2022-2023學(xué)年人教A版2019高中數(shù)學(xué) 必修1 4.3.2 對(duì)數(shù)的運(yùn)算 第1課時(shí) 對(duì)數(shù)的運(yùn)算

1、4.3.2對(duì)數(shù)的運(yùn)算第1課時(shí)對(duì)數(shù)的運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，理解其推導(dǎo)過(guò)程和成立的條件.2.能熟練運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值導(dǎo)語(yǔ)同學(xué)們，數(shù)學(xué)運(yùn)算的發(fā)展可謂是貫穿了整個(gè)人類進(jìn)化史，人類的祖先，從數(shù)手指開始，逐漸積累經(jīng)驗(yàn)，堆石子、數(shù)貝殼、樹枝、竹片，而后有刻痕計(jì)數(shù)、結(jié)繩計(jì)數(shù)等，后來(lái)創(chuàng)造文字、數(shù)字及計(jì)數(shù)用具，如算盤、計(jì)算器等從人們對(duì)天文、航天、航海感興趣開始，發(fā)現(xiàn)數(shù)太大了，再多的手指頭也算不過(guò)來(lái)了，怎么辦？比如天文學(xué)家開普勒利用他的對(duì)數(shù)表簡(jiǎn)化了行星軌道的復(fù)雜計(jì)算，對(duì)數(shù)被譽(yù)為“用縮短計(jì)算時(shí)間而使天文學(xué)家延長(zhǎng)壽命”，對(duì)整個(gè)科學(xué)的發(fā)展起了重要作用一、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)問(wèn)題1將指數(shù)式Ma

2、p，Naq化為對(duì)數(shù)式，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)MNapaqapq能否將其化為對(duì)數(shù)式？它們之間有何聯(lián)系(用一個(gè)等式表示)?提示由Map，Naq得plogaM，qlogaN.由MNapq得pqloga(MN)從而得出loga(MN)logaMlogaN(a0，且a1，M0，N0)問(wèn)題2結(jié)合問(wèn)題1，若eq f(M,N)eq f(ap,aq)apq，又能得到什么結(jié)論？提示將指數(shù)式eq f(M,N)apq化為對(duì)數(shù)式，得logaeq f(M,N)pqlogaMlogaN(a0，且a1，M0，N0)問(wèn)題3結(jié)合問(wèn)題1，若Mn(ap)nanp(nR)，又能有何結(jié)果？提示由Mnanp，得logaMnnpnlogaM(nR

3、)知識(shí)梳理如果a0，且a1，M0，N0，那么(1)loga(MN)logaMlogaN.(2)logaeq f(M,N)logaMlogaN.(3)logaMnnlogaM(nR)注意點(diǎn)：(1)性質(zhì)的逆運(yùn)算仍然成立(2)公式成立的條件是M0，N0，而不是MN0，比如式子log2(2)(3)有意義，而log2(2)與log2(3)都沒(méi)有意義(3)性質(zhì)(1)可以推廣為：loga(N1N2Nk)logaN1logaN2logaNk，其中Nk0，kN*.例1求下列各式的值(1)ln e2；(2)log3elog3eq f(3,e)；(3)lg 50lg 5.解(1)ln e22ln e2.(2)log

4、3elog3eq f(3,e)log3eq blc(rc)(avs4alco1(ef(3,e)log331.(3)lg 50lg 5lg eq f(50,5)lg 101.反思感悟?qū)?shù)的化簡(jiǎn)求值一般是正用或逆用公式，對(duì)真數(shù)進(jìn)行處理，選哪種策略化簡(jiǎn)，取決于問(wèn)題的實(shí)際情況，一般本著便于真數(shù)化簡(jiǎn)的原則進(jìn)行跟蹤訓(xùn)練1求下列各式的值：(1)log3(2792)；(2)lg 5lg 2；(3)ln 3ln eq f(1,3)；(4)log35log315.解(1)方法一log3(2792)log327log392log333log3343log334log33347.方法二log3(2792)log3(3

5、334)log3377log337.(2)lg 5lg 2lg(52)lg 101.(3)ln 3ln eq f(1,3)lneq blc(rc)(avs4alco1(3f(1,3)ln 10.(4)log35log315log3eq f(5,15)log3eq f(1,3)log3311.二、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用例2已知lg 2a，lg 3b，則lg eq f(12,5)_.答案b3a1解析lg eq f(12,5)lg 12lg 5lg(322)(1lg 2)lg 3lg 221lg 2lg 33lg 21b3a1.跟蹤訓(xùn)練2用lg x，lg y，lg z表示下列各式：(1)lg(xyz)；

