數(shù)學(xué)模型第三章(第五版)課件

1、第三章 簡單優(yōu)化模型優(yōu)化工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理、科學(xué)研究中的常見問題. 用數(shù)學(xué)建模方法解決優(yōu)化問題的過程簡單優(yōu)化模型歸結(jié)為函數(shù)極值問題，用微分法求解. 材料強(qiáng)度最大運(yùn)輸費(fèi)用最低利潤最高風(fēng)險(xiǎn)最小優(yōu)化目標(biāo)與決策模型假設(shè)與建立數(shù)學(xué)求解與分析屬于數(shù)學(xué)規(guī)劃的優(yōu)化模型在第四章討論.3.1 存貯 模型3.2 森林救火3.3 傾倒的啤酒杯3.4 鉛球擲遠(yuǎn)3.5 不買貴的只買對(duì)的3.6 血管分支3.7 冰山運(yùn)輸3.8 影院里的視角和仰角3.9 易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)第三章 簡單優(yōu)化模型3.1 存貯模型問 題配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時(shí)因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求時(shí)要付貯存費(fèi). 該廠生產(chǎn)能力

2、非常大，即所需數(shù)量可在很短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)出.已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件1元. 試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小.要求不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與需求量、準(zhǔn)備費(fèi)、貯存費(fèi)之間的關(guān)系.問題分析與思考 每天生產(chǎn)一次, 每次100件,無貯存費(fèi),準(zhǔn)備費(fèi)5000元.日需求100件，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件1元. 10天生產(chǎn)一次, 每次1000件，貯存費(fèi)900+800+100 =4500元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)9500元. 50天生產(chǎn)一次,每次5000件, 貯存費(fèi)4900+4800+100 =122500元

3、，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)127500元.平均每天費(fèi)用950元平均每天費(fèi)用2550元10天生產(chǎn)一次,平均每天費(fèi)用最小嗎?每天費(fèi)用5000元 是一個(gè)優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù).顯然不能用一個(gè)周期的總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù).目標(biāo)函數(shù)每天總費(fèi)用的平均值. 周期短，產(chǎn)量小 周期長，產(chǎn)量大問題分析與思考貯存費(fèi)少，準(zhǔn)備費(fèi)多準(zhǔn)備費(fèi)少，貯存費(fèi)多存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費(fèi)用 (二者之和) 最小.模 型 假 設(shè)1. 產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù) r；2. 每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為 c1, 每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為 c2；3. T天(一周期)生產(chǎn)一次, 每次生產(chǎn)Q件，當(dāng)貯存量降 為零時(shí)，Q件產(chǎn)品立即生產(chǎn)出來 (生產(chǎn)時(shí)間不計(jì))；建 模 目

4、 的r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天總費(fèi)用的平均值最小.4. 為方便起見，時(shí)間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理.模 型 建 立0tq貯存量表示為時(shí)間的函數(shù) q(t)TQrt=0生產(chǎn)Q件，q(0)=Q, q(t)以需求速率r遞減，q(T)=0.一周期總費(fèi)用每天總費(fèi)用平均值（目標(biāo)函數(shù)）離散問題連續(xù)化一周期貯存費(fèi)為A=QT/2模型求解求 T 使模型解釋定性分析敏感性分析參數(shù)c1,c2, r的微小變化對(duì)T,Q的影響T對(duì)c1的(相對(duì))敏感度 c1增加1%, T增加0.5%S(T,c2)=1/2, S(T,r)=1/2c2或r增加1%, T減少0.5%經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式(EOQ公式) 用于訂貨供應(yīng)情況:不

