么三種食品添加劑都不達標的有（）種。A.14B.15D.17C.16F.19E.18G.2

11、0H.21【解析】例4.已知“抗氧化劑達標的有68種，防腐劑達標的有77種，漂白劑達標的有59種”，即單個的情況都給了；“抗氧化劑和防腐劑都達標的54有種”，即對應WB，同理，“防腐劑和漂白劑都達標的有3種”對應BGC,“抗氧化劑和漂白齊嘟達標的有35種”對應AGC,即兩兩重疊的地方也給了；“三種食品添加劑都達標的有30種”對應AGBGC，發(fā)現(xiàn)公式中的數(shù)據(jù)均已知，直接代入公式：68+77+59-54-43-35+30=120-？，選項特別多，數(shù)字也很長，先看能否用尾數(shù)法。選項尾數(shù)各不相同，直接看個位數(shù)，先抵消，左邊：-4-3+7=0，9-5=4，則左邊個位為8+4=12，尾數(shù)為2；右邊個位為0

12、-？的尾數(shù)=2，不夠減需要借位，則右邊個位為10-?的尾數(shù)=2,解得？的尾數(shù)為8,對應E項?！具xE】【注意】三集合容斥問題一般考查最簡單的形式為每個量都給，陜西基本每年都考?！局R點】三集合非標準型：例：在A、B、C三個集合中，防腐劑達標2項的有多少種，此時達標2項HAGB+BGC+AGC（如圖所示，紅色斜線部分為達標2項，中間部分為達標3項，AGB、BGC、AGC中均包含達標3項的，因此不相等）。因此以后遇到“滿足兩項”的情況，換個思路來去重。推導：如何去重oA+B+C，“滿足兩項”（對應紅色斜線部分）分別在A、B、C中多算了一次，因此去重時需要將多算的部分減掉，則有A+B+C-滿足兩項；而

13、中間藍色部分加了3次，但“滿足兩項”中不包含中間藍色部分，因此中間藍色部分還沒減去，要減去2*滿足三項（中間藍色部分加了3次，而計算面積只需要計算1次，因此要減去多出的2次）。得到公式：A+B+C-滿足兩項-滿足三項*2=全-都不。公式：A+B+C-滿足兩項-滿足三項*2二全-都不。注意：“滿足兩項”在真題中的意思就是“只滿足兩項”，即只在兩個集合中有重疊（藍色斜線部分），而中間紅色斜線部分為屬于“滿足三項”，不屬于“滿足兩項”。“滿足兩項”加的時候多算1了次，需要減去1次，而“滿足三項”加了3次，但只需要算1次，因此要減去2次。強調(diào)兩個點：（1）標準型和非標準型公式如何識別：一般看中間滿足兩

14、項的部分是分開給還是一起給。如例4，每兩項的交集是分開給的，而非標準型公式中，直接給出“滿足兩項”（藍色斜線部分之和。）因此若滿足兩項合起來給1個數(shù)據(jù)，則對應非標準型公式；若滿足兩項分開給，則對應標準型公式。（2）這類題目經(jīng)常咬文嚼字。有的題目直接說“只滿足兩項”，有的題目說“滿足兩項”，兩者是等價的，只有這樣才能做出答案，這是一種規(guī)則。但有時候會出現(xiàn)“至少兩項”的表述，此時至少兩項工（只）滿足兩項，至少兩項二滿足兩項+滿足三項，因此遇到“至少兩項”，要先減去“滿足三項”的，得出“只滿足兩項”，這樣才能直接運用到非標準型公式中?！纠?】（2017重慶選調(diào)）一項農(nóng)村家庭的調(diào)查顯示，電冰箱擁有率為

15、49%，電視機擁有率為85%，洗衣機擁有率為44%，至少有兩種電器的占63%，三種電器齊全的占25%，則一種電器都沒有的比例為：A.10%B.15%C.20%D.25%【解析】例5.已知“至少有兩種電器的占63%”，“至少有兩種”包括“滿足兩種”和“滿足三種”的，三種電器齊全的占25%，則只滿足兩種=63%-25%=38%，即滿足兩種的合在一起給，因此用非標準型公式：A+B+C-2*3=全-都不，代入數(shù)據(jù)：49+85+44-38-2*25=100-?,A、C項尾數(shù)相同，直接算即可。原式=11+35+44=100-?，整理得90=100-?，解得？=10，對應A項。【選A】【注意】小技巧：題干沒

