高中數(shù)學-橢圓的簡單幾何性質(zhì)教學設計學情分析教材分析課后反思

1、橢圓的簡單幾何性質(zhì)教學設計一、復習回顧，新知導入這節(jié)課我們繼續(xù)研究有關橢圓的相關知識， 在進入本節(jié)課的知 識之前，我們先復習一下上節(jié)課的知識?！驹O計意圖】引導學生用所學研究新知，重視基礎22提出問題：橢圓 L 1的圖象怎么畫?259【設計意圖】引導學生重視數(shù)形結合學生活動：學生自主完成圖象，找學生板演，并讓學生們解釋如何作圖，從學生的答案中尋找橢圓的范圍、對稱性等直觀性質(zhì)。二、探究問題，觀察發(fā)現(xiàn)從哪幾方面研究研究橢圓的幾何性質(zhì)呢 ？學生紛紛討論之后老師確定從橢圓的對稱性、頂點、范圍、離心率來探究。探究一：橢圓的范圍教師通過剛才作圖，學生們得到了橢圓的范圍。引導學生動手動腦，將具體實例抽象成數(shù)學

2、圖形, 學問題，在平面直角坐標系內(nèi)來研究。【設計意圖】利用“橢圓的頂點.ppt ”課件展示，使學生直觀感性認 識橢圓范圍所在區(qū)域。學生得出：橢圓位于直線x a,y b所圍成的矩形內(nèi)。問題1:如何從數(shù)的角度（也就是方程）來驗證我們剛才從直觀（也就是形）得來的結論呢？【設計意圖】體驗用代數(shù)的方法研究幾何問題過程，體會數(shù)形結合思想。學生可能有如下方法：方法L由三十4二1利用兩個實數(shù)的平方和為1,結合不等式知識得 a b尸石一且力則有rM心外-8寸三匕 那么它的范圍就是直線工二也上抄所圍成的區(qū)域，方法工從44=1中解出3次1-%利用/“可得F的取值范圍， a bb同樣可得芯的取值范圍。，方法3：把”后

3、孑和，三-攵不7分別看作是一個函數(shù)，只需求 也口一方-工.）的定義域.值域即可，然后利用對稱性可得范圍.（板書）教師指出橢圓的范圍：-axa-byb.+探究二：橢圓的對稱性問題2：從圖形上看，你能找到橢圓對稱軸和對稱中心么？【設計意圖】讓學生直觀感知，更深入認識橢圓的對稱性。得出結論：橢圓具有對稱性。橢圓是軸對稱圖形，它關于x軸和y軸對稱；實物演示：橢圓繞中心旋轉(zhuǎn)180后與原橢圓重合一一橢圓也是中心 對稱圖形，這時坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢 圓的對稱中心叫做橢圓的中心。問題3:從方程看如何判斷橢圓的對稱性？【設計意圖】經(jīng)歷幾何問題代數(shù)化的過程，感受解析幾何研究問題的 思路和

4、方法。學生討論：設P（x, y）,則P點關于X軸、y軸和坐標原點的對稱點 分別是（x, y）、（ x,y）、（ x, y）,若曲線關于x軸對稱，則P點關于x軸對 稱點也在曲線上，即（x, y）滿足方程。同理可以推出另外兩種情況。問題4:通過上面研究同學們歸納出方程要滿足什么條件曲線才具有 這些對稱性？【設計意圖】為培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納問題的能力。為進一步的 學習打下良好的基礎。學生討論得出：以 x代x,方程不變，則曲線關于y軸對稱；以 y代y,方程不變，則曲線關于x軸對稱；同時以x代x、以y代y, 方程不變，則曲線關于原點對稱。（板書）橢圓的對稱性：橢圓關于x軸，y軸和原點對稱。探究三：橢

5、圓的頂點問題5：橢圓與它的對稱軸有交點嗎？若有，那么橢圓與它的對稱軸 有幾個交點？你能求出交點的坐標嗎？學生易得：橢圓與對稱軸有交點，有四個交點。問題5:從方程看如何求出橢圓的頂點？【設計意圖】體驗用代數(shù)的方法研究幾何問題過程。令x 0則有y b或y b ;同理可得x a或x a。教師指出：其實，我們把橢圓工 l（a b 0）與坐標軸的交點 a bA（ a,0）,A2（a,0）,Bi（0, b）,B2（0,b）就叫做橢圓的頂點。其中線段AA、BB分別叫做橢圓的長軸和短軸。顯然長軸長|AiA2| = 2a,短軸長|BB| =2b, a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長， 此時長軸在x軸上。（整