6、(2)lg eq f(xy2,z)；(3)lg eq f(xy3,r(z)；(4)lg eq f(r(x),y2z).解(1)lg(xyz)lg xlg ylg z.(2)lg eq f(xy2,z)lg(xy2)lg zlg xlg y2lg zlg x2lg ylg z.(3)lg eq f(xy3,r(z)lg(xy3)lg eq r(z)lg xlg y3lg x3lg yeq f(1,2)lg z.(4)lg eq f(r(x),y2z)lg eq r(x)lg(y2z)(lg y2lg z)eq f(1,2)lg x2lg ylg z.三、利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)、求值例3計(jì)算下列各

7、式的值：(1)(lg 5)22lg 2(lg 2)2；(2)eq f(lg 3f(2,5)lg 9f(3,5)lgr(27)lgr(3),lg 81lg 27)；(3)log5352log5eq f(7,3)log57log51.8.解(1)原式(lg 5)2(2lg 2)lg 2(lg 5)2(1lg 5)lg 2(lg 5)2lg 2lg 5lg 2(lg 5lg 2)lg 5lg 2lg 5lg 21.(2)原式eq f(lg 3f(4,5)lg 3f(9,10)lg 3f(1,2)lg 3,4lg 33lg 3)eq f(blc(rc)(avs4alco1(1f(4,5)f(9,10)

8、f(1,2)lg 3,43lg 3)eq f(11,5).(3)原式log5(57)2(log57log53)log57log5eq f(9,5)log55log572log572log53log572log53log552log552.反思感悟利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值(1)“收”：將同底的兩個(gè)對(duì)數(shù)的和(差)合并為積(商)的對(duì)數(shù)，即公式的逆用；(2)“拆”：將積(商)的對(duì)數(shù)拆成同底的兩個(gè)對(duì)數(shù)的和(差)，即公式的正用；(3)“湊”：將同底數(shù)的對(duì)數(shù)湊成特殊值，如利用lg 2lg 51，進(jìn)行計(jì)算或化簡(jiǎn)跟蹤訓(xùn)練3計(jì)算下列各式的值：(1)eq f(1,2)lg eq f(32,49)eq f(4,3)l

9、g eq r(8)lg eq r(245)；(2)lg 25eq f(2,3)lg 8lg 5lg 20(lg 2)2.解(1)方法一原式eq f(1,2)(5lg 22lg 7)eq f(4,3)eq f(3,2)lg 2eq f(1,2)(2lg 7lg 5)eq f(5,2)lg 2lg 72lg 2lg 7eq f(1,2)lg 5eq f(1,2)lg 2eq f(1,2)lg 5eq f(1,2)(lg 2lg 5)eq f(1,2)lg 10eq f(1,2).方法二原式lg eq f(4r(2),7)lg 4lg 7eq r(5)lg eq f(4r(2)7r(5),74)lg

10、(eq r(2)eq r(5)lg eq r(10)eq f(1,2).(2)原式2lg 52lg 2lg 5(2lg 2lg 5)(lg 2)22lg 10(lg 5lg 2)22(lg 10)2213.1知識(shí)清單：(1)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(2)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用(3)利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)、求值2方法歸納：轉(zhuǎn)化法3常見誤區(qū)：要注意對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的結(jié)構(gòu)形式，易混淆，且不可自創(chuàng)運(yùn)算法則1若a0，且a1，x0，nN*，則下列各式：(logax)nnlogax；(logax)nlogaxn；logaxlogaeq f(1,x)；eq r(n,logax)eq f(1,n)logax；eq f(loga

11、x,n)logaeq r(n,x).其中正確的有()A2個(gè) B3個(gè) C4個(gè) D5個(gè)答案A解析根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)logaMnnlogaM(M0，a0，且a1)知與正確22log510log50.25等于()A0 B1 C2 D4答案C解析原式log5100log50.25log5252.3已知lg 3a，lg 7b，則lg eq f(3,49)的值為()Aab2 Ba2bC.eq f(b2,a) D.eq f(a,b2)答案B解析lg 3a，lg 7b，lg eq f(3,49)lg 3lg 49lg 32lg 7a2b.4.eq f(2lg 4lg 9,1f(1,2)lg 0.36f(1,3)

