42應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分課件

1、4.2 應(yīng)用留數(shù)定理 計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分在自然科學(xué)中常常需要計(jì)算一些實(shí)積分，特別是計(jì)算一些在無(wú)窮區(qū)間上的積分。例如：光學(xué)問(wèn)題中需要計(jì)算菲涅爾積分 ；熱傳導(dǎo)問(wèn)題中需要計(jì)算 ；阻尼振動(dòng)問(wèn)題中需要計(jì)算積分 等。我們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)中已經(jīng)知道這些實(shí)變函數(shù)的積分需要特殊的技巧才能計(jì)算，有的很難，甚至不能計(jì)算。原因在于被積函數(shù)往往不能用初等函數(shù)的有限形式表示，因而就不能用牛頓萊布尼茲公式計(jì)算?？墒峭ㄟ^(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些實(shí)積分可以轉(zhuǎn)化為復(fù)變函數(shù)的環(huán)路積分(注意到當(dāng)積分路徑沿實(shí)軸時(shí)，z=x即對(duì)應(yīng)于實(shí)積分)，再利用留數(shù)定理，則積分顯得方便易求。利用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分 一般可采用如下步驟：(1)添加輔助曲線，使

2、積分路徑構(gòu)成閉合曲線；(2)選擇一個(gè)在曲線內(nèi)除了一些孤立奇點(diǎn)外都解析的被積函數(shù)F(z)，使得滿足F(x)=f(x)，通常選用F(z)=f(z)，只有少數(shù)例外；(3)計(jì)算被積函數(shù)F(z)在閉合曲線內(nèi)的每個(gè)孤立奇點(diǎn)的留數(shù)，然后求出這些留數(shù)之和；(4)計(jì)算輔助曲線上函數(shù)F(z)的積分值，通常選擇輔助線使得積分簡(jiǎn)單易求，甚至直接為零。設(shè)法將實(shí)積分 與復(fù)變函數(shù)回路積分相聯(lián)系?；舅枷耄?1)補(bǔ)上一段l2，使得l2上 的積分容易計(jì)算；(2)自變數(shù)變換，把l1變成 另一復(fù)平面上的回路。類型一：條件： 被積函數(shù)是三角函數(shù)的有理式； 區(qū)間是0，2 變數(shù)代換令z=eix，x 0，2， 作變換令由留數(shù)定理得： zk

3、為f(z)在單位圓內(nèi)的奇點(diǎn)例1：計(jì)算 該積分在力學(xué)和量子力學(xué)中很重要 例2：計(jì)算 解：令z=eix，則 f(z)有兩個(gè)2階極點(diǎn)， 其中 在|z|=1內(nèi)，則z1 處的留數(shù)為例3：計(jì)算 解：令z=eix，則 在|z|=1內(nèi)， ，以z=為一階極點(diǎn)例4：求 的值解：令z=ei，則被積函數(shù) 在|z|=1內(nèi)只有單極點(diǎn) ，故類型二： (反常積分)條件： 區(qū)間(-，)； f(z)在實(shí)軸上無(wú)奇點(diǎn)，在上半平面上 除有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的； 當(dāng)z在上半平面和實(shí)軸上時(shí)， zf(z)一致地0 若 ， 和 為互質(zhì)多 項(xiàng)式，上述條件意味著 無(wú)實(shí)的零 點(diǎn)， 的次數(shù)至少比 高兩階。所求積分通常理解為下列極限：若上述極限存在，這一

4、極限便稱為 的值。而當(dāng)R1=R2時(shí)極限存在的話，該極限稱為積分 的主值，記為： P 上下限相等并同時(shí)本類型積分計(jì)算的是積分主值，如何計(jì)算？作如圖所示半圓形回路l只需證明例4：計(jì)算 解： =1， =1+x2，在實(shí)軸上無(wú)零點(diǎn)， 而 ，具有單 極點(diǎn)i，+i在上半平面，則例5：計(jì)算 ，（n為正整數(shù)） 解： 是偶函數(shù) 而 在上半 平面具有n階極點(diǎn)+i，則例6：計(jì)算 解： f(x)是偶函數(shù) 令z4+a4=0，則z4=-a4，即 也就是說(shuō) 有4個(gè)單極點(diǎn)，其 中， 和 在上半平面例7：計(jì)算 ,(a0,b0) 的值。 解： 的分母多項(xiàng)式 的次數(shù)高于分子多項(xiàng)式次數(shù)兩次，它 在上半平面有z1=ai和z2=bi兩個(gè)單

5、極點(diǎn) 所以例8：計(jì)算 的值。 解： 為偶函數(shù)，且分母多項(xiàng) 式的次數(shù)高于分子多項(xiàng)式次數(shù)兩次， 它在上半平面有 和 兩個(gè)單極點(diǎn)，所以類型三：條件： F(x)是偶函數(shù)， G(x)是奇函數(shù)，積分 區(qū)間是0，； F(x)，G(x)在實(shí)軸上無(wú)奇點(diǎn)，在上半 平面除有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的； 當(dāng)z在上半平面或?qū)嵼S上時(shí)，F(xiàn)(x) 和G(x)一致地0。要計(jì)算右邊的積分，需要用到約當(dāng)引理。約當(dāng)引理如果m為正數(shù)，CR是以原點(diǎn)為圓心而位于上半平面的半圓周，又設(shè)當(dāng)z在上半平面及實(shí)軸上時(shí)，F(xiàn)(z)一致地0，則證明：當(dāng)z在上半平面及實(shí)軸上時(shí)，F(xiàn)(z)一致地0，所以max|F(z)|0，從而只需證明 即是有界的。在 范圍內(nèi)，有 ，當(dāng)R 時(shí)，上式有限值，則約當(dāng)引理成立。如果m為負(fù)數(shù)，則約當(dāng)引理為CR是CR對(duì)于實(shí)軸的映像。以上兩式均已化為類型二，其中條件3已放寬，由約當(dāng)引理保證，所以例：計(jì)算 (a0)的值。 解： 有兩個(gè)單極點(diǎn)ai，其中 ai在上半平面，則特殊情形：實(shí)軸上有單極點(diǎn)的情形條件：f(x)在實(shí)軸上有有限個(gè)單極點(diǎn)