6、合點：教師通過ppt演示“橢圓的頂點”）（板書）橢圓的頂點： A/ a,0）,A2（a,0）,Bi（0, b）B（0,b）。探究四：橢圓的離心率橢圓的簡單的幾何性質(zhì)中，比較抽象的難于理解的就是橢圓的離 心率問題。為了能將抽象的問題形象化，利于學生的理解與接受，設 計如下的課堂活動，讓全體學生參與到課堂中來，在自己的探究中獲 得學習的樂趣，學習的快樂，并且可以使不同程度的學生都有所收獲。2 222問題8:請同學們畫出橢圓 工 L 1和人上1的圖象，觀察它們的 25 1625 9形狀有何不同？橢圓卻有些比較“扁”，有些比較“圓”，用什么樣的 量來刻畫橢圓“扁”的程度呢？【設計意圖】在同學們參與到課

7、堂活動中的時候，在自己作圖過程中就會發(fā)現(xiàn)橢圓形狀的變化，引起思考。第一個橢圓比較“圓” 個橢圓比較“扁”本過程中，由具體的同學們的手中的橢圓形狀的變化到抽象的平 面直角坐標系中橢圓形狀的變化的過程中， 幾何畫板的強大功能會發(fā) 揮巨大的作用。在幾何畫板中展示橢圓的形狀變化的同時， 還可以讓 學生觀察到橢圓中a,b,c三個參量的變化，進而對橢圓的離心率充分 了解。觀看課件演示，加深對離心率問題的直觀認識。（整合點：展示“橢圓的離心率.gsp”幾何畫板，取橢圓的長軸長 不變，拖動兩焦點改變它們之間的距離，再畫橢圓，由學生觀察出橢 圓形狀的變化。） 教師指出：在剛才的演示中，我們發(fā)現(xiàn)在橢圓長 軸長不變

8、的前提下，兩個焦點離開中心的程度不一樣，可以用離心率 來描述。（1）概念：橢圓焦距與長軸長之比。（2）定義式：e a問題9:那么離心率與橢圓的扁圓程度有什么關系呢？【設計意圖】學生通過觀察動畫更容易找出橢圓圖形隨 e的變化而變 化的規(guī)律，他到突破難點的效果。再一次演示幾何畫板。學生發(fā)現(xiàn)。不變時，c變大，即離心率變 大時，橢圓越扁；c變小即離心率變小時，橢圓越圓。從式子e c上看：。TQTO ,橢圓變圓，直至成為極限位置圓， a此時也可認為圓為橢圓在層時的特例。彥TT凡橢圓變扁，直至成為極限位置線段丹瑪，此時也可認為線段為橢圓在 =1時的特例。(板書)橢圓的離心率：e1a【比一比】比較下列各組中

9、橢圓的形狀,哪一個更圓，哪一個更扁？為什么?2236和士21。610229x2 y2 36禾嗓卷3x2 9y2【設計意圖】為了讓學生能真正理解離心率的意義， 教學中利用數(shù)形結合的思想，從幾個具體的橢圓標準方程入手，通過對圖形的觀察、方程的驗證，從數(shù)的方面，發(fā)現(xiàn)了橢圓形狀與 的本質(zhì)聯(lián)系，使學生 a體驗了學習數(shù)學的樂趣，感悟和體會了特殊到一般、由具體到抽象的認識問題的一般方法和數(shù)形結合、歸納、類比等數(shù)學思想方法的運用。學生活動：搶答。三、總結歸納，能力提升讓學生學會將課堂上所學的知識整合成塊， 形成屬于自己的知識2222體系。要求課堂填寫今 4 1 (a b 0)的性質(zhì)，課后完成與 三1 a ba

10、 b(a b 0)的性質(zhì)。四、典例賞析，學以致用為了加深對橢圓的幾何性質(zhì)的認識，掌握用描點法畫圖的基本方法，給出如下例題：【例U求橢圓16x2 25y2 400的長軸和短軸的長,離心率、焦點和 頂點的坐標?！揪毩?】求橢圓9x2 4y2 36的長軸和短軸的長，離心率、焦點和頂 點的坐標?！纠?】求適合下列條件的橢圓的標準方程：13(1)焦點在x軸上，a 6，e 3；(2)焦點在y軸上，c 3，e 5。【練習2】求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)經(jīng)過點 P(-3,0) , Q(0,-2);3(2)長軸長等于20,離心率等于5五、課堂小結，競爭合作請你談談通過這節(jié)課的收獲，你學習到了什么？六、

