等邊對(duì)等角證法探究

1、等邊對(duì)等角證法探究“等邊對(duì)等角”的證明方法共有六種，即歐幾里得的方法、帕普斯的方法、勒讓德的方 法、萊斯利的方法、作高法和實(shí)驗(yàn)操作法,而關(guān)于等腰三角形判定定理一一“等角對(duì)等邊”的 證明方法共有七種，即歐幾里得的反證法、想象有兩個(gè)三角形、大邊對(duì)大角、作頂角角平分 線、作底邊的高、做底角的角平分線和實(shí)驗(yàn)操作法.早期教科書中的等腰三角形知識(shí)，為今日 教學(xué)提供了豐富素材。在平面幾何中，三角形的“等邊對(duì)等角” “等角對(duì)等邊”是對(duì)三角形邊角關(guān)系的定性刻 畫，是三角學(xué)中邊角定量關(guān)系的基礎(chǔ).在西方數(shù)學(xué)史上，幾何原本卷一命題5 （等腰三角 形底角相等）是一個(gè)著名的幾何定理，被稱為“驢橋定理”，既因?yàn)闅W幾里得在證

2、明該定理 時(shí)所用的圖形像一座簡(jiǎn)單的桁架橋，也因?yàn)樗钃趿嗽S多中世紀(jì)的學(xué)習(xí)者進(jìn)一步學(xué)習(xí)幾何 原本后續(xù)命題的腳步。關(guān)于等腰三角形的性質(zhì)和判定，我國(guó)現(xiàn)行五種初中數(shù)學(xué)教材（人教版、北師大版、滬教 版、浙教版及蘇教版）的內(nèi)容安排大同小異.在引入上，五種教材均設(shè)計(jì)了折紙活動(dòng);在“等 邊對(duì)等角”的證明上，人教版和北師大版教材通過作底邊的中線，利用SSS定理加以論證， 而滬教版和浙教版教材通過作頂角的平分線，利用SAS進(jìn)行說理，而蘇教版教材除折紙驗(yàn)證 外，并未給出具體的說理過程.關(guān)于“三線合一”性質(zhì)，浙教版教材設(shè)計(jì)了以“幾何畫板”為 工具的探究活動(dòng)，而另四種教材均通過“等邊對(duì)等角”加以說理.關(guān)于“等角對(duì)等邊“

3、，北師 大版教材僅僅作輔助線的提示而未給出完整的證明，其余四版教材均通過作頂角平分線，運(yùn) 用AAS定理進(jìn)行說理,已有的教學(xué)設(shè)計(jì)大多從教材出發(fā)，通過剪紙、折疊引入新課。一、”等邊對(duì)等角”的證明考察發(fā)現(xiàn)，在103種教科書中，有2種只提示學(xué)生作輔助線，通過三角形全等進(jìn)行證明， 但未給出完整的證明過程；101種教科書給出了完整的證明，證明方法大致可分為6類：歐兒 里得的方法、帕普斯的方法、勒讓德的方法、萊斯利的方法、作高法、實(shí)驗(yàn)操作法。1、歐幾里得的方法歐幾里得的偉大貢獻(xiàn)在于公理化體系的建立，其幾何原本從給定的少數(shù)公理、公設(shè) 及定義出發(fā)，用邏輯推論方法推導(dǎo)了四百多個(gè)命題2.“等邊對(duì)等角”作為幾何原本第

4、 一卷命題5,其證明過程嚴(yán)格遵循公理化體系，只用到了命題5之前的公設(shè)、公理及命題.有 10種教科書沿用了歐幾里得的證明.在等腰4ABC中，CA=CB.在兩腰CA和CB的延長(zhǎng)線上取兩 點(diǎn)D, E,使得AD=BE,并連接AE和BD,那么CD=CE,由SAS定理，可證ACAE會(huì)ZXCBD,故有N CAE二NCBD;再由SAS定理，可證BAE0ZABD,故有NEAB=NDBA.根據(jù)“等量減等量，差相 等”，得NCAB=NCBA。2、帕普斯的方法11種教科書采用了古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯（Pappus,公元3世紀(jì)末）的方法：將等腰三角 形ACAB和ACBA看作兩個(gè)三角形，然后用SAS證明ACAB/4CBA.也

5、許有人會(huì)認(rèn)為，把一個(gè) 三角形看作兩個(gè)三角形，對(duì)學(xué)生來說較為抽象，于是把另一個(gè)三角形“外化”出來了.等 腰ABC, CA=CB,想象AABC被拿起、翻轉(zhuǎn)后放下，記作AA，B，Cf （A，, B , C分別對(duì) 應(yīng) A, B, C）.那么，AC=A，Cf =BOB Cf ,那么在AABC 和AA，C 中，AC=BZ C , BC=AZC，且NONC7 .根據(jù) SAS 定理有AABC&B A C，那么NA=NB，又因?yàn)镹B=NB， 等量代換得NA二NB。3、勒讓德的方法法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德(A. M. Legendre, 17521833)通過作底邊中線的方法來構(gòu)造全等 三角形，從而得到“等邊對(duì)等角”.有

