高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)空間角與空間距離的計(jì)算知識(shí)精講

1、高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：空間角與空間距離的計(jì)算【本講主要內(nèi)容】空間角與空間距離的計(jì)算空間直線與直線、直線與平面、平面與平面所成角的大小，直線與直線、直線與平面、 平面與平面間的距離的求解【知識(shí)掌握】【知識(shí)點(diǎn)精析】空間的角和距離是空間圖形中最基本的數(shù)量關(guān)系，空間的角主要研究射影以及與射影有關(guān)的定理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等.解 這類問題的基本思路是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解決.1.空間的角的概念及計(jì)算方法(1)空間角概念一一空間的角，是對(duì)由點(diǎn)、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素 間的位置關(guān)系進(jìn)行定量分析的一個(gè)重要概念，由它們的定義，可得其取值范圍，如兩

2、異面直線所成的角 0 (0,)2直線與平面所成的角 0 0 ,3二面角的大小，可用它們的平面角來度量，其平面角0 (0,兀).說明：對(duì)于空間角的計(jì)算， 總是通過一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)的角，并把它置于一個(gè)平面圖形，而且是一個(gè)三角形的內(nèi)角來解決，而這種轉(zhuǎn)化就是利用直線與平面的平行與垂直來實(shí)現(xiàn)的， 因此求這些角的過程也是直線、平面的平行與垂直的重要應(yīng)用.通過空間角的計(jì)算和應(yīng)用進(jìn)一步提高運(yùn)算能力、邏輯推理能力及空間想象能力.(2)空間的角的計(jì)算方法求異面直線所成的角常用平移法(轉(zhuǎn)化為相交直線)；求直線與平面所成的角常利用射影轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；求二面角al P的平面角(記作6)通常有以下幾

3、種方法：(i )根據(jù)定義；(ii)過棱l上任一點(diǎn)O作棱l的垂面Y設(shè)？na=OA nP=OB則/AOB=9(圖1);圖1(iii)利用三垂線定理或逆定理，過一個(gè)半平面 支內(nèi)一點(diǎn)A,分別作另一個(gè)平面P的垂線AB(垂足為B),或棱l的垂線AC(垂足為C),連結(jié)AC則/ ACB=8或/ ACB=n日(圖2);圖2(iv)設(shè) A為平面a外任一點(diǎn)，ABL。，垂足為B, ACL民垂足為 C,則/ BAC=MZBAO冗-日(圖3);圖3(v)利用面積射影定理，設(shè)平面o.內(nèi)的平面圖形 F的面積為S, F在平面P內(nèi)的射影圖 形的面積為S ,則cos 0= S .S2.空間的距離問題(1)空間各種距離是對(duì)點(diǎn)、線、面

4、組成的空間圖形位置關(guān)系進(jìn)行定量分析的重要概念.空間距離是指兩點(diǎn)間距離、點(diǎn)線距離、點(diǎn)面距離、線線距離、線面距離以及面面距離等，距離 都要轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離即線段長(zhǎng)來計(jì)算，在實(shí)際題型中，這六種距離的重點(diǎn)和難點(diǎn)是求點(diǎn)到平面的距離，因線線距離、線面距離和面面距離除用定義能直接計(jì)算出結(jié)果的外，都要轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離進(jìn)行計(jì)算.(2)空間的距離問題主要是：求空間兩點(diǎn)之間、點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、兩條異面直線 之間(限于給出公垂線段的)、平面和它的平行直線、以及兩個(gè)平行平面之間的距離.(3)求距離的一般方法和步驟是：一作一一作出表示距離的線段； 二證一一證明它就是所要求的距離；三算一一計(jì)算其值.此外，我們還常用

5、體積法或向量法求點(diǎn)到平面的距離.【解題方法指導(dǎo)】例 1.三棱錐 P-ABC中，/ ABC= 90 1 PA= 1 , AB= v3 , AC= 2, PAL平面 ABC.(1)求直線AB與直線PC所成的角；(2)求PC和面ABC所成的角;(3)求二面角 A-PC-B的大小.解：（1）作矩形ABCDJAB和PC所成角即為 CD和PC所成角，且 CDL PD. CD= J3 ,26 , k ,、A ,6AD= 1, PD= 2 , tanPCD=.故 AB和 PC所成角為 arctan P1PAa面ABC PC和面ABC所成角即為/ ACP求得tanACP=-,21 / acp= arctan 一

6、2.PA1面 ABC 二面 PACL面 ABC過 B作 BGLAC于 G,貝U BGL面 PAC.過 G作 GHL PC于H,連接BH,貝U BHL PC / BH助二面角 A-PC-B的平面角.c BGsinBHG =BH. 5在 RtABC與 RtPBC 中，PB= 2, BC= 1 , AC= 2, AB= 73.32 _ 15T 一 7- 5故二面角 A-PC-B的大小為arcsin23PC= 5 5 B+ , BG = 一5 / BHG = arcsin 4例2.在正三棱柱 ABC - ABG中，各棱長(zhǎng)都等于 a, D E分別是AC1、BB1的中點(diǎn),(1)求證：D蕾異面直線AC1與B