5、允許缺貨的存貯模型模型應(yīng)用T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元) 回答原問題c1=5000, c2=1，r=100 每天需求量 r，每次訂貨費(fèi) c1, 每天每件貯存費(fèi) c2 , T天(周期) 訂貨一次,每次訂貨Q件，當(dāng)貯存量降到零時(shí)，Q件立即到貨.思考: 為什么與前面計(jì)算的C=950元有差別?允許缺貨的存貯模型ABOqQrT1t當(dāng)貯存量降到零時(shí)仍有需求r, 出現(xiàn)缺貨，造成損失.原模型假設(shè)：貯存量降到零時(shí)Q件立即生產(chǎn)出來(或立即到貨).現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨, 每天每件缺貨損失費(fèi) c3 , 缺貨需補(bǔ)足.T周期T, t=T1貯存量降到零一周期總費(fèi)用一周期貯存費(fèi)一周期缺貨費(fèi)每天總費(fèi)用平

6、均值（目標(biāo)函數(shù)）一周期總費(fèi)用求 T ,Q 為與不允許缺貨的存貯模型相比，T記作T, Q記作Q.允許缺貨的存貯模型不允許 缺貨模型記允許缺貨模型不允許缺貨允許缺貨模型OqQrT1tT注意：缺貨需補(bǔ)足Q每周期初的存貯量R每周期的生產(chǎn)量R （或訂貨量）Q不允許缺貨時(shí)的產(chǎn)量(或訂貨量) 存 貯 模 型 存貯模型(EOQ公式)是研究批量生產(chǎn)計(jì)劃的重要理論基礎(chǔ), 也有實(shí)際應(yīng)用. 建模中未考慮生產(chǎn)費(fèi)用, 為什么?在什么條件下可以不考慮? 建模中假設(shè)生產(chǎn)能力為無限大(生產(chǎn)時(shí)間不計(jì)), 如果生產(chǎn)能力有限(是大于需求量的常數(shù)), 應(yīng)作怎樣的改動(dòng)?3.2 森林救火森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量.隊(duì)員多，森林損

7、失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小.綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量.分析問題記隊(duì)員人數(shù)x, 失火時(shí)刻t=0, 開始救火時(shí)刻t1, 滅火時(shí)刻t2, 時(shí)刻t森林燒毀面積B(t). 損失費(fèi)f1(x)是x的減函數(shù), 由燒毀面積B(t2)決定. 救援費(fèi)f2(x)是x的增函數(shù), 由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定.存在恰當(dāng)?shù)膞，使f1(x), f2(x)之和最小. 關(guān)鍵是對(duì)B(t)作出合理的簡化假設(shè).分析失火時(shí)刻t=0, 開始救火時(shí)刻t1, 滅火時(shí)刻t2, 畫出時(shí)刻t森林燒毀面積B(t)的大致圖形.t1t2OtBB(t2)分析B(t)比較困難,轉(zhuǎn)而討論單位時(shí)間燒毀面積 dB/dt (森林燒毀的速

8、度).模型假設(shè) 3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1 (燒毀單位面積損失費(fèi)） 1）0tt1, dB/dt 與 t成正比，系數(shù) (火勢(shì)蔓延速度). 2）t1tt2, 降為x (為隊(duì)員的平均滅火速度). 4）每個(gè)隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用c2, 一次性費(fèi)用c3 .假設(shè)1）的解釋rB火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑 r與 t 成正比.面積 B與 t2 成正比dB/dt與 t 成正比模型建立bOt1tt2假設(shè)1）目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用假設(shè)3）4）假設(shè)2）模型建立目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用模型求解求 x使 C(x)最小其中 c1,c2,c3, t1, ,為已知參數(shù) c2 x c1, t1, x c3 , x

