2022學年江蘇省常州市前黃高中高三第一次模擬考試數(shù)學試卷(含解析)

1、2022學年高考數(shù)學模擬測試卷注意事項：1答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知函數(shù).設，若對任意不相等的正數(shù)，恒有，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）ABCD2若是定義域為的奇函數(shù)，且，則A的值域為B為周期函數(shù)，且6為其一個周期C的圖像關于對稱D函數(shù)的零點有無窮多個3

2、已知直三棱柱中，則異面直線與所成的角的正弦值為（ ）ABCD4已知，是兩平面，l，m，n是三條不同的直線，則不正確命題是（ ）A若m，n/，則mnB若m/，n/，則m/nC若l，l/，則D若/，l，且l/，則l/5如圖，圓的半徑為，是圓上的定點，是圓上的動點， 點關于直線的對稱點為，角的始邊為射線，終邊為射線，將表示為的函數(shù)，則在上的圖像大致為（ ）ABCD6設點是橢圓上的一點，是橢圓的兩個焦點，若，則（ ）ABCD7如圖，正三棱柱各條棱的長度均相等，為的中點，分別是線段和線段的動點（含端點），且滿足，當運動時，下列結論中不正確的是A在內(nèi)總存在與平面平行的線段B平面平面C三棱錐的體積為定值D可

3、能為直角三角形8已知實數(shù)，則的大小關系是()ABCD9的展開式中有理項有（ ）A項B項C項D項10已知正項等比數(shù)列的前項和為，則的最小值為（ ）ABCD11過拋物線（）的焦點且傾斜角為的直線交拋物線于兩點.，且在第一象限，則（ ）ABCD12如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該幾何體的各個面中最大面的面積為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知，那么_.14已知是夾角為的兩個單位向量，若，則與的夾角為_.15已知，復數(shù)且（為虛數(shù)單位），則_，_16設點P在函數(shù)的圖象上，點Q在函數(shù)的圖象上，則線段PQ長度的最小值為_三、解答題：共

4、70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)（1）若函數(shù)在處取得極值1，證明：（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18（12分）中的內(nèi)角，的對邊分別是，若，.（1）求；（2）若，點為邊上一點，且，求的面積.19（12分）某中學為研究學生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時間的關系，對該校名高三學生平均每天體育鍛煉時間進行調(diào)查，如表：（平均每天鍛煉的時間單位：分鐘）將學生日均體育鍛煉時間在的學生評價為“鍛煉達標”（1）請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表：并通過計算判斷，是否能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“鍛煉達標”與性別有關？（2）在“鍛煉達標”的學生中，按男女用分層抽樣方法

5、抽出人，進行體育鍛煉體會交流（i）求這人中，男生、女生各有多少人？（ii）從參加體會交流的人中，隨機選出人發(fā)言，記這人中女生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望參考公式：，其中臨界值表：0.100.050.0250.01002.7063.8415.0246.63520（12分）已知函數(shù)在上的最大值為3.（1）求的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;（2）若銳角中角所對的邊分別為，且，求的取值范圍.21（12分）如圖，三棱錐中，.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.22（10分）已知關于的不等式有解.（1）求實數(shù)的最大值；（2）若，均為正實數(shù)，且滿足.證明：.2022學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析

6、）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【答案解析】求解的導函數(shù)，研究其單調(diào)性，對任意不相等的正數(shù)，構造新函數(shù)，討論其單調(diào)性即可求解.【題目詳解】的定義域為，當時，故在單調(diào)遞減；不妨設，而，知在單調(diào)遞減，從而對任意、，恒有，即，令，則，原不等式等價于在單調(diào)遞減，即，從而，因為，所以實數(shù)a的取值范圍是故選：D.【答案點睛】此題考查含參函數(shù)研究單調(diào)性問題，根據(jù)參數(shù)范圍化簡后構造新函數(shù)轉換為含參恒成立問題，屬于一般性題目.2、D【答案解析】運用函數(shù)的奇偶性定義，周期性定義，根據(jù)表達式判斷即可.【題目詳解】是定義域為的奇函數(shù)，則，又

