如何讓機器人在端送東西時保持平穩(wěn)

1、咖啡杯傾斜角度標定與機器人節(jié)奏控制摘要機器人在端送咖啡時，由于受環(huán)境因素以及端送節(jié)奏的影響會致使咖啡杯產(chǎn)生隨機震動，導(dǎo)致咖啡杯內(nèi)的咖啡灑落，此時機器人必須重新調(diào)整端送姿勢與節(jié)奏杜絕咖啡的外灑。本文針對如何讓機器人在端送咖啡的整個過程中以平穩(wěn)的節(jié)奏行走以及在咖啡杯發(fā)生震動的情況下如何及時調(diào)整機器人兩個問題建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。首先我們從機器人的四個輪子入手，釆用四腳板凳模型1,根據(jù)函數(shù)g(0)f(0)是0的非負連續(xù)函數(shù)，OWOW2ir且滿：f(0)O,g(0)=0:對任意0e0.2n,f(0)g(0)=O；fg)=g(O),g(n/2)=f(0)o則必定存在一點a,0af(0)是0的非負連續(xù)函數(shù)，

2、OWOW27T;由假設(shè)(3),對任意0e0.2tt,f(0)g(0)=O,不妨設(shè)，f(0)O,g(0)=O當機器人轉(zhuǎn)動it/2時，則AC與BD互換位置，由假設(shè)(1),f(n/2)=g(0),g(n/2)=f(0)機器人四輪同時著地等價于存在一點a,f(0)0,g(0)=0,f(n/2)=g(0)=0,g(y)=f(0)0o令h(0)=f(0)-g(0),且在0.TT/2上連續(xù)且h(0)=f(O)-g(O)O,h(71/2)二f(ii/2)一g(n/2)0由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介質(zhì)定理可知，必定存在一點a,0a)=IH(iaj)I2Sx()(18-5-11)式中H(icu)稱為傳翅函數(shù)，to腿頻率

3、。由隨機振動理論可知H(i3)=:4(18-5-12)1-()+2疋型0/30由以上關(guān)系可知，當已知輸入輸出時，即可得到傳遞函數(shù)。在測試工作中通過測振傳感器測量地面自由場的脈動源x(t)和結(jié)構(gòu)反應(yīng)的脈動信號y(t)的記錄，將這符合平穩(wěn)隨機過程的樣本由專用信號處理機(頻譜分析儀)通過使用具有傳遞函數(shù)等的功率譜程序進行計算處理，得到結(jié)構(gòu)的動力特性一頻率、振幅、相位等，運算結(jié)果可以在處理機上直接顯示，也可用x-y記錄儀將結(jié)果繪制出來。圖13是利用專用計算機把時程曲線經(jīng)過富里哀變換，由數(shù)據(jù)處理結(jié)果得到的頻譜圖。從頻譜曲線上用峰值法很容易定出各階頻率，結(jié)構(gòu)固有頻率處必然出現(xiàn)突出的峰值，一般基頻處非常突出

4、，而在第二第三頻率處也有相應(yīng)明顯的峰值。圖13經(jīng)數(shù)據(jù)處理得到的頻譜陽.5主諧量法：從頻譜分析法人們可以利用功率譜得到建筑物的白振頻率。如果輸入功率譜是已知的話，除了可以得到基頻外，還可以得到高階頻率、振型和阻尼，但用上述方法研究建筑動力特性參數(shù)須要專門的頻譜分析設(shè)備及專用程序。在實踐中人們從記錄得到的脈動信號圖中有時可以明顯地發(fā)現(xiàn)它反映出結(jié)構(gòu)的某種頻率特性。由環(huán)境隨機振動法的基本原理可知，既然建筑物的基頻諧量是脈動信號中最主要的成分，那么在記錄里就應(yīng)有所反映。事實上在脈動記錄里有多次出現(xiàn)酷似“拍”的現(xiàn)象，波形光滑，振幅最大，周期相同，這一周期往往即是建筑物的基本周期。見圖14o0.001mm1