9、 c1燒毀單位面積損失費(fèi), c2每個(gè)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi), c3每個(gè)隊(duì)員一次性費(fèi)用, t1開始救火時(shí)刻, 火勢(shì)蔓延速度, 每個(gè)隊(duì)員平均滅火速度.為什么?結(jié)果解釋 / 是火勢(shì)不繼續(xù)蔓延的最少隊(duì)員數(shù)bOt1t2t模型應(yīng)用費(fèi)用參數(shù)c1,c2,c3已知 ,由森林類型、隊(duì)員能力等因素決定，可設(shè)置一系列數(shù)值備查.模型可決定隊(duì)員數(shù)量 x開始救火時(shí)刻t1可估計(jì) 評(píng)注在風(fēng)力的影響較大時(shí)“森林燒毀速度dB/dt 與 t成正比”的假設(shè)需要重新考慮.隊(duì)員滅火速度應(yīng)該與開始救火時(shí)的火勢(shì)有關(guān).不平坦處滿杯啤酒容易傾倒.杯子中央稍下一點(diǎn)的位置.重心有一個(gè)最低點(diǎn) 啤酒杯容易放穩(wěn)的位置.飲酒時(shí)重心先降低，再升高，回到中央.建立數(shù)

10、學(xué)模型描述啤酒杯的重心變化的規(guī)律，找出重心最低點(diǎn)的位置，討論決定最低點(diǎn)的因素.重心太高！滿杯時(shí)重心在哪里？空杯時(shí)重心在哪里？與滿杯時(shí)重心相同.倒酒時(shí)重心先升高，再降低，回到中央.3.3 傾倒的啤酒杯問題分析與模型假設(shè)s(x)1液面x0 x最簡單的啤酒杯 高度為1的圓柱體.沿中軸線建立坐標(biāo)軸x，倒酒時(shí)液面高度從x=0到x=1.假設(shè)：啤酒和杯子材料均勻.w2 空杯側(cè)壁質(zhì)量w3 空杯底面質(zhì)量空杯重心由w2和w3決定, 與x無關(guān).重心位置沿x軸變化，記作s(x).w1 啤酒 (滿杯) 質(zhì)量 s1=x/2 s2=1/2液面高度x時(shí)啤酒質(zhì)量w1x, 啤酒重心位置 s1=x/2問題分析與模型假設(shè)s(x)1液

11、面x0 xw1 啤酒 (滿杯) 質(zhì)量w2 空杯側(cè)壁質(zhì)量, w3 空杯底面質(zhì)量空杯重心位置 s2=1/2忽略空杯底面質(zhì)量w3 啤酒杯重心s(x)由啤酒重心和空杯重心合成.啤酒杯重心模型一 s1=x/2 s2=1/2s(x)1液面x0 xs=s(x) 液面高度x的啤酒杯重心啤酒質(zhì)量w1x空杯質(zhì)量w2啤酒重心s1空杯重心s2力矩平衡s1=x/2s2=1/2a=w2/w1啤酒杯重心模型一啤酒杯重心s(x)只與質(zhì)量比a有關(guān)a = w2/w1w1 啤酒質(zhì)量w2 空杯質(zhì)量xsa=0.3, x=0.35左右s最小, 即重心最低.對(duì)于每個(gè)a, s(x)有一最小點(diǎn).x =0.35啤酒杯重心模型一a = w2/w1

12、微分法求解s極值問題xa液面高度為x時(shí)啤酒杯重心處于最低位置.x 由質(zhì)量比a決定結(jié)果分析半升啤酒杯w1=500g空杯質(zhì)量w2取決于材料 (紙杯、塑料杯、玻璃杯).一杯啤酒約剩1/3時(shí)重心最低，最不容易傾倒！ 設(shè)w2=150g(a = w2/w1)xaa=0.3w2 a x 空杯越重,重心最低時(shí)的液面越高.重心最低位置x由比值a決定結(jié)果分析 = xs(x)x啤酒杯重心與液面高度重合時(shí)重心最低.意料之外?情理之中!直觀解釋x=0時(shí)s=s2=1/2xs1=x/2向下作用sx=sxs1=x/2向上作用s x=1時(shí)s= 1/2結(jié)果分析啤酒杯重心與液面高度重合時(shí)重心最低.數(shù)學(xué)分析ds/dx與 (x-s)

