數(shù)字信號處理：第2章2.6 Z變換

1、12.6 序列的Z變換2Z變換的提出背景(1)數(shù)字信號處理的目標(biāo) 由數(shù)字信號序列分析其內(nèi)在特性 對數(shù)字信號序列進(jìn)行處理正交變換（如傅里葉變換）、Z變換是手段3Z變換的提出背景(2)正交變換視序列為多維空間中一點不同坐標(biāo)系產(chǎn)生不同的坐標(biāo)值(正交變換系數(shù))不同的坐標(biāo)系可突出不同的特性坐標(biāo)變換正交變換Fourier變換直角坐標(biāo) 方用cos和sin函數(shù)作為正交基，來描述振動信號，如語音等極坐標(biāo) 圓正交變換相當(dāng)于不同正交坐標(biāo)系之間的變換三角函數(shù)，Harr , Walsh等正交函數(shù)4Z變換的提出背景(3)多項式變換分析手段：多項式求根、級數(shù)理論等把序列視為多項式的系數(shù)z變換：x用z1代替5 2.6.1 Z

2、變換的定義 序列x(n)的Z變換定義為(2.6.1) 式中z是一個復(fù)變量， 它所在的復(fù)平面稱為z平面。 注意在定義中，對n求和是在之間求和，可以稱為雙邊Z變換。 還有一種稱為單邊Z變換的定義，如下式 (2.6.2) 6 對因果序列來說,單邊和雙邊Z變換相等. 7圖 2.6.1 Z變換的收斂域 8 常用的Z變換是一個有理函數(shù)， 用兩個多項式之比表示(2.6.4) 對比序列的傅里葉變換定義(2.2.1)式， 很容易得到FT和ZT之間的關(guān)系， 用下式表示： 分子多項式P(z)的根是X(z)的零點， 分母多項式Q(z)的根是X(z)的極點。在極點處Z變換不存在， 因此收斂域中沒有極點，收斂域總是用極點

3、限定其邊界。9 式中z=e j表示在z平面上r=1的圓， 該圓稱為單位圓。 (2.6.4)式表明單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換。 如果已知序列的Z變換， 可用(2.6.4)式， 很方便的求出序列的FT， 條件是收斂域中包含單位圓。|z|1 例 1. x(n)=u(n)， 求其Z變換。 X(z)存在的條件是 1， 解： 10 由x(z)表達(dá)式表明， 極點是z=1， 單位圓上的Z變換不存在， 或者說收斂域不包含單位圓。 因此其傅里葉變換不存在， 更不能用(2.6.4)式求FT。 該例同時說明一個序列的傅里葉變換不存在， 在一定收斂域內(nèi)Z變換是存在的。例2:11 2.6.2 幾種序列的Z變換及

4、其收斂域 序列的特性決定其Z變換收斂域， 了解序列特性與收斂的一般關(guān)系， 對使用Z變換是很有幫助的。 1. 有限長序列 如序列x(n)滿足下式： x(n) n1nn2 x(n)= 0 其它12 即序列x(n)從n1到n2序列值不全為零， 此范圍之外序列值為零， 這樣的序列稱為有限長序列。 其Z變換為 設(shè)x(n)為有界序列，由于是有限項求和， 除0與點是否收斂與n1、 n2取值情況有關(guān)外， 整個z平面均收斂。 如果n10， 則收斂域不包括z=0點；如果是因果序列，收斂域包括z=點。 具體有限長序列的收斂域表示如下：13 n10， n20時， 0 |z| n10時， 00時， 0 |z| n1=

5、n2=0時， 0 |z| 例 3. 求x(n)=RN(n)的Z變換及其收斂域 解： 14 這是一個因果的有限長序列， 因此收斂域為0z。 但由結(jié)果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的極點， 但同時分子多項式在z=1時也有一個零點， 極零點對消， X(z)在單位圓上仍存在， 求RN(n)的FT， 可將z=ej代入X(z)得到。 2. 右序列 右序列是在nn1時， 序列值不全為零， 而其它nn1， 序列值全為零。 15 第一項為有限長序列， 設(shè)n11， 其收斂域為0|z|。 第二項為因果序列， 其收斂域為Rx-|z|， Rx-是第二項最小的收斂半徑。 將兩收斂域相與， 其收斂域為Rx- |z|。