5、0LR5S0.001mm圖14脈動信號記錄圖(a)多層民用房屋的脈動記錄；(b)鋼筋混凝土單層廠房的脈動記錄在結(jié)構(gòu)脈動記錄中出現(xiàn)這種現(xiàn)象是不難理解的，因為地面脈動是一種隨機現(xiàn)象，它的頻率是多種多樣的。當這些信號輸入到具有濾波器作用的結(jié)構(gòu)時，由于結(jié)構(gòu)本身的動力特性，使得遠離結(jié)構(gòu)自振頻率的信號被抑制，而與結(jié)構(gòu)自振頻率接近的信號則被放大，而這些被放大的信號恰恰為我們揭示結(jié)構(gòu)動力特性提供了線索。很明顯在“拍”上的周期是脈動記錄里出現(xiàn)次數(shù)最多的一個周期，所以功率譜上在這一周期附近或就對應(yīng)于這一周期一定有峰值，而在頻譜曲線上這一周期一定對應(yīng)有最大的峰值。既然如此，就不再需要去求功率譜或頻譜曲線了，而可以直

6、接從記錄圖上量出建筑物的基本周期。在出現(xiàn)“拍”的瞬時，可以理解為在此刻建筑物的基頻諧量處于最大，其他諧量處于最小，因此表現(xiàn)有建筑物基本振型的性質(zhì)。利用脈動記錄讀出該時刻同一瞬間各點的振幅，即可以確定建筑物的基本振型。對于一般建筑物用環(huán)境隨機振動法確定基頻與主振型比較方便，但有時還能測出第二頻率及相應(yīng)振型，然而高階振動的脈動信號在記錄曲線中出現(xiàn)的機會很少，振幅也小，這樣測得的結(jié)構(gòu)動力特性誤差較大。另外這種主諧量法無法確定結(jié)構(gòu)的阻尼特性。5.2.3根據(jù)結(jié)構(gòu)動力特性試驗我們可以大致推算出杯子內(nèi)咖啡的固有頻率當咖啡杯受到振動時，咖啡杯重心發(fā)生偏轉(zhuǎn)出現(xiàn)圖15的情況叮2此時杯托出現(xiàn)圖16的情況圖16杯托在

7、傾斜時的集合模型則液面會出現(xiàn)圖17、圖18的震蕩情況圖17hr鈴酒秋應(yīng)HOghmm心ria需于洛腎聽亦淸佐的riP需命洛溢憾亦淸佐圖18運動模型和杯托模型均設(shè)計為雙平面模型。運動模型如圖一所示，我們將輪子固定在平面it2,且使輪子的運動不要影響到下面的平面1T1,杯托模型如圖二所示，我們假設(shè)機器人將杯子拿起后杯子與平面it2是一體的，而且平面7T2的活動不影響平面1T1,即固定平面IT1和平面IT1,始終保持平面1T1和平面7T1平行。當運動部分發(fā)生振動的時候，需要其向杯托部分傳遞兩個參數(shù)，第一是垂直于平面TT1中點的線段和垂直于平面ir2中點的線段之間的夾角a,第二是垂直于平面ir2中點的線

8、段頂點N在地面的平面1T1坐標系中的坐標(xl,yl)假設(shè)ON的長度為LI,ON的距離為L2,現(xiàn)通過一定手段將ON做出調(diào)整，使得N在平ffiirT中的射影的坐標為(x2,y2),(x1,yl),(x2,y2)滿足：(-xl)/x2=Ll/L2(-yl)/y2=Ll/L2下面我會利用最簡單的相似三角形原理去證明，只要杯托調(diào)整到了N在平面1T1中的射影的坐標為(x2,y2),那么0N與中軸線(平面1T1和平面ir1平行)也為a。圖17我們假設(shè)兩個坐標系的前進方向均為X軸方向，且平面IT1和平面IT1平行，顧兩個坐標系是平行的，乂因為取(P1)/x2二L1/L2,(-yl)/y2二L1/L2,所以可