12、lg 8)_.答案2解析原式eq f(2lg 12,1lg 0.6lg 2)eq f(2lg 12,lg 12)2.1log242log243log244等于()A1 B2C24 D.eq f(1,2)答案A解析原式log24(234)log24241.2已知3a2，那么log382log36用a表示是()Aa2 B5a2C3a(1a)2 D3aa2答案A解析因?yàn)?a2，所以alog32，所以log382log36log3232(log321)log322a2.3計(jì)算lg 2lg eq f(1,5)eln 2等于()A1 B.eq f(1,2) C3 D5答案A解析原式lgeq blc(rc)

13、(avs4alco1(2f(1,5)21.4下列計(jì)算正確的是()A(a3)2a9 Blog26log231C Dlog3(4)22log3(4)答案B解析由題意，根據(jù)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，可得(a3)2a6，a01，所以A，C不正確；由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得log26log23log2eq f(6,3)log221，所以B正確；根據(jù)對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)，可得log3(4)22log3(4)，而log3(4)無(wú)意義，所以D不正確5若lg a，lg b是方程2x24x10的兩個(gè)實(shí)根，則ab的值等于()A2 B.eq f(1,2) C100 D.eq r(10)答案C解析lg a，lg b是方程2x24x10的兩個(gè)

14、實(shí)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得lg alg b2，lg(ab)2，ab100.6(多選)已知f(x)log5x，則對(duì)任意的a，b(0，)，下列關(guān)系成立的是()Af(ab)f(a)f(b)Bf(ab)f(a)f(b) Cfeq blc(rc)(avs4alco1(f(a,b)f(a)f(b)Dfeq blc(rc)(avs4alco1(f(a,b)f(a)f(b)答案AD解析f(x)log5x，a，b(0，)，f(ab)log5(ab)log5alog5bf(a)f(b)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(a,b)log5eq f(a,b)log5alog5bf(a)f(b)7lg eq

15、 r(5)lg eq r(20)的值是_答案1解析原式lg eq r(100)lg 101.8設(shè)alog342，則4a_.答案eq f(1,9)解析因?yàn)閍log342，則log34a2，則4a329，則4aeq f(1,4a)eq f(1,9).9已知lg 2m，lg 3n，試用m，n表示eq f(lg 12,lg 15).解lg 2m，lg 3n，eq f(lg 12,lg 15)eq f(2lg 2lg 3,lg 3lg 5)eq f(2mn,n1lg 2)eq f(2mn,n1m).10計(jì)算下列各式的值：(1)log3eq f(r(4,27),3)lg 25lg 4；(2)2log32l

16、og3eq f(32,9)log38.解(1)原式lg(254)2lg 1022eq f(1,4)22eq f(15,4).(2)原式2log32(log325log39)3log322log325log322log333log329297.11如果方程(lg x)2(lg 7lg 5)lg xlg 7lg 50的兩根為，則的值是()A.eq f(1,35) Blg 35Clg 7lg 5 D35答案A解析由題意知，lg ，lg 是一元二次方程x2(lg 7lg 5)xlg 7lg 50的兩根，依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得lg lg (lg 7lg 5)，lg()lg(75)1，eq f(1,35).

17、12已知xlog321，則2x2x的值是()A1 B3 C.eq f(8,3) D.eq f(10,3)答案D解析由xlog321，可知log32x1，即2x3，故2x2x3eq f(1,3)eq f(10,3).13已知logax2，logbx1，logcx4(a，b，c，x0且a，b，c，x1)，則logx(abc)等于()A.eq f(4,7) B.eq f(2,7) C.eq f(7,2) D.eq f(7,4)答案D解析xa2bc4，所以(abc)4x7，所以，即logx(abc)eq f(7,4).14若x滿足(log2x)2log2x230，則x_.答案8或eq f(1,2)解析由題意，方程可化為(log2x)22log2x30.令tlog2x，則t22t30，解得t3或t1，即log2x3或log2x1，所以x238或x21eq f(1,2).15已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽且滿足f(x)f(x)，f(x)f(4x)，若f(1)6，則f(log2128)f(log216)等于()A6 B0 C6 D12答案C解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽且滿足f(x)f(x)，所以f(0)0，f(1)f(1)