無窮小量與無窮大量課件

1、數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 羅仕樂3.5 無窮小量與無窮大量 本節(jié)討論極限的求法。利用極限的定義，從變量的變化趨勢(shì)來觀察函數(shù)的極限，對(duì)于比較復(fù)雜的函數(shù)難于實(shí)現(xiàn)。為此需要介紹極限的運(yùn)算法則。首先來介紹無窮小。一、無窮小 在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)遇到極限為0的變量。 對(duì)于這種變量不僅具有實(shí)際意義，而且更具有理論價(jià)值，值得我們單獨(dú)給出定義1.定義:極限為零的變量稱為無窮小.例如,注意1.稱函數(shù)為無窮小，必須指明自變量的變化過程；2.無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;3.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證必要性充分性意義1.將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);3.無窮小

2、的運(yùn)算性質(zhì):定理2 在同一過程中,有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.證注意無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.定理3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證推論1 在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3 有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.都是無窮小二、無窮大絕對(duì)值無限增大的變量稱為無窮大.特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大注意1.無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;3. 無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.無界，不是無窮大證三、無窮小與無窮大的關(guān)系定理4 在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.證意義 關(guān)于無窮大

3、的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.極限運(yùn)算法則的證明定理證由無窮小運(yùn)算法則,得有界，注此定理對(duì)于數(shù)列同樣成立此定理證明的基本原則：(1),(2)可推廣到任意有限個(gè)具有極限的函數(shù) (2)有兩個(gè)重要的推論四、無窮小的比較例如,觀察各極限不可比.極限不同, 反映了趨向于零的“快慢”程度不同.定義:例1解例2解常用等價(jià)無窮小:注上述10個(gè)等價(jià)無窮?。òǚ?、對(duì)、冪、指、三）必須熟練掌握用等價(jià)無窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式:一般地有即與等價(jià) 與互為主要部分例如,補(bǔ)充高階無窮小的運(yùn)算規(guī)律五、等價(jià)無窮小替換定理(等價(jià)無窮小替換定理)證意義 求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，可將其中的分子或分母或乘積因子中的無窮小用

4、與其等價(jià)的較簡(jiǎn)單的無窮小代替，以簡(jiǎn)化計(jì)算。具體代換時(shí)，可只代換分子，也可只代換分母，或者分子分母同時(shí)代換。例3解注意不能濫用等價(jià)無窮小代換.對(duì)于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.等價(jià)關(guān)系具有：自反性，對(duì)稱性，傳遞性例4解錯(cuò)解例5解例6 求解一解二解三例7 求解關(guān)于1型極限的求法六 曲線的漸近線 定義：若曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P沿著曲線無限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P與某定直線L的距離趨于0，則稱直線L為曲線C的漸近線. 1.直線y=kx+b是曲線y=f(x)的斜漸近線.事實(shí)上, 由定義,有或又由 得 2 若或則稱直線x=a是曲線y=f(x)的垂直漸近線.例8 求曲線的漸近線. 所以,曲線的斜漸近線為解: 另外,有

5、所以,曲線的垂直漸近線和無窮小與無窮大是相對(duì)于過程而言的.1、主要內(nèi)容:兩個(gè)定義;四個(gè)定理;三個(gè)推論.2、幾點(diǎn)注意:（1） 無窮?。?大）是變量,不能與很小（大）的數(shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2）無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小.（3） 無界變量未必是無窮大.七、小結(jié)3.無窮小的比較:反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度快慢, 但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較.高(低)階無窮小; 等價(jià)無窮小; 無窮小的階.4.等價(jià)無窮小的替換: 求極限的又一種方法, 注意適用條件.作業(yè)P66: 2, 5, 6.5. 曲線的漸近線思考題1思考題2 在某個(gè)過程中，若 有極限， 無極限，那么 是否有極限？為什么？思考題1解答不能保證.例有思考題2解答沒有極限假設(shè) 有極限，有極限，由極限運(yùn)算法則可知：必有極限，與已