16、有給具體數(shù)值，但老師計算時直接用49、85、44，說明默認把調(diào)查的全部家庭數(shù)設為100個，考試時不需要這么細致，直接用即可?！敬鸢竻R總】1-5：ACBEA例6（2018江西）某高校做有關(guān)碎片化學習的問卷調(diào)查，問卷回收率為90%，在調(diào)查對象中有180人會利用網(wǎng)絡課程進行學習，200人利用書本進行學習，100人利用移動設備進行碎片化學習，同時使用三種方式學習的有50人，同時使用兩種方式學習的有20人，不存在三種方式學習都不用的人。那么，這次共發(fā)放了多少份問卷?（）A.370B.380C.390D.400【解析】例6.出現(xiàn)“網(wǎng)絡課程”“書本”“移動設備”三種類別，且三種類別有重復，為三集合容斥問題，

17、有標準型和非標準型，區(qū)別在于滿足兩種的是分開給還是一起給。已知“同時使用兩種方式學習的有20人”，即一起給，因此對應非標準型公式：A+B+C-2水二全-都不，代入數(shù)據(jù)：180+200+100-20-2*50二全-0，先抵消，100-2*50=0，整理得：380-20=全=360，選項沒有答案，問卷都是反饋回來的情況，分析都是在收回的問卷上分析的，還有部分沒收回的，已知“問卷回收率為90%”，列式：發(fā)放數(shù)*0.9=360，則發(fā)放數(shù)=360/0.9=400，對應D項。【選D】【注意】本題選項中沒有360，否則會有很多同學掉坑。但2015年的國考真題中，選項是有360的，一定要注意題干條件?！局R點

18、】常識型公式（考查非常少）：前面講過兩種公式，有滿足兩種、滿足三種的，但其實也可以分析滿足一種的，此時可以發(fā)現(xiàn)，滿足一種、滿足兩種、滿足三種之間是沒有重疊的，可得：滿足一+種滿足兩種+滿足三種=全-都不。所有公式的右邊都為全-都不。三種公式只是切入點不同而已。例如已知全班男生、女生分別的人數(shù)，則男生+女生=總數(shù)，不需要減去重疊的，因為沒有一個人既男又女?！纠?】（2016江蘇）某單位舉辦設有A、B、C三個項目的趣味運動會，每位員工三個項目都可以報名參加。經(jīng)統(tǒng)計，共有72名員工報名，其中參加A、B、C三個項目的人數(shù)分別為26、32、38，三個項目都參加的有4人，則僅參加一個項目的員工人數(shù)是：A.

19、48B.40C.52D.44【解析】例7.有A、B、C三個項目，且有交叉、有重疊，為三集合容斥原理問題，判斷是標準型還是非標準型。本題給了“三個項目”和“一個項目”的數(shù)據(jù)，而沒有給出“兩個項目”的數(shù)據(jù)，因此可以用標準型公式，也可以用非標準型公式。標準型公式有三個未知量（AGB、BGC、AGC），非標準型公式只有一個未知量（滿足兩項）因此用非標準型公式。代入數(shù)據(jù)6+32+28-2*4=72-0（有72名員工報名，說明沒有不參加的）。數(shù)字比較小，直接計算，原式=96-8=72，=96-80=16,問只參加一項的員工人數(shù)，想到常識型公式：+=72-0,則+16+4=72，解得=52,對應C項?！具xC

20、】【注意】若“滿足兩項”合起來給時，用非標準型公式，若“滿足兩項”在題干中未提及，也用非標準型公式。【例8】（2018遼寧）某班在籌備聯(lián)歡會時發(fā)現(xiàn)很多同學都會唱歌和樂器演奏，但有部分同學這2種才藝都不會。具體有4種情況：只會唱歌，只會樂器演奏，唱歌和樂器演奏都會，唱歌和樂器演奏都不會?，F(xiàn)知會唱歌的有22人，會樂器演奏的有15人，兩種都會的人數(shù)是兩種都不會的5倍。這個班至多有多少人？A.27B.30C.33D.36【解析】例8.題干已知“只會唱歌，只會樂器演奏，唱歌和樂器演奏都會，唱歌和樂器演奏都不會”，即分別對應A、B、AGB、都不，為兩集合容斥問題，所給條件較多，可以畫圖分析也可以代公式。已

