正余弦定理應(yīng)用課件

1、正弦、余弦定理應(yīng)用回顧（1）三角形常用公式：（2）正弦定理應(yīng)用范圍： 已知兩角和任意邊，求其他兩邊和一角 已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。(注意解的情況)正弦定理：2R（3）、余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。（4）、余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形問(wèn)題：（1）已知三邊求三個(gè)角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角。有關(guān)測(cè)量術(shù)語(yǔ):a.仰角和俯角是指與目標(biāo)視線在同一垂直平面內(nèi)的水平視線的夾角.其中目標(biāo)視線在水平視線的目標(biāo)視線上方時(shí)叫仰角,目標(biāo)視線在水平視線的下方的時(shí)叫俯角.b.方向角是指從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角

2、,如北偏東300,南偏西450.c.方位角是指從正北方向是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角.d.坡度是坡面與水平面所成的角的度數(shù).測(cè)量距離問(wèn)題如圖,設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸.需要測(cè)量A,B兩點(diǎn)間的距離,測(cè)量者在A的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C.測(cè)出AC=55米,， 求A,B兩點(diǎn)間的距離. BAC=45 ,如圖,隔河看兩目標(biāo)A、B，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距 千米的C、D兩點(diǎn)，并測(cè)得ACB=750,BCD=450,ADC=300，ADB=450(A、B、C、D在同一平面)，求兩目標(biāo)AB之間的距離。ABCD一ABCD一海輪以20n mile/h的速度向正東航行,它在A點(diǎn)測(cè)得燈塔P在船的北600東,2個(gè)小時(shí)后船

3、到達(dá)B點(diǎn)時(shí),測(cè)得燈塔在船的北450東,求(1)船在B點(diǎn)時(shí)與燈塔P的距離.(2)已知以P為圓心,55n mile的半徑的圓形水域內(nèi)有暗礁,那么船工繼續(xù)向正東航行,有無(wú)觸礁的危險(xiǎn).練習(xí)二 某貨輪在A處看燈塔S在北偏東30方向.它以每小時(shí)36海里的速度向正北方向航行,經(jīng)過(guò)40分鐘航行到B處看燈塔S在北偏東75方向.求此時(shí)貨輪到燈塔S的距離.練習(xí)三練習(xí)四如圖，貨輪在海上以40n mile/h的速度由B向C航行，航行的方位角140 ，在B處測(cè)得A處有燈塔，其方位角110 ，在C處觀察燈塔A的方位角35 ，由B到C需0.5h航行，求C到燈塔A的距離。練習(xí)五某人在高出海面600m的山上P處，測(cè)得海面上的航標(biāo)

4、A在正東，俯角為30，航標(biāo)B在南偏東60，俯角為45 ，求這兩個(gè)航標(biāo)間的距離。練習(xí)六（1）準(zhǔn)確地理解題意；（2）正確地作出圖形；（3）把已知和要求的量盡量集中在有關(guān)三角形中，利用正弦定理和余弦定理有順序地解這些三角形；（）再根據(jù)實(shí)際意義和精確度的要求給出答案解三角形應(yīng)用題的一般步驟：測(cè)量高度的問(wèn)題測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間距離把距離看成三角形的邊利用正余弦定理進(jìn)行求解實(shí)際問(wèn)題解三角形問(wèn)題測(cè)量距離的方法：例1、如圖，要測(cè)底部不能到達(dá)的煙囪的高AB，從與煙囪底部在同一水平直線上的C、D兩處，測(cè)得煙囪的仰角分別是，CD間的距離是12m.已知測(cè)角儀器高1.5m,求煙囪的高。圖中給出了怎樣的一個(gè)幾何圖形？已知什么，求什

5、么？想一想AA1BCDC1D1分析：如圖，因?yàn)锳B=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。解：答：煙囪的高為 29.9m.例2:一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東偏南15的方向上，行駛5km后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在東偏南25的方向上，仰角8，求此山的高度CD.分析：要測(cè)出高CD,只要測(cè)出高所在的直角三角形的另一條直角邊或斜邊的長(zhǎng)。根據(jù)已知條件，可以計(jì)算出BC的長(zhǎng)。解：在ABC中，C=25-15=10.根據(jù)正弦定理，CD=BCtanDBCBCtan81047(m)答：山的高度約為1047米。BDAC5km15258練習(xí)1.一輛汽車

6、在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北15的方向上，行駛5km后到達(dá)B處，測(cè)得山頂D位于正東北方,且由A到B的圖中測(cè)得對(duì)山頂D的最大仰角為30 ,求山高例3 在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角5440，在塔底C處測(cè)得A處的俯角501已知鐵塔BC部分的高為27.3m，求出山高CD(精確到1m)分析：根據(jù)已知條件，應(yīng)該設(shè)法計(jì)算出AB或AC的長(zhǎng)解：在ABC中，BCA=90+, ABC=90-, BAC=-, BAD=.根據(jù)正弦定理，CD=BD-BC177-27.3=150(m)答：山的高度約為150米。練習(xí)2.測(cè)山上石油鉆井的井架BC的高，從山腳A測(cè)得AC=60m

7、，塔頂B的仰角是 45,已知山坡的傾斜角 是 30，求井架高BC。測(cè)量角度問(wèn)題例1、如圖，某漁輪在航得中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)，我海軍艦艇在處獲悉后，測(cè)出該漁輪在方位角為，距離為10n mile的處，并測(cè)得漁輪正沿方位角為105 的方向，以n mile/h的速度向小島靠攏我海軍艦艇立即以n mile/h的速度前去營(yíng)救求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時(shí)間（角度精確到0.1 ,時(shí)間精確到min）北北BC105方位角：指從正北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角北北BC105解：設(shè)艦艇收到信號(hào)后x h在處靠攏漁輪，則21x，x，又AC=10, ACB=45+(180105)=120.由余弦定理，得：化簡(jiǎn)得：解得：x=（h）=40(min)(負(fù)值舍去）由正弦定理，得所以21.8，方位角為45 +21.8 =66.8 答：艦艇應(yīng)沿著方位角66.8 的方向航行，經(jīng)過(guò)min就可靠近漁輪練習(xí)一如圖.當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉,在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救.甲船立即 前往救援.同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西.相距10海里C處的乙船,試問(wèn)已船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往B