13、同號(hào).xs時(shí)ds/dx s時(shí)ds/dx 0sx=s時(shí)ds/dx =0, s達(dá)到最小值.x 啤酒杯重心模型二 s1=x/2 s2=1/2s(x)1液面x0 xs3=0 考慮空杯底面質(zhì)量w3 底面厚度杯子高度力矩平衡底面重心 s3=0s1=x/2s2=1/2a=w2/w1b=w3/w1b=0時(shí)與模型一相同.啤酒杯重心模型二a = w2/w1 b = w3/w1=s(x)啤酒杯重心與液面高度重合時(shí)重心最低.與模型一 a=0.3時(shí) x=0.3245比較設(shè)側(cè)壁和底面的厚度和材質(zhì)相同, 側(cè)壁高度h, 底面直徑 d, h=2dw3/w2= d/4h=1/8x=0.3059b=w3/w1=(1/8)0.3=0

14、.0375小結(jié)與評(píng)注對(duì)于一個(gè)饒有生活情趣的現(xiàn)象建立數(shù)學(xué)模型：對(duì)杯子作適當(dāng)?shù)暮喕僭O(shè).用基本物理知識(shí)構(gòu)造優(yōu)化模型.用導(dǎo)數(shù)、極限、作圖等方法給出求解結(jié)果.對(duì)結(jié)果作數(shù)學(xué)分析并給予實(shí)際解釋.啤酒杯重心模型二啤酒杯重心與液面高度重合時(shí)重心最低.啤酒杯重心模型一既在意料之外又在情理之中的結(jié)果.函數(shù)s=s(x)的最小點(diǎn)x*是不動(dòng)點(diǎn)，即x*=s(x*)有趣的現(xiàn)象: 只要啤酒杯是旋轉(zhuǎn)體(如圓臺(tái)或球臺(tái)), 上述結(jié)果就成立！旋轉(zhuǎn)體側(cè)壁由任意曲線繞中軸線旋轉(zhuǎn)而成.小結(jié)與評(píng)注 3.4 鉛球擲遠(yuǎn)鉛球擲遠(yuǎn)起源于14世紀(jì)歐洲炮兵推擲炮彈的游戲和比賽.男子鉛球早在1896年第1屆奧運(yùn)會(huì)上就被列為比賽項(xiàng)目.影響投擲距離的因素：找

15、出最佳出手角度.定量分析投擲距離與這些因素的關(guān)系.研究這些因素的微小改變對(duì)投擲距離的影響.常識(shí)判斷初始速度出手角度出手高度問題分析男子鉛球直徑11至13cm,重量為16磅(合7.26kg).在短暫的飛行中所受的阻力可以忽略.將鉛球視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以一定的初始速度和出手角度投出后，在重力作用下作斜拋運(yùn)動(dòng).影響投擲距離的因素：初始速度v出手角度出手高度h重力vsyxO模型一不考慮鉛球出手高度 初始速度v與x軸的夾角g 重力加速度t=0時(shí)鉛球從坐標(biāo)原點(diǎn)O投出.s 投擲距離斜拋運(yùn)動(dòng)的基本定律落地模型一出手角度=/4時(shí)最佳出手角度/4與初始速度v無關(guān).“物體以45度角拋出的距離最遠(yuǎn)”對(duì)任何出手角度，投擲距

16、離s與v2成正比.初始速度的提高能使投擲距離大幅度地增加.結(jié)果分析投擲距離 最大.hO重力vsyx模型二鉛球出手高度為ht=0時(shí)鉛球從 (0, h) 投出h=0 時(shí)與模型一 相同.模型二 直接用 求最佳出手角度計(jì)算太繁. 最佳出手角度最遠(yuǎn)投擲距離模型二最佳出手角度最遠(yuǎn)投擲距離最佳出手角度0, 遞增漸慢dU(x)/dx 0, 遞減dU(x)/dx “邊際效用遞減” 經(jīng)濟(jì)學(xué)中普遍、重要的法則.效用函數(shù)和邊際效用特性的數(shù)學(xué)表述：dU(x)/dx 效用函數(shù) U(x)現(xiàn)實(shí)生活中的諸多表現(xiàn).效用遞增邊際效用遞減無差別曲線U(x, y) 兩個(gè)變量x, y的效用函數(shù)x片面包和y根香腸的組合幾種組合的效用函數(shù)相