7、，即是以4為周期的函數(shù)，所以函數(shù)的零點有無窮多個；因為，令，則，即，所以的圖象關于對稱，由題意無法求出的值域，所以本題答案為D.【答案點睛】本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，主要是抽象函數(shù)的性質(zhì)，運用數(shù)學式子判斷得出結論是關鍵.3、C【答案解析】設M,N,P分別為和的中點，得出的夾角為MN和NP夾角或其補角，根據(jù)中位線定理，結合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.【題目詳解】根據(jù)題意畫出圖形:設M,N,P分別為和的中點，則的夾角為MN和NP夾角或其補角可知，.作BC中點Q，則為直角三角形；中，由余弦定理得，在中，在中，由余弦定理得所以故選：C【答案點睛】此題考查異面直線夾角，關鍵點通過平移將異面直

8、線夾角轉化為同一平面內(nèi)的夾角，屬于較易題目.4、B【答案解析】根據(jù)線面平行、線面垂直和空間角的知識，判斷A選項的正確性.由線面平行有關知識判斷B選項的正確性.根據(jù)面面垂直的判定定理，判斷C選項的正確性.根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷D選項的正確性.【題目詳解】A若，則在中存在一條直線，使得，則，又，那么，故正確；B若，則或相交或異面，故不正確；C若，則存在，使，又，則，故正確D若，且，則或，又由，故正確故選：B【答案點睛】本小題主要考查空間線線、線面和面面有關命題真假性的判斷，屬于基礎題.5、B【答案解析】根據(jù)圖象分析變化過程中在關鍵位置及部分區(qū)域，即可排除錯誤選項，得到函數(shù)圖象，即可求解.【題目詳解

9、】由題意，當時，P與A重合，則與B重合，所以,故排除C,D選項；當時，由圖象可知選B.故選：B【答案點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，正確表示函數(shù)的表達式是解題的關鍵,屬于中檔題.6、B【答案解析】，故選B點睛：本題主要考查利用橢圓的簡單性質(zhì)及橢圓的定義. 求解與橢圓性質(zhì)有關的問題時要結合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系. 7、D【答案解析】A項用平行于平面ABC的平面與平面MDN相交，則交線與平面ABC平行；B項利用線面垂直的判定定理；C項三棱錐與三棱錐體積相等，三棱錐的底面

10、積是定值，高也是定值，則體積是定值;D項用反證法說明三角形DMN不可能是直角三角形.【題目詳解】A項，用平行于平面ABC的平面截平面MND，則交線平行于平面ABC，故正確； B項，如圖：當M、N分別在BB1、CC1上運動時,若滿足BM=CN,則線段MN必過正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面，故正確；C項,當M、N分別在BB1、CC1上運動時,A1DM的面積不變,N到平面A1DM的距離不變,所以棱錐N-A1DM的體積不變,即三棱錐A1-DMN的體積為定值,故正確；D項,若DMN為直角三角形,則必是以MDN為直角的直角三角形,但MN的最大值為BC1,而此時DM,D

11、N的長大于BB1,所以DMN不可能為直角三角形,故錯誤.故選D【答案點睛】本題考查了命題真假判斷、棱柱的結構特征、空間想象力和思維能力，意在考查對線面、面面平行、垂直的判定和性質(zhì)的應用，是中檔題.8、B【答案解析】根據(jù)，利用指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出【題目詳解】解：，故選：B【答案點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題9、B【答案解析】由二項展開式定理求出通項，求出的指數(shù)為整數(shù)時的個數(shù)，即可求解.【題目詳解】，當，時，為有理項，共項.故選:B.【答案點睛】本題考查二項展開式項的特征，熟練掌握二項展開式的通項公式是解題的關鍵，屬于基礎題.10、D【答

12、案解析】由，可求出等比數(shù)列的通項公式，進而可知當時，；當時，從而可知的最小值為，求解即可.【題目詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，由題意得，得，解得，得.當時，；當時，則的最小值為.故選：D.【答案點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.11、C【答案解析】作，；，由題意，由二倍角公式即得解.【題目詳解】由題意，準線：，作，；，設，故，.故選：C【答案點睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.12、B【答案解析】根據(jù)三視圖可以得到原幾何體為三棱錐，且是有三條棱互相垂直的三棱錐，根據(jù)幾何體的各面

13、面積可得最大面的面積【題目詳解】解：分析題意可知，如下圖所示，該幾何體為一個正方體中的三棱錐，最大面的表面邊長為的等邊三角形，故其面積為，故選B【答案點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題，解題的關鍵是要能由三視圖解析出原幾何體，從而解決問題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】由已知利用誘導公式可求，進而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系即可求解.【題目詳解】，.故答案為：.【答案點睛】本小題主要考查誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系式，屬于基礎題.14、【答案解析】依題意可得，再根據(jù)求模，求數(shù)量積，最后根據(jù)夾角公式計算可得；【題目詳解】解：因為是夾角為的兩個單位向量所以，又，所