6、如果是因果序列， 收斂域定為Rx- |z|。 16 例 2.6.3求x(n)=anu(n)的Z變換及其收斂域 解： 在收斂域中必須滿足|az1|a|。 3. 左序列 左序列是在nn2時， 序列值不全為零， 而在nn2， 序列值全為零的序列。 左序列的Z變換表示為 17 如果n2 0, z=0點收斂， z=點不收斂， 其收斂域是在某一圓(半徑為Rx+)的圓內(nèi)， 收斂域為0|z|0， 則收斂域為0|z| Rx+ 。 X(z)存在要求|a1 z|1， 即收斂域為|z|Rx-， 其收斂域為Rx- |z| Rx+ ， 這是一個環(huán)狀域， 如果Rx+ Rx- ， 兩個收斂域沒有公共區(qū)域， X(z)沒有收斂域

7、， 因此X(z)不存在。 解： 例 2.6.5 x(n)=a|n|， a為實數(shù)， 求x(n)的Z變換及其收斂域。 20 第一部分收斂域為|az|1， 得|z|a|-1， 第二部分收斂域為|az-1|a|。 如果|a|1， 兩部分的公共收斂域為|a|z|a|-1， 其Z變換如下式： |a|z|a|-1 如果|a|1， 則無公共收斂域， 因此X(z)不存在。 當(dāng)0a1時， x(n)的波形及X(z)的收斂域如圖2.6.2所示。 21 圖 2.6.2 例2.6.5圖22 例2.12 求如圖242(a)所示的序列 的Z變換及其收斂域。23解 該序列為雙邊序列，其Z變換為 這是一個有理分式?？梢钥闯觯瑯O點

8、為 和 零點為 和 ， 收斂域為一個環(huán)域： 如圖 2.42(b)所示。24 該例題說明，有理分式Z變換的收斂域以極點為邊界(0和 也可作為邊界)，收斂域內(nèi)不包含任何極點，但可以包含零點，這才能保證Z變換的解析性。利用這個結(jié)論，就能夠較容易地確定在有多個極點情況下的收斂域。圖2.43 極零點分布相同而收斂域不同的4個可能的z變換 圖2.43所示的是某個序列z變換的極-零點分布圖和4種收斂域的情況。圖2.43(a)對應(yīng)于一個右邊序列；圖2.43(b)對應(yīng)于一個左邊序列；圖2.43(c)和圖2.43(d)則對應(yīng)于兩個不同的雙邊序列。應(yīng)注意，這4個序列的Z變換的極-零點分布圖是相同的。25 2.6.3

9、 逆Z變換 已知序列的Z變換及其收斂域， 求序列稱為逆Z變換。 序列的Z變換及共逆Z變換表示如下： (2.6.5) 26 1. 冪級數(shù)法(長除法) 按照Z變換定義(2.6.1)式， 可以直接將X(z)寫成冪級數(shù)形式， 級數(shù)的系數(shù)就是序列x(n)。 27 要說明的是， 如果x(n)是右序列， 級數(shù)應(yīng)是負(fù)冪級數(shù)； 如x(n)是左序列， 級數(shù)則是正冪級數(shù)。 例 2.6.8已知 用長除法求其逆Z變換x(n)。 解:由收斂域判定這是一個右序列， 用長除法將其展成負(fù)冪級數(shù)28 1-az-1 29 例 2.6.9 已知求 其逆Z變換x(n)。 解：由收斂域判定，x(n)是左序列，用長除法將X(z)展成正冪級