17、等A1 1片面包加4根香腸A2 4片面包加1根半香腸A37片面包加1根香腸A1, A2, A3連成一條曲線U(x, y)=u1 (u1 常數(shù))無差別曲線 效用函數(shù)的幾何表示.等效用線無差別曲線B1(2片面包加5根香腸), B2, B3連成無差別曲線.效用函數(shù) U(x, y)=u的幾何表示U(x, y)=u2 (u2 u1)C1(1片面包加2根香腸), C2連成無差別曲線.U(x, y)=u3 (u3 u1)OyU(x,y) = uxu增加效用函數(shù)值u增加無差別曲線上移無差別曲線 U(x, y)=u典型的效用函數(shù)a=1, =1/3, =1/2效用遞增邊際效用遞減一元函數(shù)U(x)二元函數(shù)U(x,y

18、)無差別曲線的特性下降幾何直觀下凸互不相交u增加U(x, y) =uOxy“下降”的數(shù)學(xué)解釋無差別曲線上效用函數(shù)U(x, y)=u不變隱函數(shù)U(x, y)=u求導(dǎo)公式y(tǒng)=y(x)0, y0）邊際效用U/x, U/y用x替代y后效用不變2種可以相互替代的商品x, y0 xdx ydyPx-yu增加U(x, y) =u0 xy無差別曲線的特性下降下凸互不相交無差別曲線的特性P1x1 y1P2 y2x2u增加U(x, y) =uOxy“下凸”的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋y2/x2 (P2的替代率) y1/x1 (P1的替代率)P1 x少, y多2種可以相互替代的商品x, yP2 x多, y少x2=x1( y2)(

19、y1)“物以稀為貴”dy/dx 對(duì)x的導(dǎo)數(shù)為負(fù)“邊際替代率遞減”下降下凸互不相交無差別曲線的特性“互不相交”的解釋下降下凸互不相交如果無差別曲線U(x, y)=u1與U(x, y)=u2 相交于P.則交點(diǎn)P的效用函數(shù)將取2個(gè)不同的數(shù)值u1, u2 .不可能!u1 u2 u增加U(x, y) =uOxyU=u1U=u2P效用最大化模型 p1, p2甲乙商品的單價(jià)x, y 購買甲乙商品數(shù)量已知甲乙兩種可替代商品的效用函數(shù), 用一定數(shù)額的錢購買多少甲、多少乙？問題由效用函數(shù)最大確定購買數(shù)量.U(x, y) 效用函數(shù)效用最大化原理s 準(zhǔn)備付出的錢 效用最大化模型 模型求解幾何分析 U(x, y)=u

20、下降、下凸、互不相交的無差別曲線.AB必與一條無差別曲線l相切于Q點(diǎn)消費(fèi)點(diǎn)效用最大化模型 消費(fèi)點(diǎn)Q (x, y)的U(x, y)最大AB與l1交點(diǎn)Q1, U(x1, y1)4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6冰山體積(m3)船速(km/h) 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8建模準(zhǔn)備建模目的選擇船型和船速，使冰山到達(dá)目的地后每立方米水的費(fèi)用最低，并與淡化海水的費(fèi)用比較.模型假設(shè) 航行過程中船速不變，總距離9600km. 冰山呈球形，球面各點(diǎn)融化速率相同. 到達(dá)目的地后,每

21、立方米冰可融化0.85m3水.建模分析目的地水體積運(yùn)輸過程融化規(guī)律總費(fèi)用目的地冰體積初始冰山體積燃料消耗租金船型, 船速船型船型, 船速船型第t天融化速率模型建立1. 冰山融化規(guī)律 船速u (km/h)與南極距離d(km)融化速率r(m/天）r是 u 的線性函數(shù)d4000時(shí)u與d無關(guān)航行 t 天, d=24ut 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6urd1. 冰山融化規(guī)律 冰山初始半徑R0，航行t天時(shí)半徑冰山初始體積t天時(shí)體積總航行天數(shù)選定u,V0, 航行t天時(shí)冰山體積到達(dá)目的地時(shí)冰山體積2. 燃料消耗 105 106 107135 8.

