高三數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合常用的工具

1、山東莘縣觀城中學(xué)高三年級數(shù)學(xué)組郭銀生數(shù)形結(jié)合就是對題目中的條件和結(jié)論既分析其代數(shù)意義又分析其幾何意義，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)方法，它的本質(zhì)是“以形助數(shù)，以數(shù)定形”，數(shù)學(xué)家華羅庚曾言：“數(shù)形結(jié)合百般好， 割裂分家萬事休?！睌?shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)主要的四大思 想之一，是每年高考試題必考的內(nèi)容，高考試題常以下列方式出現(xiàn)：研究方程根的情況， 討論函數(shù)的值域， 求變量的取值范圍解不等式。筆者就常用的“以形定數(shù)”的工具歸納如下，以求拋磚引玉之效。一、韋恩圖韋恩圖是解決集合運(yùn)算問題常用的工具，還可證明一些常用的恒等式，如AAB=AUB= A=B,A=AA 2 A1 B= B=AU B,

2、 CU (A n B)= C u AU CU B, C u (A U B)= C U AC Cu B 等。例1.某班50人中，參見數(shù)學(xué)競賽的25人，參加化學(xué)競賽的32人，求既參加數(shù)學(xué)競賽又參加化學(xué)競賽的人數(shù)的最大值和最小值。解：設(shè)兩科都參加的人數(shù)是x人，則參加化學(xué)競賽和參加數(shù)學(xué)競賽的人數(shù)分別是32-x,25-x32 - x 0根據(jù)題意的實(shí)際意義得：J25-x 0,解不等式可得25 -x 32 -x x _07xa,且 ARB,則 實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解析：(1) a-2;. A= x|-2xa,又 AB,利用數(shù)軸 上覆蓋關(guān)系，因此有a0 得:-13b0 且 awl,試求使方程 log a (x

3、-ak)=log a 2 (x 2 -a2)有解的實(shí)數(shù)k的取值范圍。解：原方程等價于 0Vx-ak = Xx -a2構(gòu)造曲線C：y= x x a a，直線L:y= x-ak從而使問題轉(zhuǎn)化為直線L和雙曲線C:x 2-y 2=a2 (y0)x軸上半部分有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù) k的取值范圍，如圖所示：有三條臨界直線 L1、L 2、L 3當(dāng)L在L4DL2之間時，直線L在y軸上的截距 ak滿足av akv 0時L與C有一, 個交點(diǎn)，解之可得0V k 1當(dāng)L在L3上方時，直線L在y軸上的截距-ak滿足av ak時L與C有一個交點(diǎn)，解之可得k 1綜合可得，所求 k的取值范圍是“k -1或0 k 1 例8.求函數(shù)y=

4、 J2t +4 +J6 的值域。22解：設(shè) mr 2t+4 , n= v6-t ,則 m +n =16 (0c) 2 +(1- - ?u)2=, 2 - -. 2+1I FE | =(2 -1) 2 +(- ) 2 222 -2 +1 .I PA | = | FE | ,即 PA=EF22.2.2. PA* FE =(- 2 K)( 2 九-1) +(1- 2 九)(-2 )PA，F(xiàn)E,例11.如圖所示,G在棱CD上，且.求證:.求證:九十九2 = 02即 PA，EF在棱長為1的正方形ABCD-ACG= 1CD,H是C1G的中點(diǎn), 4EF B1cEF與C 1G所成角的余弦值1B1C1D1中,E

5、,F分別是DD1,BD的中點(diǎn),.解:求FH的長如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz ,1 E(0,0, 2)B1(1,1,1)1 1F( 2 , 2 ,0) C(0,1,0)D(0,1,1)G(0, 3,0)4 -111-(1).證明： EF =( ，2 ,- 2)B1C =(-1,0,-1)- 0+-(-1)=0EF B1c. EaBC一 1(2). CiG=(0，- 4,-1) I C1G I=J0+(T2+(-i)2T由（1）得I EF I =EF - C1G =EF C51cos EF, C1G = ；r =EF 率 C1G17(3). H是C 1G的中點(diǎn)山1112 2又F(1,l,0)2 2.，3)即 H (0,一8.FH= | FH | =(0；(74)2+(r0)2418點(diǎn)評：利用空間向量解決立體幾何問題，將抽象的邏輯論證轉(zhuǎn)化為代數(shù)計算，以數(shù)助形，大 大降低了空間想象能力，是數(shù)形結(jié)合的深化。十.復(fù)平面借助復(fù)平面上的兩點(diǎn)間的距離公式和直線、圓、圓錐曲線等，再利用復(fù)數(shù)的意義求解問題，比單純利用代數(shù)計算優(yōu)越的多。例12.如果復(fù)數(shù)z滿足| z+i | + | z-i | =2，那么| z+i+1 | 的最小值是()A.1 B.2C.2 D., 5解析：復(fù)平面內(nèi)滿足I z+i |+| z-i | =2的點(diǎn)z的軌跡是線 段AB,而| z+i+1