11、課后作業(yè)，鞏固提高基礎：課本P49習題A組第2、3、4題。拓展：1、分別用b、的代數(shù)式子表示離心率； a b2、預習課本P47例6、例7。探究活動：課后查閱資料嘗試找到橢圓的幾何性質(zhì)在現(xiàn)實生活中的其 他應用。學情分析離心率是本節(jié)課的重點，也是本節(jié)課的難點，同時也是最能滲透 數(shù)學思想和方法的知識點，估計對普通班的學生有一定的難度，但是 之前學習過圓，類比圓，教學中較合適的方法是啟發(fā)、講授、數(shù)形結 合，尤其是b、c對橢圓形狀的刻畫，是本節(jié)課最難的點，因而采用a b幾何畫板，用動態(tài)圖向同學們展示離心率變化對橢圓扁平程度的影響。 此外，看圖時同學們的思維并不一致，所以在內(nèi)容的處理順序上與課 本略有不同

12、。效果分析一、課堂教學效果.各個教學環(huán)節(jié)學生都能積極參與，都能比較深刻的理解和熟 練地應用知識點；.應用幾何畫板，非常形象的展示了橢圓離心率的變化對橢圓 形狀的影響，激發(fā)了學生學習的興趣，同時將難點直觀化，學生接 受新知效果較好；.通過學生板演，激勵學生學習，同時也是對本節(jié)課的驗收。 二、學生學習效果.抽查發(fā)現(xiàn)學生掌握很好；.通過作業(yè)，體現(xiàn)出學生做題比較嚴謹，態(tài)度也比較好。教材分析一、教學分析：（一）教學內(nèi)容分析橢圓是生活中常見的曲線，是學生學習第二章所接觸到的第一個 重要的圓錐曲線，研究它的幾何性質(zhì)，對于后續(xù)學習圓錐曲線有著重 要的指導作用，也為研究雙曲線和拋物線奠定了基礎。（二）教學對象分

13、析本節(jié)課是在學生學習了橢圓的定義、 標準方程的基礎上，根據(jù)方 程研究曲線的性質(zhì)。按照學生的認知特點，改變了教材中原有安排順 序，引導學生從觀察課前預習所作的圖形入手，從分析對稱開始，循 序漸進進行探究。（三）教學環(huán)境分析因為本節(jié)內(nèi)容比較抽象，再者學校條件的有限所以利用數(shù)形結合 增強直觀性，激勵學生的學習動機，培養(yǎng)學生的觀察能力、數(shù)學想像能 力和抽象思維能力。二、本課教學目標：根據(jù)大綱要求和新課改理念，結合本課教學內(nèi)容和學生的實際，我將本課的教學目標確定為：（一）知識與技能掌握橢圓的簡單的幾何性質(zhì)，學會由已知橢圓的標準方程求橢圓的幾何性質(zhì)的一般方法與步驟。（二）過程與方法通過實際活動培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)

14、、觀察、歸納的能力；培養(yǎng)分析、抽 象、概括的能力，加強數(shù)形結合等數(shù)學能力的培養(yǎng)；經(jīng)歷幾何問題代 數(shù)化的過程，感受解析幾何研究問題的思路和方法。（三）情感與態(tài)度通過有關橢圓幾何性質(zhì)的實際應用的介紹，激發(fā)學生研究橢圓的幾 何性質(zhì)的積極性。三、依據(jù)教學大綱的要求及本課在教材中所處的地位及作用，我將本課的教學重、難點設計為：（一）教學重點：由標準方程分析出橢圓的幾何性質(zhì)（二）教學難點：橢圓離心率幾何意義的理解四、教學用具：多媒體設備、直尺五、教學方法：講授法、啟發(fā)法、討論法、情境教學法、小組合作交流六、教學時間：一課時 2.2,2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)（第一課時）學習目標.根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性

15、質(zhì)，并正確地畫出它的圖形;.根據(jù)幾何條件求出曲線方程，并利用曲線的方程研究它的性質(zhì)io2學習過程一、復習回顧復習1：橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點 F1、52的 為常數(shù)2a（ 2a IF1F2I）的動點M的軌跡叫做橢圓。數(shù)學符號語言：.復習2：橢圓的標準方程，焦點在x軸上,焦點在y軸復習3:橢圓的標準方程中a,b,c的關系二、導思導學【動動手】22請做出上匕1的圖象.259【新知探究】22橢圓的標準方程、自1（aa bb 0）,它有哪些幾何性質(zhì)呢?1、范圍：X：2、對稱性：橢圓關于軸、軸和 都對稱;3、頂點：（），（），（），（4、長軸,其長為;短軸,其長為;【變式】如果將上述橢圓方程中的9換成