10、數(shù) -az-1 + 130例2.14 求的逆變換。 解 因為它的收斂域是一個圓的外部區(qū)域，所以對應(yīng)的序列為右邊序列。又因為 時， 趨近于有限的常數(shù)1，因此它是一個因果序列。用長除法將 展成負(fù)冪級數(shù)。31或由此看出32解 由其收斂域知，對應(yīng)的序列是一個左邊序列，又因為 在 時的值有限，所以它是一個逆因果序列。用長除法將其展成正冪級數(shù)如下。例2.20 研究一個與上例形式相同，但收斂域不同的 ，即的逆變換。33解 由其收斂域知，對應(yīng)的序列是一個左邊序列，又因為 在 時的值有限，所以它是一個逆因果序列。用長除法將其展成正冪級數(shù)如下。例2.20 研究一個與上例形式相同，但收斂域不同的 ，即的逆變換。繼續(xù)

11、除下去可以得出或34 2. 部分分式展開法 35 36 37 表2.6.1 常見序列Z變換 3839 2.6.4 Z 變換的性質(zhì)和定理 Z變換有許多重要的性質(zhì)和定理，下面進(jìn)行介紹。 1.線性 設(shè) X(z)=ZTx(n), Rx-|z|Rx+ Y(z)=ZTy(n), Ry- |z| Ry+ m(n)=ax(n)+by(n)則 M(z)=ZTm(n) =aX(z)+bY(z), R m-|z|R m+ (2.6.15) Rm+=min Rx+,Ry+ Rm-=max Rx-, Ry-如果零極點抵消,收斂域擴(kuò)大40 這里M(z)的收斂域(Rm-，Rm+)是X(z)和Y(z)的收斂域 的交集，如果沒

12、有公共收斂域，例如當(dāng) 時，則M(z)不存在。 2. 序列的移位 設(shè)X(z)=ZTx(n), Rx-|z|Rx+ 則ZTx(n-m)=z-mX(z), Rx-|z|Rx+ 一般情況下， 和 的Z變換收斂域相同，只有 和 處有例外。例如 的Z變換收斂域為整個z平面，而 的Z變換在z=0處不收斂， 的Z變換在z=處不收斂。 41 3. 乘以指數(shù)序列 設(shè) X(z)=ZTx(n), R x-|z|R x+ y(n)=anx(n), a為常數(shù) 則 Y(z)=ZTanx(n) =X(a-1z) |a|R x-|z|a|R x+ (2.6.17)證明因為 Rx-| a-1z|Rx+，得到|a| Rx- |z|

13、a| Rx+ 。零極點會沿徑向方向(a為正實數(shù)),或圓周方向移動(a為模值為1的復(fù)數(shù))42 4.序列乘以n設(shè) 則(2.6.18) 證明 43 5. 序列的復(fù)共軛 設(shè)則 證明: 44 6.初值定理 設(shè) x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n) (2.6.20) 證明 因此 7.終值定理 若x(n)是因果序列，其Z變換的極點，除可以有一個一階極點在z=1上，其它極點均在單位圓內(nèi)，則 (2.6.21) 45證明 因為x(n)是因果序列， 因為(z-1)X(z)在單位圓上無極點，上式兩端對z=1取極限46如果單位圓上，X(z)無極點，則x()=0。 47 序列卷積 設(shè) 則 48證明 W(z)的收斂域

14、就是X(z)和Y(z)的公共收斂域。遇到零極點抵消的情況,收斂域的范圍將擴(kuò)大。(舉例)49例1.4.7 求指數(shù)序列 和 的卷積，設(shè) 。解 求 可用兩種方法，一種根據(jù)定義直接求解，己在前面討論過；另一種就是用下面的Z變換法求解。求其逆變換，得5010.復(fù)卷積定理如果 ZTx(n)=X(z)， Rx-|z|Rx+ ZTy(n)=Y(z), Ry-|z|Ry+ w(n)=x(n)y(n)則51W(z)的收斂域 (2.6.24)式中v平面上，被積函數(shù)的收斂域為(2.6.24) (2.6.25)(2.6.26)52證明 由X(z)收斂域和Y(z)的收斂域，得到53 例2.6.12已知x(n)=u(n),