21、知A、B的數(shù)據(jù)，及AGB和“都不”的比例關(guān)系，可以設未知數(shù)，設“都不”為，貝V都會的（AGB）為5x,代入兩集合公式：22+15-5x二全-X，出現(xiàn)兩個未知數(shù)，先化簡再結(jié)合最值思維，原式化簡為：37-4x二全。方法一：直接代入選項，看X是否為整數(shù)即可。整理得37-全=4x,“37-全”需為4的倍數(shù)。方法二：也可以用最值思維。要讓“全”最大，37為定值，則要讓x最小（此消彼長），已知“兩種都會的人數(shù)是兩種都不會的倍”，貝衣最小不能為0,因此x最小為1,此時全=37-4*1=33，對應C項?！具xC】【注意】1.本題核心點不在于公式，而在于解方程。利用奇偶特性求解也可以，4的倍數(shù)即為偶數(shù)，但本題主要

22、是強調(diào)結(jié)合最值思維來考查。【答案匯總】6-8：DCC兩集合#和$川門=池柱-祁不標準型：/-滬匸-且門匸-甘門十昇門應門匸=總數(shù)-都不三集合非標準妙+&5/30=1/616.7%,答案應先放再放該是17%左右的數(shù)字，5/29首位也不能商2，對應B項?！具xB】【例4】(2016江蘇)一輛公交車從甲地開往乙地需經(jīng)過三個紅綠燈路口，在這三個路口遇到紅燈的概率分別是0.4、0.5、0.6，貝該車從甲地開往乙地遇到紅燈的概率是：A.0.12B.0.50C.0.88D.0.89【解析】例4.問三個紅綠燈路口遇到紅燈的概率，可能是遇到一個、兩個、三個，正面分析很麻煩，可以反面分析。遇到紅燈的反面是沒遇到紅燈

23、的情況，總概率是1，三個路口不是紅燈的概率分別是1-0.4=0.6、1-0.5=0.5、1-0.6=0.4，注意此時不能考慮黃燈，如果考慮黃燈，這個題沒法做。先再，用乘法，沒遇到紅燈的概率為0.6*0.5*0.4=0.12，則P=1-沒遇到紅燈=1-0.12=0.88,對應C項?！具xC】【例5】（2017四川）某雜志為每篇投稿文章安排兩位審稿人，若都不同意錄用則棄用；若都同意則錄用；若兩人意見不同，則安排第三位審稿人，并根據(jù)其意見錄用或棄用。如每位審稿人錄用某篇文章的概率都是60%，則該文章最終被錄用的概率是：A.36%B.50.4%C.60%D.64.8%【解析】例5.方法一：文章最終錄用有

24、三種情況，分別為0.6*0.6=0.36，0.4*0.6*0.6=0.36*0.4，0.6*0.4*0.6=0.36*0.4，則總概率=0.36*（1+0.4+0.4）=36%*1.8，用尾數(shù)法，尾數(shù)6*尾數(shù)8=尾數(shù)8，對應D項。方法二：蒙題技巧。每位審稿人錄用某篇文章的概率都是60%，如果單次概率50%則比的次數(shù)越多，贏的概率越大，多比一次就比原來概率多加一點點,60%大的選項只有D項，則直接蒙D項。原理不需要理解，記住即可?！具x【注意】本題就類似于打比賽的情況，第一局贏的概率為0.6，第二局贏的概率也是0.6，問三局兩勝的概率，如果前兩場都贏了，則沒有第三場；如果第一場輸了，后兩場贏；如果

25、第一場贏，第二場輸，則第三場贏。【答案匯總】1-5：DBBCD分類用加祛（要么要么）分步川乘叢（既又）槪念右暉屮昭列（不口帀撫）-無脅（可以兀換）廠扌非列組合排列組合與櫥率.必須和鄰擁綁注先擁再排晝T不能相鄰插窣法先押再插正難反易：總情況嫩-反而情況數(shù)給惜況求概率滿足要求的俏況數(shù)亠所有的俏況數(shù)一”一-“-給概寧求概傘：分類川加法，分艱川乘法匸難反易：1-反面情況概率小結(jié)】排列組合與概率：排列組合：（1）概念：分類用加法（要么”,要么）。分步用乘法（既又）。有序用排列A（不可互換）。無序用組合C（可以互換）。（2）題型：必須相鄰：捆綁法，先捆再排。注意捆綁后形成一個大胖子跟剩下的再排。不能相鄰：插空法，先排再插。注意有的時候要求不能在兩端。（3）正難反易：總情況數(shù)-反面情況數(shù)。概率：（1