差分形式的阻滯增長(zhǎng)模型

1、差分方程模型-差分形式的阻滯增長(zhǎng)模型1前面我們介紹了人口數(shù)量增長(zhǎng)的阻滯型模型:它還可以用來(lái)近似描述其他受環(huán)境約束的事物的增長(zhǎng)規(guī)律,如:種群數(shù)量的增長(zhǎng),傳染病的傳播,耐用消費(fèi)品在有限市場(chǎng)上的銷售等.此模型的意義是:在t時(shí)刻單位時(shí)間內(nèi)的人口數(shù)量的變化量?jī)H僅與此時(shí)的人口數(shù)量x有關(guān)(等于右邊的值),其中的r表示人口的固有增長(zhǎng)率,N表示能容納的最大人口數(shù).2有時(shí)我們將時(shí)間離散化來(lái)研究可能方便些.例如:有些生物(比如魚)每年在固定的時(shí)間繁殖,我們用繁殖周期作為時(shí)段來(lái)研究其增長(zhǎng)規(guī)律比我們簡(jiǎn)單地以連續(xù)時(shí)間處理應(yīng)該更好些.我們類似認(rèn)為:經(jīng)過(guò) 單位時(shí)間，即一個(gè)繁殖周期的種群數(shù)量的增長(zhǎng)量?jī)H僅與前一個(gè)時(shí)期的種群數(shù)量有

2、關(guān),且有類似于上面的表達(dá)式.于是模型為3即這是一個(gè)一階非線性差分方程.對(duì)于給定的初值,我們可以從這個(gè)遞推公式運(yùn)用計(jì)算機(jī)很容易地計(jì)算出一些xk.這是在計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以后的一個(gè)新的特點(diǎn).但是我們更關(guān)心的是當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí),即k趨于無(wú)窮時(shí), xk的極限如何.4數(shù)值計(jì)算bk0123456781.20.2.192.186.182.179.176.174.172.1711.80.2.288.369.419.438.443.444.4444.44442.40.3.504.600.576.586.582.584.5831.58342.80.2.448.692.597.6737.6155.6626.6260.655

3、53.20.3.672.705.6655.7123.6558.7223.6418.7357bk910111213141516171.2.170.169.1685.168.1677.1675.1673.1672.16711.8.4444.4444.4444.4444.4444.4444.4444.4444.44442.4.5833.58335.58333.58333.58333.58333.58333.58333.583332.8.6323.6510.6362.6481.6386.6462.6402.6450.64113.2.6222.7522.5965.7702.5664.7859.5384.

4、7953.5210歸納看到的現(xiàn)象5平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性我們很容易求得差分方程(2)的平衡點(diǎn)為0和(b-1)/b.它們分別對(duì)應(yīng)于差分方程(1)的平衡點(diǎn)0和N.我們將這個(gè)差分方程(2)在平衡點(diǎn)附近展開(kāi),有注意到b=1+r1,平衡點(diǎn)0是不穩(wěn)定的.略去高階項(xiàng)得6因此當(dāng)|2-b|1即 b3時(shí),平衡點(diǎn)x*是不穩(wěn)定的.注:由于b=r+1,結(jié)論表明只有r2時(shí)y*=N才是差分方程(1)的平衡點(diǎn);這與微分方程不同,微分方程中y=N是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)(沒(méi)有條件).事情至此好像結(jié)束了.當(dāng)然,我們還可以進(jìn)一步判斷穩(wěn)定的平衡點(diǎn)是否為全局穩(wěn)定的.但是,數(shù)值計(jì)算表明,對(duì)于有些b值,平衡點(diǎn)不穩(wěn)定,但是xk好象在某幾個(gè)值附近循環(huán)擺動(dòng).我

5、們只需要用計(jì)算器多迭代計(jì)算幾次即可.7倍周期收斂當(dāng)b3時(shí),平衡點(diǎn)x*是不穩(wěn)定的.如果序列xk存在兩個(gè)收斂的子列我們就稱之為2倍周期收斂.我們稱之為單周期收斂.一般地,我們記(2)式為所謂2倍周期收斂的點(diǎn)就是(4)式的平衡點(diǎn):即滿足8本例(2)的平衡點(diǎn)為0和(b-1)/b.仍然滿足上式,現(xiàn)在我們求的是另外兩個(gè)根:或9故故這兩個(gè)平衡點(diǎn)具有相同的穩(wěn)定性.且結(jié)論:10這個(gè)結(jié)論表明:這個(gè)生物種群離散阻滯型模型,當(dāng)2r2.449時(shí),如果從單代(一個(gè)繁殖周期)的角度來(lái)看,其數(shù)量是不穩(wěn)定的;但是如果從隔代的角度來(lái)看,其數(shù)量是穩(wěn)定的.這就是我們?yōu)槭裁凑f(shuō)它是2倍周期收斂的原因.如:當(dāng)b=3.2時(shí),兩個(gè)2倍周期平衡

6、點(diǎn)為0.513,0.79945. 如:當(dāng)b=3.45時(shí),4倍周期平衡點(diǎn)為0.4474,0.8530,0.4327,0.8469.11類似地,我們可以對(duì)模型(2)繼續(xù)討論其2n倍周期收斂問(wèn)題,其收斂性完全由參數(shù)b的取值確定.記bn為2n倍周期收斂的上限,計(jì)算表明:b0=3,b1=3.449,b2=3.544, b3=3.564,b4=3.569,b5=3.5697,b6=3.5699,Feigenbaum常數(shù).33.63.312混沌現(xiàn)象的一個(gè)顯著特征是對(duì)初值依賴的極度敏感.如:當(dāng)b=3.7時(shí),對(duì)兩個(gè)初值x0=0.2,x01=0.20001,迭代100次后我們發(fā)現(xiàn)前者的新值為0.4814,而后者的新值為0.2572,迭代200次后分別為0.7535,0.7022相差很大.這就是所謂的“蝴蝶效應(yīng)”.另外,在混沌區(qū),bb4,也并非都是亂成一片,有時(shí)候會(huì)有其他的周期收斂:如b=3.83時(shí),呈3倍周期收斂, (0.1561493,0.5046665,0.9574166),b=3.84時(shí),也呈3倍周期收斂(0.149406