數(shù)字信號處理西安郵電大學(xué)第三章2

1、3.1 離散傅里葉變換的定義 3.2 離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.3 頻率域采樣3.4 DFT的應(yīng)用舉例第3章 離散傅里葉變換(DFT)傅里葉變換的幾種可能形式：1、連續(xù)時間、連續(xù)頻率傅里葉變換(CTFT)2、連續(xù)時間、離散頻率傅里葉級數(shù)(FS)3、離散時間、連續(xù)頻率序列的傅里葉變換(DTFT)4、離散時間、離散頻率離散傅里葉變換(DFT)四種傅里葉變換形式的歸納 時間函數(shù) 頻率函數(shù) 連續(xù)和非周期 非周期和連續(xù) 連續(xù)和周期 非周期和離散 離散和非周期 周期和連續(xù) 離散和周期 周期和離散 3.1 離散傅里葉變換的定義 一、 DFT的定義 設(shè)x(n)是一個長度為M的有限長序列， 則定義x(n)的N

2、（NM）點離散傅里葉變換為： X(k)的離散傅里葉逆變換為：式中， ，稱為旋轉(zhuǎn)因子。 N稱為DFT變換區(qū)間長度（NM）。 例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8點和16點DFT。 解：設(shè)變換區(qū)間N=8， 則設(shè)變換區(qū)間N=16， 則 二、 DFT和Z變換的關(guān)系 設(shè)序列x(n)的長度為N， 其Z變換和DFT分別為：比較上面二式可得關(guān)系式圖 3.1.1 X(k)與X(e j)的關(guān)系 三、 DFT的隱含周期性 前面定義的DFT變換對中， x(n)與X(k)均為有限長序列， 但由于旋轉(zhuǎn)因子的周期性， 使X(k)和x(n)隱含周期性， 且周期均為N。 對任意整數(shù)m， 總有均為整數(shù) 所以(3

3、.1.1)式中， X(k)滿足同理可證明(3.1.2)式中 x(n+mN)=x(n) 實際上， 任何周期為N的周期序列 都可以看作長度為N的有限長序列x(n)的周期延拓序列， 而x(n)則是 的一個周期， 即為了以后敘述方便， 將(3.1.5)式用如下形式表示： 圖 3.1.2 有限長序列及其周期延拓 式中x(n)N表示x(n)以N為周期的周期延拓序列， (n)N表示n對N求余， 即如果 n=MN+n1， 0n1N-1， M為整數(shù)， 則 (n)N=n1 例如， 則有所得結(jié)果附合圖2.1.2所示的周期延拓規(guī)律。 四、DFT和DFS之間的關(guān)系 如果x(n)的長度為N， 且 (n)=x(n)N， 則

4、可寫出 (n)的離散傅里葉級數(shù)表示為(3.1.8) (3.1.9) 式中 (3.1.10)3.2 離散傅里葉變換的基本性質(zhì)一、 線性性質(zhì) 如果x1(n)和x2(n)是兩個有限長序列， 長度分別為N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b為常數(shù)， 取N=maxN1, N2， 則y(n)的N點DFT為Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2(k), 0kN-1。其中X1(k)和X2(k)分別為x1(n)和x2(n)的N點DFT。 二、 循環(huán)移位性質(zhì) 1. 序列的循環(huán)移位 設(shè)x(n)為有限長序列， 長度為N， 則x(n)的循環(huán)移位定義為 y(n)=x(n+m)NRN(n)

5、 (3.2.2)過程：（1）x(n)周期化； （2）左移m位； （3）取主值。例：x(n)=6,5,4,3,2,1,求y(n)=x(n+2)6R6(n) 。解：y(n)=4,3,2,1,6,5圖 3.2.1 循環(huán)移位過程示意圖 2. 時域循環(huán)移位定理 設(shè)x(n) 是長度為N的有限長序列， y(n)為x(n)的循環(huán)移位， 即 y(n)=x(n+m)NRN(n) 則 Y(k)=DFTy(n) =W-km NX(k) (3.2.3) 其中X(k)=DFTx(n), 0kN-1。 證明： 令n+m=n， 則有 由于上式中求和項x(n)NWknN以N為周期， 所以對其在任一周期上的求和結(jié)果相同。 將上式

6、的求和區(qū)間改在主值區(qū)則得 3. 頻域循環(huán)移位定理 如果 X(k)=DFTx(n), 0kN-1 Y(k)=X(k+l)NRN(k)則 y(n)=IDFTY(k)=WnlNx(n) (3.2.4) 三、 循環(huán)卷積定理 有限長序列x1(n)和x2(n)， 長度分別為N1和N2， N=max N1, N2 。 x1(n)和x2(n)的N點DFT分別為： X1(k)=DFTx1(n) X2(k)=DFTx2(n) 如果 X(k)=X1(k)X2(k) 則(3.2.5) 由于 所以 即循環(huán)卷積亦滿足交換律。 頻域循環(huán)卷積定理： 如果 x(n)=x1(n)x2(n) 則(3.2.6) X1(k)=DFTx