15、y(n)=a|n|, |a|1若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZTw(n) 解：因此 54 W(z)收斂域為|a|z|；被積函數(shù)v平面上收斂域為max(|a|,0)|v|min(|a-1|,|z|)，v平面上極點：a、a-1和z, 圍線c內(nèi)極點z=a。 55 11.帕斯維爾(Parseval)定理 利用復(fù)卷積定理可以證明重要的帕斯維爾定理。那么 v平面上，c所在的收斂域為56 證明 令 w(n)=x(n)y*(n) 按照(2.6.24)式，得到 按照(2.6.25)式，R x-R y-|z|R x+R y+，按照假設(shè)，z=1在收斂域中，令z=1代入W(z)中。 57 如果x(n)和y

16、(n)都滿足絕對可和，即單位圓上收斂，在上式中令v=e j，得到(2.6.29) 令x(n)=y(n)得到 上面得到的公式和在傅里葉變換中所講的帕斯維爾定理是相同的。(2.6.28)式還可以表示成下式：Z變換性質(zhì)的總結(jié)P69-70(2.6.28)58 2.6.5 利用Z變換解差分方程 在前面介紹了差分方程的時域解法，下面介紹Z變換解法。這種方法將差分方程變成了代數(shù)方程，使求解過程簡單。 設(shè)N階線性常系數(shù)差分方程為(2.6.30) 1.求零狀態(tài)響應(yīng) 如果輸出序列y(n)在n=0以前的狀態(tài)為零，僅x(n)作用得到的響應(yīng)叫零狀態(tài)響應(yīng)，對(2.6.30)式求Z變換，得到59式中 (2.6.31) (2

17、.6.32)60 2. 零輸入響應(yīng) 對于N階差分方程，求零輸入響應(yīng)必須已知N個初始條件。設(shè)x(n)是因果序列，即x(n)=0,nmax(|a|,|b|)，式中第一項為零輸入解，第二項為零狀態(tài)解。65 Z變換和拉氏變換的關(guān)系取樣信號的表示66 67 68 Z變換與拉氏變換的映射關(guān)系69根據(jù)式（2.137）當(dāng) 時，有 ，即s平面中的 軸映射成z平面中的單位圓；當(dāng) 時，有 ，即s平面的左半平面映射成z平面的單位圓內(nèi)部；當(dāng) 時，有 ，即s平面的右半平面映射成z平面的單位圓外部。70 Z變換與拉氏變換的映射關(guān)系j71 Z變換與拉氏變換的映射關(guān)系j Z變換與拉氏變換的映射關(guān)系=0js/2j1= 1=1T=

18、0j73 Z變換與拉氏變換的映射關(guān)系ja74 Z變換與拉氏變換的映射關(guān)系js/2-s/2a75 根據(jù)式(2138)，當(dāng) 時，有 ，當(dāng) 有 當(dāng) 時；有 。因此，當(dāng) 從 增加到 時， 則由 增加到 ，即輻角旋轉(zhuǎn)一周，或?qū)⒄麄€z平面映射一次。這樣，當(dāng) 再增加 （一個取樣頻率)時，則 相應(yīng)地又增加 ，即輻角再次旋轉(zhuǎn)一周，或?qū)⒄麄€z平面又映射一次。因此，s平面上寬度為 的水平帶映射成整個z平面，左半帶映射成單位圓內(nèi)部，右半帶映射成單位圓外部，長度為 的虛軸映射成單位圓周。由于s平面可被分成無限條寬度為 的水平帶，所以s平面可被映射成無限多個z平面。由于這些z平面重疊在一起，因此這種映射不是簡單的代數(shù)映射