22、4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8Vuq1燃料消耗 q1(英鎊/km)q1對(duì)u線性, 對(duì)lgV 線性選定u,V0, 航行第t天燃料消耗 q (英鎊/天)燃料消耗總費(fèi)用 V0 5 105 106 107 f(V0) 4.0 6.2 8.0 3. 運(yùn)送每立方米水費(fèi)用 冰山初始體積V0的日租金 f(V0)（英鎊）航行天數(shù)總?cè)剂舷馁M(fèi)用拖船租金費(fèi)用冰山運(yùn)輸總費(fèi)用冰山到達(dá)目的地后得到的水體積3. 運(yùn)送每立方米水費(fèi)用 冰山運(yùn)輸總費(fèi)用運(yùn)送每立方米水費(fèi)用 到達(dá)目的地時(shí)冰山體積模型求解選擇船型和船速,使冰山到達(dá)目的地后每立方米水的費(fèi)用最低求 u,V0使Y(u,V0

23、)最小u=45(km/h), V0= 107 (m3)， Y(u,V0)最小V0只能取離散值經(jīng)驗(yàn)公式很粗糙33.544.551070.07230.06830.06490.06630.06580.22510.20130.18340.18420.179010678.90329.82206.21385.46474.5102V0u5106取幾組（V0，u）用枚舉法計(jì)算結(jié)果分析由于未考慮影響航行的種種不利因素，冰山到達(dá)目的地后實(shí)際體積會(huì)顯著小于V(u,V0).有關(guān)部門認(rèn)為，只有當(dāng)計(jì)算出的Y(u,V0)顯著低于淡化海水的成本時(shí)，才考慮其可行性.大型拖船V0= 107 (m3),船速 u=45(km/h),

24、 冰山到達(dá)目的地后每立方米水的費(fèi)用 Y(u,V0)約0.065(英鎊).雖然0.065英鎊略低于淡化海水的成本0.1英鎊，但是模型假設(shè)和構(gòu)造非常簡化與粗糙. 模型來自實(shí)際問題的可行性研究. 收集數(shù)據(jù)是建模的重要準(zhǔn)備工作. 根據(jù)數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)公式是建模的基礎(chǔ). 冰山形狀的球形假設(shè)簡化了計(jì)算, 這個(gè)假 設(shè)的合理性如何?如果改變它呢?小結(jié)與評(píng)注前排座位？后排座位？中間座位？前后排主要差別：視角和仰角視角眼睛到屏幕上、下邊緣視線夾角.視角大畫面看起來飽滿.仰角眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線夾角. 仰角太大頭部過分上仰.總體上使觀眾視角盡可能大.影院設(shè)計(jì)對(duì)仰角加一定限制.3.8 影院里的視角和仰角chbd

25、q地板線屏幕第n排第1排地面垂直于屏幕和地面的影院縱向剖面示意圖影響和 的因素:簡化問題ch, q, c基本固定.排數(shù)n固定, d改變不大.b和可在一定范圍內(nèi)調(diào)整.hbdq影院設(shè)計(jì)某一排觀眾的視角和仰角眼睛至地板距離簡化問題1. 觀眾視角平均值盡量大, 各排視角分散程度盡量小.2. 各排座位仰角基本不超過300(允許12排例外).3. 前排觀眾不遮擋后排觀眾的視線.h, d, q, c,n固定, 確定b和 , 使全體觀眾滿意程度最高.chbdq地板線屏幕第n排第1排地面視角，仰角問題分析座位號(hào)k(=1,2, n) 觀眾視角平均值取1到n排視角的均值.視角分散程度用n個(gè)視角均方差度量.觀眾滿意程