7、1(n)X2(k)=DFTx2(n)0kN-1循環(huán)卷積的過程：（1）變量代換：nm，得到序列x1(m)和x2(m)（2）將 x2(m)周期化，翻轉(zhuǎn)，取主值，得到（3）將（2）中得到的序列循環(huán)移位n，得到（4）將x1(m)和（3）中得到的序列相乘，并對m求和。例： x1(n)=1,1,1,1,0,0,0,0 x2(n)=0,0,1,1,1,1,0,0,求x1(n)和x2(n)的8點循環(huán)卷積。解：（1）x1(n) x1(m),x2(n)x2(m),x1(m)保持不動。（2）0,0,0,1,1,1,1,0(3)n=0,=0,0,0,1,1,1,1,0,x(0)=1n=1,=0,0,0,0,1,1,1

8、,1,x(1)=0 四、 復(fù)共軛序列的DFT 設(shè)x*(n)是x(n)的共軛序列， 長度為N X(k)=DFTx(n) 則 DFTx*(n)=X*(N-k), 0kN-1 (3.2.7) 且 X(N)=X(0) DFTx*(N-n)=X*(k) 證明： 根據(jù)DFT的唯一性， 只要證明(3.2.7)式右邊等于左邊即可。 又由X(k)的隱含周期性有X(N)=X(0) 用同樣的方法可以證明 DFTx*(N-n)=X*(k) (3.2.8) 五、 DFT的共軛對稱性 1. 有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列 這里用xep(n)和xop(n)分別表示有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列， 則二者滿足如下定義

9、式： xep(n)=x*ep(N-n), 0nN-1 (3.2.9) xop(n)=-x*op(N-n), 0nN-1 (3.2.10)當(dāng)N為偶數(shù)時， 將上式中的n換成N/2-n可得到圖 3.2.3 共軛對稱與共軛反對稱序列示意圖 如同任何實函數(shù)都可以分解成偶對稱分量和奇對稱分量一樣， 任何有限長序列x(n)都可以表示成其共軛對稱分量和共軛反對稱分量之和， 即 x(n)=xep(n)+xop(n), 0nN-1 (3.2.11) xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n) (3.2.13) xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n) (3.2.14) 2. DFT的共軛對稱性 (1) 如果

10、x(n)=xr(n)+jxi(n) 其中 xr=Rex(n)=1/2x(n)+x*(n) jxi(n)=jImx(n)=1/2x(n)-x*(n) 由(3.2.7)式和(3.2.13)式可得 DFTxr(n)=1/2DFTx(n)+x*(n) =1/2X(k)+X*(N-k) =Xep(k) 由(3.2.7)式和(3.2.14)式得 DFTjxi(n)=1/2DFTx(n)-x*(n) =1/2X(k)-X*(N-k) =Xop(k) 由DFT的線性性質(zhì)即可得 X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k) (3.2.16) 其中 Xep(k)=DFTxr(n) , X(k)的共軛對稱分

11、量 Xop(k)=DFTjxi(n) , X(k)的共軛反對稱分量 (2) 如果x(n)=xep(n)+xop(n)， 0nN-1 (3.2.17) 其中 xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n), x(n)的共軛對稱分量 xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n) , x(n)的共軛反對稱分量 由(3.2.8)式得 DFTxep(n)=1/2DFTx(n)+x*(N-n) =1/2X(k)+X*(k) =ReX(k) DFTxop(n)=1/2DFTx(n)-x*(N-n) =1/2X(k)-X*(k) =jImX(k) 因此X(k)=DFTx(n)=XR(k)+jXI(k)(3.2.

12、18) 其中 XR(k)=ReX(k)=DFTxep(n) jXI(k)=jImX(k)=DFTxop(n)3.設(shè)x(n)是長度為N的實序列， 且X(k)=DFTx(n)， 則 (1) X(k)共軛對稱，即X(k)=X*(N-k),0kN-1 (2) 如果 x(n)=x(N-n)，即x(n)實偶對稱， 則X(k)也實偶對稱， 即 X(k)=X(N-k) (3) 如果x(n)=-x(N-n)，即x(n)實奇對稱， 則X(k)純虛奇對稱， 即 X(k)=-X(N-k) 4.利用DFT的對稱性，可減少運算量 利用DFT的共軛對稱性， 通過計算一個N點DFT， 可以得到兩個不同實序列的N點DFT， 設(shè)

13、x1(n)和x2(n)為兩個實序列， 構(gòu)成新序列x(n)如下 ： x(n)=x1(n)+jx2(n) 對x(n)進行DFT， 得到 X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k) 由(3.2.16)式、 (3.2.13)式和(3.2.14)式得到Xep(k)=DFTx1(n)=1/2X(k)+X*(N-k) Xop(k)=DFTjx2(n)=1/2X(k)-X*(N-k)所以X1(k)=DFTx1(n)=1/2X(k)+X*(N-k) X2(k)=DFTx2(n)=-j1/2X(k)-X*(N-k) 3.3 頻率域采樣 設(shè)任意序列x(n)的Z變換為 且X(z)收斂域包含單位圓(即x(n)