14、以，所以，因為所以；故答案為：【答案點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的運算律，以及夾角的計算，屬于基礎題.15、 【答案解析】復數(shù)且，故答案為，16、【答案解析】由解析式可分析兩函數(shù)互為反函數(shù),則圖象關于對稱,則點到的距離的最小值的二倍即為所求,利用導函數(shù)即可求得最值.【題目詳解】由題,因為與互為反函數(shù),則圖象關于對稱,設點為,則到直線的距離為,設,則,令,即,所以當時,即單調(diào)遞減；當時,即單調(diào)遞增,所以,則,所以的最小值為,故答案為:【答案點睛】本題考查反函數(shù)的性質(zhì)的應用,考查利用導函數(shù)研究函數(shù)的最值問題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見詳解；（

15、2）【答案解析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，由在處取得極值1，可得且.解出，構造函數(shù)，分析其單調(diào)性，結合，即可得到的范圍，命題得證；（2）由分離參數(shù)，得到恒成立，構造函數(shù)，求導函數(shù)，再構造函數(shù)，進行二次求導.由知，則在上單調(diào)遞增.根據(jù)零點存在定理可知有唯一零點，且.由此判斷出時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，則，即.由得，再次構造函數(shù)，求導分析單調(diào)性，從而得，即，最終求得，則.【題目詳解】解：（1）由題知，函數(shù)在，處取得極值1，且，令，則為增函數(shù)，即成立.（2）不等式恒成立，即不等式恒成立，即恒成立，令，則令，則,，在上單調(diào)遞增，且，有唯一零點，且，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.，由整理得，令，則方程

16、等價于而在上恒大于零，在上單調(diào)遞增，.，實數(shù)的取值范圍為.【答案點睛】本題考查了函數(shù)的極值，利用導函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點存在定理，證明不等式，解決不等式恒成立問題.其中多次構造函數(shù)，是解題的關鍵，屬于綜合性很強的難題.18、（1）（2）10【答案解析】（1）由二倍角的正弦公式以及正弦定理，可得，再根據(jù)二倍角的余弦公式計算即可；（2）由已知可得，利用余弦定理解出，由已知計算出與，再根據(jù)三角形的面積公式求出結果即可.【題目詳解】（1），在中，由正弦定理得，又，（2），由余弦定理得，則，化簡得，解得或（負值舍去），的面積.【答案點睛】本題考查了三角形面積公式以及正弦定理、余弦定理的應用，考

17、查了二倍角公式的應用，考查了運算能力，屬于基礎題.19、（1）能；（2）（i）男生有人，女生有人；（ii），分布列見解析【答案解析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)可完成列聯(lián)表由總人數(shù)及女生人數(shù)得男生人數(shù)，由表格得達標人數(shù)，從而得男生中達標人數(shù)，這樣不達標人數(shù)隨之而得，然后計算可得結論；（2）由達標人數(shù)中男女生人數(shù)比為可得抽取的人數(shù)，總共選2人，女生有4人，的可能值為0，1，2，分別計算概率得分布列，再由期望公式可計算出期望【題目詳解】（1）列出列聯(lián)表，所以在犯錯誤的概率不超過的前提下能判斷“課外體育達標”與性別有關（2）（i）在“鍛煉達標”的學生中，男女生人數(shù)比為，用分層抽樣方法抽出人，男生有人，女生有人

18、（ii）從參加體會交流的人中，隨機選出人發(fā)言，人中女生的人數(shù)為，則的可能值為，則，可得的分布列為：可得數(shù)學期望【答案點睛】本題考查列聯(lián)表與獨立性檢驗，考查分層抽樣，隨機變量的概率分布列和期望主要考查學生的數(shù)據(jù)處理能力，運算求解能力，屬于中檔題20、（1）,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【答案解析】（1）運用降冪公式和輔助角公式，把函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)解析式形式，根據(jù)已知，可以求出的值，再結合正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;（2）由（1）結合已知，可以求出角的值，通過正弦定理把問題的取值范圍轉化為兩邊對角的正弦值的比值的取值范圍，結合已知是銳角三角形，三角形內(nèi)角和定理，最后求出的取值范圍.【題目詳解】解：（1） 由已知，所以 因此令得