7、B1的公垂線段，并求其長(zhǎng)度；(2)求二面角EAC1C的大小；(3)求點(diǎn)Ci到平面AEC勺距離.解：(1)取AC中點(diǎn)F,連接DF.D是慶q的中點(diǎn)，1 一 一 一 ，一、d DF/ CCi ,且 DF =一CCi .又 BB1/CC1, E是 BBi 的中點(diǎn), 2DF/ BE DF= BE ，四邊形 BED喔平行四邊形，D曰 BF, DE= BF.BB面 ABC BF 二面 ABCBB1 BF.又.F是AC的中點(diǎn)， ABC是正三角形,3BFL AC BF = a .2BB1 BF, BB1 / CC1 , . . BF CC1, . . BF，面 ACC1A1 ,又 AC1 u 面 ACC1A ，

8、 BF AC1 ,. DEE/ BF, , . DEL ACi , DEL BBi,3D%異面直線 ACi與BBi的公垂線段，且 DE = a .2 BB1/CC1, DE BB1, /.DEL CC1 , 又.為 DEI AC1 ,DEL面 ACC1A .又 DE u 面 AEC1，面 AEC1，面 ACC1 ,二面角E -AC1 -C的大小為90。. TOC o 1-5 h z a23 一(3)連接CE,則二棱錐 A-CEC1的底面面積為 S*eCi =萬，局h=1a.所以1 Aa . _Va_cec =La- -aa3 .在三棱錐 C1 -AEC 中，底面 AEC 中，13 2212c

9、.5 b ca2AE =CE =a ,則其高為a,所以Sec =.22,2設(shè)點(diǎn)C1到平面AEC勺距離為d,由Vaqeg =Vguec得1d = a3,32123_ 3所以d = - a 即點(diǎn)C1到平面AEC勺距離為 a22【考點(diǎn)突破】【考點(diǎn)指要】空間角是立體幾何中的一個(gè)重要概念. 它是空間圖形中的一個(gè)突出的量化指標(biāo)， 是空間 圖形位置關(guān)系的具體體現(xiàn)，故它以高頻率的姿態(tài)出現(xiàn)在歷屆高考試題中， 可以在填空題或選 擇題中出現(xiàn)，更多的在解答題中出現(xiàn).空間中各種距離都是高考中的重點(diǎn)內(nèi)容，可以和多種知識(shí)相結(jié)合，是諸多知識(shí)的交匯點(diǎn)，考查題型多以選擇題、填空題為主，有時(shí)滲透于解答題中，所以復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起重視.【

10、典型例題分析】例1.如圖，已知正四棱柱 ABCD A1B1clD1,AB =1,AA1 = 2,點(diǎn)E為CC1中點(diǎn)，點(diǎn)F 為BD1中點(diǎn).（1）證明EF為BD與CC的公垂線；（2）求點(diǎn)D1到平面BDE的距離.解法1:(1)連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O,則點(diǎn)O為BD中點(diǎn)，連OF,則可證OCE助矩形, 故 EH CC , EF/ AC.又可證 Ad平面 BD .1. ACL BD, . EFL BD, 故EF為BD與CC的公垂線.(2)連結(jié)DE,則有三棱錐 D-DBE的高d即為點(diǎn)D1到平面BDE的距離.由已知可證三角形 DBE為邊長(zhǎng)為 J2的正三角形,故 VD1 DBE1又 VD1_DBE =VE_DBD1

11、=VC_DBD1 - CO S.DBD1 3,3 , 112c d =_ d = -m3 ,2332即口1到平面BDE的距離為733解法2:D(0,0,0), D1 (0,0,2)則解(1)以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,1 1B”。)，cm。)，C1(Q3 E(0,1,1), F(-，21),1 、, ，一、 EF =(,0), BD1 =(-1,-1,2), CC1 =(0,0,2)2 2EF BD1 = 0, EF CC1 =0； EF _L BD , EF _L BD 又EF與CC、BD分別交于 E、F,故EF為BD與CC的公垂線.(2)由(1) BD -(-1,-1,0), B

12、E -(-1,0,1), BD1(-1,-1,2), 設(shè) 平面BDE的法向量為 n = (x, y,z),則n _L BD , n 1 BE ,n，BD=0X y = 0 x = -yn BE =0-x + z = 0 x = z不妨設(shè)n=(1,-1,1),則點(diǎn)D1到平面BDE的距離為| BD1 n |2= = _|n I,3二 2,3,3即為所求.例2.如圖，|，I2是互相垂直的異面直線， MN是它們的公垂線段.點(diǎn)A, B在I上，C 在 I2上，AM =MB = MN .(I)證明 AC NB ;(n)若ZACB =60,求NB與平面ABC所成角的余弦值.解法一：(I)由已知 |2 .LMN