26、度定義為各排視角均值與均方差之比. 變異系數(shù)視角,仰角 優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)(越大越好)chbdq地板線屏幕第n排第1排地面b, 優(yōu)化問題的決策變量越大越好越小越好問題分析仰角300，允許12排不滿足.優(yōu)化問題的約束條件k 前排觀眾不遮擋后排的視線.條件：設(shè)眼睛到頭頂?shù)母叨萩1，使后排觀眾眼睛到屏幕下邊緣的視線在前排觀眾頭頂之上. 只需最后一排滿足條件.只需檢查前3排的數(shù)值.cqc1后排眼睛前排頭頂視線模型假設(shè)固定參數(shù)2mb 3m 決策變量c=1.1mh=2.5mbd=6mq=0.8m地板線屏幕第16排第1排地面c1=0.1m100 200模型假設(shè)chbdq地板線屏幕第n排第1排地面下仰角 眼睛

27、到屏幕下邊緣視線與水平線夾角.= - 當(dāng)下邊緣視線在水平線之下時(shí)取負(fù)值.上仰角 眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線夾角. cqnc1AB第n排眼睛第n-1排頭頂對(duì)最后一排：模型分析b和的改變對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響b k, k k ,k水平線ckkhbd(k-1)qk第k排圖形直觀數(shù)學(xué)分析kk 模型分析b和的改變對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響k m() 數(shù)學(xué)分析k s() k m() ?約束條件: 前排觀眾不遮擋后排的視線.約束條件: 仰角k300容易滿足.模型分析b和的改變對(duì)約束條件的影響b, k b, 模型求解 設(shè)h=2.5m, d=6m, q=0.8m,c=1.1m, c1=0.1m, n=16 求b(2mb3m)

28、, (100 200)使v()最大. 滿足 及n ( ). 微分法難以求解，轉(zhuǎn)向數(shù)值搜索法.模型求解 b(m)1001101201301401501601701801902002.03.14523.14433.14233.13923.13513.13003.12373.11633.10773.09813.08722.13.17953.17893.17723.17453.17073.16583.15983.15263.14433.13483.12402.23.21543.21523.21393.21153.20813.20343.19773.19073.18263.17323.16262.33.

29、25303.25323.25233.25033.24713.24283.23733.23063.22263.21343.20292.43.29243.29303.29253.29083.28803.28403.27873.27223.26453.25543.24512.53.33363.33473.33463.33323.33073.32703.32203.31583.30823.29943.28912.63.37673.37823.37853.37753.37543.37203.36733.36133.35393.34523.33512.73.42173.42363.42433.42383.

30、42203.41893.41453.40873.40163.39313.38312.83.46863.47103.47223.47203.47063.46793.46383.45833.45133.44303.43312.93.51763.52043.52213.52243.52133.51893.51513.50993.50323.49503.48533.03.56863.57203.57413.57483.57423.57213.56863.56373.55723.54923.5396最大值位于b=3.0m. 取b, 離散值計(jì)算目標(biāo)函數(shù)v()3.5748最大值在=130達(dá)到.3.0130模

31、型求解 計(jì)算b=3.0m, =130的仰角kk12345678k36.253831.794727.939024.600521.700519.170116.951214.9951k910111213141516k13.261511.717310.33509.09167.96846.94946.02145.1730除1, 2外k300= -2.7685= -6.0433b=3.0m, =130確是整個(gè)模型的最優(yōu)解. n模型求解 計(jì)算最優(yōu)解b=3.0m, =130的視角kk12345678k18.682617.637116.552115.497514.506713.592712.757911.999