9、以先找(xl,yl)關(guān)于原點的對稱點(-xl,-yl),然后將兩個坐標系置于同一個平面內(nèi)，可得圖三。所以只要(-xl)/x2=Ll/L2,(-yl)/y2=Ll/L2,AOMN和()MN就相似，所以那么0N與中軸線(平面7T1和平面TT1平行)也為a5.3機器人在端送咖啡時，由于震動，導(dǎo)致咖啡杯內(nèi)的咖啡灑落我們從機器人的四個輪子入手，采用四腳板凳模型，根據(jù)函數(shù)g(0)f(0)是0的非負連續(xù)函數(shù)，0WGW21T且滿足：f(0)O,g(0)=O；對任意GW0.2ir,f(0)g(0)=O=g(0),g(7T/2)=f(0)則必定存在一點a,0a7T/2使h(a)=0即f(a)=g(a)=0.研究如

10、何讓四輪機器人在高度連續(xù)變化的地面始終保持四輪著地的穩(wěn)定狀態(tài)行走。其次從簡單的圓柱狀杯子和杯托入手，研究機器人在變速運動以及傳送過程產(chǎn)生的隨機振動對咖啡杯內(nèi)咖啡液面的影響。在無變位、縱向變位的情況下分別建立空間直角坐標系，在忽略咖啡杯厚度等細微影響下，運用積分的方法求出盛放咖啡的量和測量咖啡最高液面高度的關(guān)系，將計算結(jié)果與實際測量數(shù)據(jù)在同一個坐標系中作圖，計算并分析所產(chǎn)生的誤差。縱向變位中，分變速、勻速兩種情況進行求解，然后將兩段結(jié)果綜合在一起與變位前作比較，可以得到變位對咖啡液面的影響。通過計算以及兒何關(guān)系，具體列表給出了機器人變位后杯口高于液面最小值為0注：為了能用數(shù)學(xué)語言描述，我們對機器

11、人與地面接觸的四個輪子和地面作一些必要的假設(shè)。機器人的四只腳一樣長，末端為萬向滑輪，輪子與地面的接觸部分視為點，即圖中的A,B,C,Do四只腳的連線為正方形。0點為正方形的對角線的交點。地面高度是隨機變化的，但是變化視為連續(xù)的，由于場景設(shè)置在辦公室，所以我們假設(shè)隨機振動的振幅不會超過0.5mm,且振幅越大概率越低。利用如下程序給出振幅a：(C+)#includettincludemain()Inta:srand(time(NULL);a=srand()%10*0.5a的單位為毫米(mm),承認a=0情況的存在，四個點的振幅無關(guān)聯(lián)且均為隨機的。假設(shè)地面比較平坦，四只腳中的三只總是可以同時著地。因

12、為問題討論設(shè)置在辦公室中，所以在上述三個假設(shè)下討論問題顯然是合理的。圖18圖19因為調(diào)整杯子需要一定的時間，用時越短，杯子里的咖啡酒越安全。杯子里的咖啡頁面高度與杯子高度的差也是一個重要的參數(shù),因為如果杯子里的咖啡高度很低的話，即H0很大的話，我們調(diào)整杯子的時間就更加充裕。限于現(xiàn)在所學(xué)知識的局限性和片面性，我們難以去探尋二者的關(guān)系，但是我們可以用邏輯推理去證明二者絕對有關(guān)系。因為無法去研究這種關(guān)系，所以我們釆用分部去考慮的辦法，即先考慮H0的關(guān)系，再去考慮調(diào)整時間的關(guān)系，然后綜合討論。圖203.1H0：顯而易見的是，杯子里的咖啡越少，就越難灑出來，即咖啡越少，讓其灑出來就需要傾斜更大的角度，我