19、。76圖2.53 s平面到z平面的映射關(guān)系(a) s平面 (b)z平面(a)(b)772.7 系統(tǒng)函數(shù) 2.7.1 傳輸函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù) 設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，輸出端對輸入為單位脈沖序列(n)的響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)，對h(n)進(jìn)行傅里葉變換得到H(e j) 一般稱H(e j)為系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，它表征系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性。 78 設(shè)h(n)進(jìn)行Z變換，得到H(z)，一般稱H(z)為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它表征了系統(tǒng)的復(fù)頻域特性。對N階差分方程進(jìn)行Z變換，得到系統(tǒng)函數(shù)的一般表示式 如果H(z)的收斂域包含單位圓|z|=1，H(e j)與H(z)之間關(guān)系如下式：79 式（2.142）是 的有理函

20、數(shù)，分子和分母的系數(shù)分別是差分方程（2.141）等號右邊和左邊的系數(shù)。對式（2.142）進(jìn)行因式分解得：式中， 和 分別表示 在z平面上的極點和零點。這樣系統(tǒng)函數(shù)可以用z平面上的極點，零點和常數(shù)A來確定。80 2.7.2用系統(tǒng)函數(shù)的極點分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性 因果(可實現(xiàn))系統(tǒng)其單位樣值響應(yīng)h(n)一定滿足當(dāng)n0時，h(n)=0，那么其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域一定包含點，即點不是極點，極點分布在某個圓的圓內(nèi)，收斂域在某個圓外。 系統(tǒng)穩(wěn)定時要求 ，對照Z變換定義，系統(tǒng)穩(wěn)定要求收斂域包含單位圓。 如果系統(tǒng)因果且穩(wěn)定，收斂域包含點和單位圓，那么收斂域可表示為 r|z|， 0r1 81 H(z)

21、h(n)H(ej)差分方程系統(tǒng)特征：要求掌握其內(nèi)在關(guān)系并互相轉(zhuǎn)換2.7.系統(tǒng)的特征82 例2.6.1已知 分析其因果性和穩(wěn)定性. 解：H(z)的極點為z=a，z=a-1 (1)收斂域a-1|z|，對應(yīng)的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，但由于收斂域不包含單位圓，因此是不穩(wěn)定系統(tǒng)。單位脈沖響應(yīng)h(n)=(an-a-n)u(n)，這是一個因果序列，但不收斂。 (2)收斂域0|z|a,對應(yīng)的系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=(a-n-an)u(-n-1)，這是一個非因果且不收斂的序列。83 (3)收斂域a|z|a-1，對應(yīng)的系統(tǒng)是一個非因果系統(tǒng)，但由于收斂域包含單位圓，因此是穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h

22、(n) =a|n|，這是一個收斂的雙邊序列，如圖2.6.1(a)所示。8485 例2 試畫出零極點圖，并確定 的收斂域和因果穩(wěn)定性解 對 的分母進(jìn)行因式分解得極點為 零點為 如圖2.54所示。 86（1）若收斂域是極點 所在的圓的外部區(qū)域，且 那么系統(tǒng)是因果的，系統(tǒng)函數(shù)的收斂域為 因為該收斂域包含了單位圓，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。87（2）若收斂域選的是極點 所在的圓的內(nèi)部區(qū)域，且 ， 那么系統(tǒng)是逆因果的 ，系統(tǒng)函數(shù)的收斂域為 ，因為收斂域沒有包含單位圓，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 88（3）若收斂域是極點 與 所在的兩個圓之間的環(huán)域，即 則因為單位圓沒有包含在收斂域中，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。89例2.27

23、 設(shè)一因果IIR系統(tǒng)如圖2.50所示。試確定描述系統(tǒng)的差分方程、極-零點分布圖和頻率響應(yīng)。 解 系統(tǒng)的差分方程和系統(tǒng)函數(shù) 分別表示為和或極點為 ，零點為 如圖2.51所示90圖2.51 例2.22系統(tǒng)極-零點分布圖2.50 例2.22的系統(tǒng)框圖91因為系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，所以系統(tǒng)函數(shù)的收斂域為收斂域包含單位圓，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。將 代入系統(tǒng)函數(shù)得系統(tǒng)頻率響應(yīng) （2.147） （2.148）92從圖2.51和式（2.147）看出，因為在z=1處有零點，所以 ； 由于在 處有極點，因而 在 附近升至峰值。該系統(tǒng)是帶通濾波器，它的幅度和相位響應(yīng)分別示于圖2.52(a)和(b)中圖2.52 例2.22的頻率