32、0k910111213141516k11.310310.685510.11789.60129.13018.69938.30447.9415均值m()=12.3135均方差s()=3.4445隨著k的增加, k下降很快, k變化不大.kkk觀眾不妨選擇仰角下降變緩的第10排左右.結(jié)果分析最優(yōu)解b=3.0m, =130的敏感性分析b=3.0m處, b=0.1m時(shí)v0.052.93.51763.52043.52213.52243.52133.51893.51513.50993.50323.49503.48533.03.56863.57203.57413.57483.57423.57213.56863

33、.56373.55723.54923.5396 b(m)100110120130140150160170180190200=130處, =10 時(shí)v =0.00073.5748 / =1%, v/v 0.003%b/b=1%, v/v 0.5%b對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響比的影響大上百倍.小結(jié)與評(píng)注影院屏幕和座位設(shè)計(jì)中的簡化問題：視角均值和均方差為決策目標(biāo), 高度b和夾角為決策變量, 仰角和視線遮擋限制為約束條件, 建立優(yōu)化模型.模型定量結(jié)果與定性分析的相互印證,決策變量的敏感性分析, 以及對(duì)各排座位仰角和視角的討論,豐富了建模的成果, 拓廣了模型的應(yīng)用.定性分析決策變量的變化對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束條件的影響

34、,結(jié)論與直觀和常識(shí)相符合, 是模型檢驗(yàn)一部分.2.5 易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽2006年C題以發(fā)表在工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)2006年增刊上學(xué)生優(yōu)秀論文和評(píng)述文章為基本材料, 介紹建模過程.賽題原文 我們只要稍加留意就會(huì)發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料 (例如飲料量為355毫升的可口可樂、青島啤酒等)的飲料罐(即易拉罐)的形狀和尺寸幾乎都是一樣的?？磥恚@并非偶然，這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計(jì)。當(dāng)然，對(duì)于單個(gè)的易拉罐來說，這種最優(yōu)設(shè)計(jì)可以節(jié)省的錢可能是很有限的，但是如果是生產(chǎn)幾億，甚至幾十億個(gè)易拉罐的話，可以節(jié)約的錢就很可觀了。 現(xiàn)在就請(qǐng)你們小組來研究易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)問題。具體說，請(qǐng)

35、你們完成以下的任務(wù)：賽題原文1. 取一個(gè)飲料量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂飲料罐，測(cè)量你們認(rèn)為驗(yàn)證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各部分的直徑、高度、厚度等，并把數(shù)據(jù)列表加以說明；如果數(shù)據(jù)不是你們自己測(cè)量得到的，那么你們必須注明出處。2. 設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體, 什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測(cè)量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說，半徑和高之比，等等。賽題原文賽題原文3. 設(shè)易拉罐的中心縱斷面如圖所示, 上面部分是一個(gè)正圓臺(tái),下面部分是一個(gè)正圓柱體. 什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測(cè)量的易拉罐的形狀和尺寸。4. 利用你們對(duì)所測(cè)量的易拉罐的洞察和

36、想象力,做出你們自己的關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì).5. 用你們做本題及以前學(xué)習(xí)和實(shí)踐數(shù)學(xué)建模的親身體驗(yàn),寫一篇短文(不超過1000字,你們的論文中必須包括這篇短文),闡述什么是數(shù)學(xué)建模, 它的關(guān)鍵步驟及難點(diǎn).問題分析導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的極值問題設(shè)計(jì)一個(gè)容積固定、有蓋的圓柱形容器, 若側(cè)壁及底、蓋厚度都相同, 問容器高度與底面半徑之比為多少, 所耗材料最少？側(cè)壁及底、蓋厚度相同r底面半徑. h 高度. S 表面積. V 容積V固定, 求r，h滿足什么關(guān)系使S最小.所耗材料用總面積表示問題分析導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的極值問題容器高度與底面直徑相等時(shí)所耗材料最少.r底面半徑. h 高度. S 表面積. V 容積.微分法求解問題分析容器高度與底面直