16、16和4呢？請在同一個坐標 系中畫出它們的圖象。5、離心率：刻畫橢圓 程度.1i橢圓的焦距與長軸長的比c稱為離心率，記e ,且0 e 1. aa【想一想】1、b或c的大小能刻畫橢圓的扁平程度嗎？ a b2、你能運用三角函數(shù)的知識解釋，為什么e，越大，橢圓越扁？ e - TOC o 1-5 h z aa越小，橢圓越圓嗎？【比一比】比較下列各組中橢圓的形狀，哪一個更圓，哪一個更扁？為什么?22 9x2 y2 36 與 上 1 ；16 1222 x2 9y2 36 與士 1 .610三、總結歸納標準方程22:3 1（a b。）22占-21 a b 0a b范圍12對稱性頂點坐標焦點坐標半軸長離心率a

17、,b,c關系四、例題講解例1求橢圓16x2 25y2 400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點 的坐標.小結：先化為標準方程，找出a,b,求出c；注意焦點所在坐標軸.練習1求橢圓9x2 4y2 36的長軸長、短軸的長、離心率、焦點坐 標和頂點坐標。例2求適合下列條件的橢圓的標準方程。(1)焦點在x軸上，a 6,e 1 ；3(2)焦點在y軸上，c 3,e 3。5練習2求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)經(jīng)過點 P( 3,0)、Q(0, 2);（2）長軸的長等于20,離心率等于g52課堂小結你的收獲是什么?知識：方法：3課后作業(yè)基礎：課本P49習題A組第2、3、4題拓展：預習課本P47例6、例

18、7橢圓的簡單幾何性質(zhì)教學反思本節(jié)課是人教 A版普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學選修2-1第二章2.2.2的內(nèi)容，它是在學完橢圓的標準方程的基礎上， 通 過研究橢圓的標準方程來探究橢圓的簡單幾何性質(zhì)。 這是學生第一次14正式學習使用代數(shù)方法研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)，因此，上好本節(jié)課顯得尤為重要。本節(jié)課總體上是以橢圓為載體研究橢圓的幾何性質(zhì)，通過對橢圓方程的研究，讓學生自然得出相應的幾何性質(zhì)。因此，我在教學上采22用從特殊到一般的數(shù)學思想：先提出讓學生畫橢圓L 1的圖象,259在作圖過程中引導學生發(fā)現(xiàn)橢圓的幾何性質(zhì)， 并及時和圖象進行聯(lián)系, 體現(xiàn)了 “數(shù)是形之源”的思想。學生在作圖過程中發(fā)現(xiàn)：作圖需要

19、描 點，因此可以先求出橢圓與坐標軸的四個交點；橢圓是封閉圖形，要 畫圖就得先確定范圍；最后連線成圖時必須考慮到圖象的對稱性等特 點。通過這個作圖活動，學生能直觀的了解橢圓的幾何特點，并且在 這個過程中發(fā)現(xiàn)問題，提高了學習的積極性。然后，我趁熱打鐵，從 特殊到一般，歸納出橢圓的頂點、范圍、長短軸等概念，并揭示了橢 圓方程中a,b,c的幾何意義。本節(jié)課的重點是利用橢圓方程來研究幾何 性質(zhì)，所以在歸納一般概念時，應注重強調(diào)代數(shù)方法和坐標法。例如， 由方程可直接求得x的范圍；利用對稱點的坐標，可以檢驗曲線的對 稱性；分別令x 0和y 0可以求出四個頂點（即橢圓與對稱軸交點） 的坐標。從教學情況來看，學生接受還是比較好的。離心率是本節(jié)課的難點，課本直接提出利用 a與c可以刻畫橢圓 的圓扁程度，接著給出離心率的定義，學生接受起來是比較困難的。 因此我在學生對橢圓的圓扁變化有了初步的感性認識之后， 讓學生合 作討論，尋找一個合適的量來刻橢圓的扁平程度。學生們不難發(fā)現(xiàn)， 橢圓的扁平程度與長軸，短軸有關，所以可以用 上來進行刻畫。我首 a先肯定了學生的回答，再在這個基礎上，通過推導說明 &也是反映橢 a圓扁平程度的一個量，引出離心率的定義，之后再通過幾何畫板形象15的