13、們以圓柱形杯子為例，設(shè)杯子地面直徑為R,杯子高度為H,液面差為H0。作如圖的處理，可以認為，只有當杯子傾斜超過P時候，才會造成咖啡灑出來（無振動時）。P二arctanHO/R圖213.2振動方式：不同的振動方式對于咖啡是否會灑出來的風險影響是不一樣的,我們可以對于不同的振動方式采取加權(quán)的方式來評估，權(quán)值即為風險指數(shù)，我們認為當風險很大的時候咖啡一定會灑出來，比如上下振動，左右振動，振幅的不同，頻率的不同都會對應(yīng)不同的權(quán)值，當風險很小的時候，我們可以認為無論如何咖啡都是不會灑出來的，對于振動方式的分類限于目前的知識很難達到，但是我相信通過努力一定是可實現(xiàn)的。圖225.3.3討論對象：由上圖易知，

14、相比于水面之下的咖啡液滴（體積微元），水面上的咖啡液滴更加安全，因為粘著力只是把它向下“固定”，并沒有把它排斥出去，所以我們可以認為，如果水面上的液滴沒有灑出去的危險，那么水面之下的液滴也是非常安全的。那么我們就可以把研究對象僅限于水面上的液滴，這樣可以大規(guī)模減少計算和分析，為我們解決問題提供更大的可能。5.3.4討論方法：我們可以假設(shè)水滴懸浮在液面上，只受重力，由上圖可知假設(shè)合理，我們可以將這樣的水滴類比為吸附在豎直玻璃上的水滴，水平方向不受力，之所以水珠在豎直的玻璃板呈珠狀，是由于其表面張力所致，而水珠在玻璃板上不掉落是由于水與玻璃是不完全浸潤的（浸潤的概念在中學(xué)物力課本上有），因此水珠可

15、以在玻璃板上吸附并克服其本身所受重力，進而保持靜止。分析一個物體在某個方向是否受力，最簡單的辦法就是看其在這個方向是否有運動的趨勢（加速度）。顯然豎直玻璃板上的水珠在水平方向沒有運動趨勢，因此，自然也就不受力了。這個模型就像是吸附在鐵板上的小磁鐵，可知液滴本身就有一種安全的“欲望”一即不灑出去的趨勢，所以如果我們可以利用這種趨勢，將會更好的避免水滴灑出去。圖235.3.5對于系統(tǒng)加速和減速狀態(tài)下的兒點看法：雜技演員表演的“水流星”。一根細長繩的一端，系著一個盛了水的容器。以繩的另一端為圓心，使容器在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運動。N為圓周的最高點，M為圓周的最低點。若速度達到一定要求的話，那么

16、容器中的水是不會灑出來的，即使杯口朝下也是安全的?？梢娙绻麄€系統(tǒng)具有加速度，那么若將杯子的角度做出正確的調(diào)整，那么將可以利用加速度本身來使咖啡不至于灑出去，這雖然與所舉出的水流星的例子不完全相同，但是卻異曲同工。六、模型的評價與推廣6.1模型的評價1.1模型的優(yōu)點1）以機器人為系統(tǒng)，從保持系統(tǒng)穩(wěn)定性到杯內(nèi)咖啡的振動情況分析，條理清晰，分析嚴謹。2）借鑒經(jīng)典模型，確保解決方案的準確性、可行性；借鑒的同時，我們也加以創(chuàng)新重組，取其精華，做到與我們模型的完美結(jié)合。1.2模型的缺點1）我們假設(shè)機器人有四個輪子，因此只能在相對平緩的辦公區(qū)運行，缺少在遇到臺階等環(huán)境因素的考慮。2）由于是大一新生第一次參加數(shù)學(xué)建模，缺乏豐富的理論知識致使我們創(chuàng)新與亮點的缺少。6.2模型的推廣本模型雖解決的是如何讓咖啡杯內(nèi)的液體在運輸途中不外灑的問題，但可以推廣到各種罐狀容器在運送途中