6、4種教科書采用他的方法，在等腰AABC中，CA=CB.過 點(diǎn)C作底邊AB的中線CD.由SSS定理可證CAD0ZXCBD,那么NA=NB。4、萊斯利的方法蘇格蘭數(shù)學(xué)家萊斯利(J. Leslie, 1766-1832)的方法有69種教科書采用.在等腰4 ABC中，CA=CB.過頂點(diǎn)C作NBCA的角平分線，交AB于點(diǎn)D,根據(jù)定理SAS可證ACD02XBCD, 故得NA=NB。5、作高法4種教科書采用作高法.給定CA和CB為等腰4ABC中相等的兩邊，作CDAB交AB于點(diǎn) D,如圖 5.在 RtZXCAD 和 RtZSCBD 中，CA=CB, CD=CD,根據(jù) HL 定理，可證ACAD也CBD,所 以

7、NA = NB。6、實(shí)驗(yàn)操作法有5種教科書采用了實(shí)驗(yàn)操作(折疊).通過尺規(guī)作圖構(gòu)造一個(gè)等腰4CAB,小心地將三 角形從紙上剪下.沿底邊AB的中線將三角形折疊，并比擬NCAB和NCBA的大小。接著再構(gòu)造 不同尺寸的等腰三角形，同樣比擬兩個(gè)底角的大小.我們觀察到，等腰三角形的底角是相等的。二、結(jié)論與啟示“等邊對(duì)等角”在兩千多年的歷史長(zhǎng)河中，涌現(xiàn)了許多優(yōu)秀的證明方法.這些證明方法相 繼出現(xiàn)于本文所考察的103種早期幾何教科書中.遺憾的是，我們?cè)诮裉斓慕炭茣袇s幾乎看 不見它們的蹤影.美英早期幾何教科書中的證法各有特色，關(guān)于“等邊對(duì)等角”的證明，“萊 斯利的方法”在各教科書中占絕對(duì)優(yōu)勢(shì).而關(guān)于“等角對(duì)

8、等邊”的證明，“歐幾里得的反證法” 在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)期內(nèi)都是主流方法，但到了 19世紀(jì)80年代以后，“作底邊上的高”后來居上， 而歐氏方法逐漸退出了歷史舞臺(tái).“等邊對(duì)等角”教學(xué)提供了一定的啟示。1、營(yíng)造探究之樂.本節(jié)內(nèi)容可采用探究式學(xué)習(xí)的模式，設(shè)計(jì)不同大小等腰三角形的折紙 活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生歸納出等腰三角形的性質(zhì).通過體驗(yàn)性極強(qiáng)的折紙活動(dòng)，學(xué)生能提高學(xué)習(xí)興趣, 讓數(shù)學(xué)課堂活起來.接下來，教師那么可以利用幾何畫板等現(xiàn)代工具對(duì)學(xué)生的猜測(cè)加以檢驗(yàn).在 定理的證明上，先由學(xué)生自主探究其證明方法，再由教師進(jìn)行講授，使學(xué)生充分參與到課堂 中來。2、彰顯方法之美.無論是“等邊對(duì)等角”還是“等角對(duì)等邊“，早期教科書都

9、呈現(xiàn)了豐 富的證明方法,這些來自不同時(shí)空的靈活、多樣的方法，能夠拓寬學(xué)生的視野.教科書上呈現(xiàn) 的一兩種推導(dǎo)方法是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，教師應(yīng)該對(duì)歷史上的多種證明方法進(jìn)行介紹.而且，數(shù)學(xué)知 識(shí)畢業(yè)后不用就很快遺忘了，但排除法、反證法等思想對(duì)學(xué)生來說卻是受益終身的.因此，教 學(xué)不能僅局限于證明過程本身，更重要的是讓學(xué)生掌握證明背后蘊(yùn)含的思想方法.3、實(shí)現(xiàn)能力之助.“等邊對(duì)等角”與“等角對(duì)等邊”互為逆命題，要判斷這兩個(gè)命題的 真假必須分別對(duì)其進(jìn)行嚴(yán)格的證明，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力有著極大的幫助.同時(shí), 課堂上安排折紙的實(shí)驗(yàn)操作，也有利于學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的開展。4、達(dá)成德育之效.一方面，教學(xué)過程中可以講述“驢橋”的故事，告訴同學(xué)們中世紀(jì)時(shí) 期人們學(xué)習(xí)幾何也同樣會(huì)遇到挫折，讓學(xué)生們得到撫慰，使數(shù)學(xué)變得不那么可怕.另一方面, 通過