13、 , l2 _L I1, MNI1 =M ,可得 I2，平面 ABN . 由已知 MN _L h AM = MB = MN ,可知 AN = NB 且 AN _L NB .又AN為AC在平面ABN內(nèi)的射影，: AC I NB.(n) ；RtACNA RtACNB ,AC = BC,又已知jACB = 601因此 AABC為正三角形.7RtAANB RtACNB,NC = NA=NB,因此N在平面ABC內(nèi)的射影H是正三角形 ABC的中心，連結(jié)BH , /NBH為NB與平面ABC所成的角.在 RtANHB 中，cos/NBH =HBNB招AB 3二 AB 2J63解法二:令 MN =1,則有 A(

14、-1,0,0), B(1,0,0)N(01,0).l2 l12.(I) ：*MN是h I2的公垂線,.l2，平面ABN . I2平行于z軸.T故可設(shè) C(0,1, m).于是 AC =(1,1, m),NB =(1,-1,0), AC NB11 -1 +0 =0 AC _L NB .(n) : AC =(1,1, m) , BC =(-1,1 , m),又已知ZACB = 60，二 ABC為正三角形， AC = BC = AB 在 RtACNB 中，NB = 72 ,可得 NC =72,故 0(0,1,72).連WC，作 NH _L MC口I，設(shè) H (0,九,J2K)(八 a 0).二 HN

15、 =(0,1 -九,一向),MC =(0,1,揚(yáng). HN MC =1 九一2九=0 , .九1 五” 2 2二 H 0,一，可得 HN =| 0,-,13 3113 皿/ 1亞)連結(jié) BH ,則 BH = | 1,，13 3)2- HN BH = 0 - 9- HN _L平面 ABC, 又 BN =(1,1,0),.帚,就 又 MCQ BH = H , 9/NBH為NB與平面ABC所成的角.，cos. NBHBHBNBH BN43 23【綜合測(cè)試】一、選擇題1、已知AB是異面直線a、b的公垂線段,P到直線b的距離是（）A、2. 2B、2 5AB= 2, a與b成30 ,在直線 a上取AP 4,

16、則點(diǎn)C、2,142、將銳角為60。，邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD&較短的對(duì)角線BD折成560的二面角，則 AC與BD的距離為（A、3a 43、正方體 垂足，則直線A、304、二面角角為30,則A、303a a4,6a4ABCD-ABCD中，M是DD的中點(diǎn)，O為正方形AiBiCiD的中心，P是棱AB上的AiM與OP所成的角（、45o-AB- 3大小為9 (0角等于（B5、（2005湖南卷文4） 平面ABGD的距離為（A、).C 0、60 D、90o90 ) , AU a , / CAB= 45, AC與平面 3 所成）.、45如圖，正方體B、6、已知直線a及平面a , a與a、60D 、90ABCD-

17、AiBiGD的棱長(zhǎng)為1, E是AiB的中點(diǎn)，則 E到D j-332DiCE Bi莊間的距離為d . a在平面與a相交的任一直線，則 a與l間的距離的取值范圍為（A、口，收） B 、（d,代）C 、（0,d0內(nèi)的射影為a , l為平面0內(nèi)）D 、二、填空題7、如圖，PA1平面 ABG / ACB= 90 且 PA= AC= BC= a, 正切值等于.則異面直線PB與AC所成角的PB8、已知/ AOB= 90,過O點(diǎn)引起/ AOB所在平面的斜線 OC與OA OB分另成45、60, 則以O(shè)C為棱的二面角A-OC-B的余弦值等于.三、解答題：9.如圖，直三棱柱 ABC-ABG的底面ABC為等腰直角三角

18、形，/ ACB= 90, AC= 1, C點(diǎn) 到AB的距離為C口 上3, D為AB的中點(diǎn).求異面直線 AB與CD之間的距離.10.如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD 中，AB AC , PAL 平面 ABCD ,且PA = AB,點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).(I)求證：AC PB ;(n)求證：PB/平面AEC；(m)求二面角 E - AC - B的大小.BC綜合測(cè)試答案、選擇題1.2.3.4.5.選選選 選 選B.6.提示 提示 提示 提示過P做直線b的垂線 用異面直線距離公式求解 過Ai做OP的平行線 過C做平面3的垂線提示：轉(zhuǎn)化為求 Bi到平面AB CiD的距離選D提示：轉(zhuǎn)化為a與久間的

19、距離二、填空題.2 .3O. -提示：將三角形ABC#成正方形ACBD.提示：利用直線與直線所成角的大小求出邊長(zhǎng)，再求二面角平面角的大小三、解答題：.解：由CDL平面 ABiBA . .CDL DE. AB，平面 CDEDEI AB,DE是異面直線AB與CD的公垂線段八 、. 3 八八 .2CE=,AC= i , . CD= -. DE22二 J(CE)2 -(CD)2CiAiBii0.解法一：（I） （n）（略 解見第45講【達(dá)標(biāo)測(cè)試】第 9題）（出）過O作FG / AB,交AD于F ,交BC于G ,則F為AD的中點(diǎn).又由(I) , ( n )知，AC PB, EO / PB，二 AC EO . :/EOG是二面角E ACB的平面角.，,11連接 EF