24、響應(yīng)幅度響應(yīng) 相位響應(yīng)93習(xí)題：P.90 2.20(1),(5) 2.21(1)P.90 2.23(4), 2.27, 2.31, 2.3394表2.2 LTI離散系統(tǒng)描述方法及系統(tǒng)響應(yīng)的求解描述方法一般表示系統(tǒng)的響應(yīng)時 域單位脈沖響應(yīng)差分方程復(fù)頻域系統(tǒng)函數(shù)實頻域頻率響應(yīng)95 ,零狀態(tài) 圖2.1 四種描述系統(tǒng)方法之間的關(guān)系定義及差分方程 定義及 及 定義ZT及H(Z)定義96可以看出， 在 處有一個零點，在 處有一個極點，如圖2.35所示。圖中“O”表示零點，用“ ”表示極點，陰影區(qū)域表示收斂域。圖2.35 例2.11 Z變換的收斂域97如圖2.46所示。在一般的情況下，收斂域的范圍變小。但是

25、，在組合Z變換可能出現(xiàn)新的零點抵消原來的某些極點的情況時，收斂域可能增大。例如， 和 的Z變換收斂域都是 ，但是它們之差組成新的序列 的Z變換收斂域是整個Z平面。9899設(shè)序列 的Z變換為 ，即將上式等號兩端同乘以 ，然后在其收斂域內(nèi)進(jìn)行圍線積分，得式中，積分路徑 為在 的收斂域內(nèi)、包圍坐標(biāo)原點、逆時針方向的任意閉合路徑，如圖1.4.5所示。根據(jù)復(fù)變函數(shù)中的柯西定理：(1.4.16)(1.4.17)100式中，積分路徑C也為包圍坐標(biāo)原點、逆時針方向的閉合路徑，我們發(fā)現(xiàn)，式（1.4.16）的右端只存在 一項，其余均為零。于是式（1.4.16）變?yōu)榧磳⑹街械膍用n代換， 得 （1.4.18）該式即

26、為逆Z變換的表達(dá)式。1015.1 拉普拉斯變換一、從傅氏變換到拉氏變換存在某些信號不便使用傅氏變換。 幅度不衰減，甚至增長。 指數(shù)增長信號若乘一衰減因子 （選適當(dāng)?shù)膶嵆?shù) ） 從而可求傅氏變換。102雙邊拉普拉斯變換：FT: 實頻率 是振蕩頻率LT: 復(fù)頻率S 是振蕩頻率， 控制衰減速度1035.4 復(fù)頻域分析一、微分方程的變換解n階的微分方程的一般形式： 為實數(shù)，初始狀態(tài)為變換到復(fù)頻域104由上式可解得式中， 是方程 （5.41）的特征多式； ，多項式 和 的系數(shù)僅與微分方程的系數(shù) 、 有關(guān)； ，它也是 的多項式，其系數(shù)與 和響應(yīng)的各初始狀態(tài) 有關(guān)而與激勵無關(guān)。由式（5.45）可以看出，其第一項僅與初始狀態(tài)有關(guān)而與輸入無關(guān)，因而是零輸入響應(yīng) 的象函數(shù)，記為 ；其第二項僅與激勵有關(guān)而與初始狀態(tài)無關(guān)，因而是零狀態(tài)響應(yīng) 的象函數(shù)，記為 。于是式 （5.45）可寫為式中， 。取上式逆變換，得系統(tǒng)的全響應(yīng)（5.45）（5.46）105二、系統(tǒng)函數(shù)如前所述，描述 階LTI系統(tǒng)的微分方程一般可寫為設(shè) 是 時接入的，則其零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)