14、存在傅里葉變換)。 在單位圓上對X(z)等間隔采樣N點得到設(shè)xN(n)=IDFTX(k)， 0nN-1 由DFT與DFS的關(guān)系可知， X(k)是xN(n)以N為周期的周期延拓序列 (n)的離散傅里葉級數(shù)系數(shù) (k)的值序列， 即 將式(3.3.1)代入上式得式中 為整數(shù) 其它m 如果序列x(n)的長度為M， 則只有當(dāng)頻域采樣點數(shù)NM時， 才有 xN(n)=IDFTX(k)=x(n) 即可由頻域采樣X(k)恢復(fù)原序列x(n)， 否則產(chǎn)生時域混疊現(xiàn)象。 這就是所謂的頻域采 樣定理。 (3.3.2) (3.3.3) 下面推導(dǎo)用頻域采樣X(k)表示X(z)的內(nèi)插公式和內(nèi)插函數(shù)。 設(shè)序列x(n)長度為M

15、， 在頻域02之間等間隔采樣N點， NM， 則有 式中 將上式代入X(z)的表示式中得 上式中W-Kn N=1， 因此 (3.3.4) (3.3.5) (3.3.6) 式(3.3.6)稱為用X(k)表示X(z)的內(nèi)插公式， k(z)稱為內(nèi)插函數(shù)。 當(dāng)z=ej時， (3.3.5)式和(3.3.6)式就成為x(n)的傅里葉變換X(ej)的內(nèi)插函數(shù)和內(nèi)插公式， 即進一步化簡可得 (3.3.7) (3.3.8)3.4 DFT的應(yīng)用舉例 DFT的快速算法FFT的出現(xiàn)， 使DFT在數(shù)字通信、 語言信號處理、 圖像處理、 功率譜估計、 仿真、 系統(tǒng)分析、 雷達理論、 光學(xué)、 醫(yī)學(xué)、 地震以及數(shù)值分析等各個領(lǐng)

16、域都得到廣泛應(yīng)用。 3.4.1 用DFT計算線性卷積 1、用DFT計算循環(huán)卷積0kL-1則由時域循環(huán)卷積定理有 Y(k)=DFTy(n)=X1(k)X2(k), 0kL-1 由此可見， 循環(huán)卷積既可在時域直接計算， 也可以按照圖3.4.1所示的計算框圖， 在頻域計算。 由于DFT有快速算法FFT， 當(dāng)N很大時， 在頻域計算的速度快得多， 因而常用DFT(FFT)計算循環(huán)卷積。 圖 3.4.1 用DFT計算循環(huán)卷積 2、用DFT計算線性卷積 假設(shè)h(n)和x(n)都是有限長序列， 長度分別是N和M。 它們的線性卷積和循環(huán)卷積分別表示如下： 其中， LmaxN, M，L是循環(huán)卷積的長度。對照式(3

17、.4.1)可以看出， 上式中 可以看出，循環(huán)卷積是線性卷積以L為周期的周期延拓序列的主值序列。 循環(huán)卷積的長度L 線性卷積的長度N+M-1結(jié)論：當(dāng)L N+M-1時，循環(huán)卷積線性卷積； 當(dāng)L N+M-1時，循環(huán)卷積線性卷積。例：設(shè)h(n)=1,1,1,1,x(n)=1,1,1,1,1,求h(n)和x(n)的L點循環(huán)卷積，L6，8，10。解：先求線性卷積：線性卷積1,2,3,4,4,3,2,1L=6時, 循環(huán)卷積=3,3,3,4,4,3；L=8時, 循環(huán)卷積=1,2,3,4,4,3,2,1；L=10時, 循環(huán)卷積=1,2,3,4,4,3,2,1,0,0。圖 3.4.2 線性卷積與循環(huán)卷積 n-6-

18、5-4-3-2-1012345678910111213yl(n-6)12344321yl(n)12344321yl(n+6)123443216點循環(huán)卷積3334436點循環(huán)卷積的計算：n-8-7-6-5-4-3-2-101234567891011yl(n-8)1234yl(n)12344321yl(n+8)123443218點循環(huán)卷積123443218點循環(huán)卷積的計算：n-8-7-6-5-4-3-2-101234567891011yl(n-10)12yl(n)1234432100yl(n+10)3443210010點循環(huán)卷積123443210010點循環(huán)卷積的計算：圖 3.4.3 用DFT計算線性卷積框圖 重疊相加法： 設(shè)序列h(n)長度為N， x(n)為無限長序列。 將x(n)均勻分段， 每段長度取M， 則于是， h(n)與x(n)的線性卷積可表示為(3.4.4) 圖 3.4.4 重疊相加法卷積示意圖 3.4.2 用DFT對信號進行譜分析 1. 用DFT對連續(xù)信號進行譜分析 譜分析過程：譜分析的幾個參數(shù)：Tp和N可以按照下式進行選擇: 例 3.4.1 對實信號進行譜分析， 要求譜分辨率F10 Hz，信號最高頻率fc=2.5 kHz， 試確定最小記錄時間TPmin， 最大的采樣間隔Tmax， 最少的采樣點數(shù)Nmin。 如果fc不變， 要求譜分辨率增加一倍， 最少的