出租車(chē)數(shù)量估計(jì)趙朋飛修改版B題

1、寶雞文理學(xué)院2014年數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)第二次模擬姓名系別學(xué)號(hào)趙朋飛數(shù)學(xué)系201290014087王文鵬計(jì)科系201296014053葉鵬物理系201291024078出租車(chē)數(shù)量的估計(jì)問(wèn)題摘要本文運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的思想，解決了出租車(chē)數(shù)量的估計(jì)問(wèn)題。依據(jù)題目要求，我們建立了兩種估計(jì)模型，估算出了該小鎮(zhèn)出租車(chē)的數(shù)量，并且對(duì)模型的可靠性進(jìn)行了檢驗(yàn)。對(duì)于模型一：首先，題目所給樣本數(shù)據(jù)是隨機(jī)的，通過(guò)MATLAB軟件作圖，發(fā)現(xiàn)區(qū)間間隔為100時(shí)，落在每個(gè)區(qū)間車(chē)牌號(hào)數(shù)量是均勻分布的，即車(chē)牌號(hào)服從于均勻分布。而車(chē)牌號(hào)又是按順序排列的，所以樣本中的最小車(chē)牌號(hào)與最大車(chē)牌號(hào)趨近于該市機(jī)動(dòng)車(chē)出租車(chē)車(chē)牌號(hào)的起始號(hào)與終止號(hào)，試假設(shè)

2、該機(jī)動(dòng)車(chē)出租車(chē)車(chē)牌號(hào)區(qū)間為【24000,31999，進(jìn)而求出該市機(jī)動(dòng)車(chē)出租車(chē)的總數(shù)量為N=8000輛；然后，對(duì)于樣本中所給的出租車(chē)牌號(hào)，經(jīng)過(guò)后減運(yùn)算，得到每?jī)蓚€(gè)相鄰的車(chē)牌號(hào)之間間隔的車(chē)牌號(hào)數(shù)量，用EXCEL軟件排序并作圖，剔除了極端差值，其余求其平均數(shù),即每輛出租車(chē)車(chē)牌號(hào)之間間隔平均是Ax=55；最后計(jì)算出該小鎮(zhèn)出租車(chē)的數(shù)量n二146輛。對(duì)于模型二：由于模型一中確定該市機(jī)動(dòng)車(chē)出租車(chē)車(chē)牌號(hào)區(qū)間不甚精確，我們考慮對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化。首先，我們運(yùn)用了兩種方法估計(jì)了該市機(jī)動(dòng)車(chē)的總數(shù)量：方法一，引用盟軍估計(jì)德軍坦克數(shù)量的模型估計(jì)出該市機(jī)動(dòng)車(chē)的總數(shù)為8046；方法二，運(yùn)用極大似然估計(jì)函數(shù)確定該市機(jī)動(dòng)車(chē)出租車(chē)的車(chē)

3、牌號(hào)區(qū)間為24176,31982，經(jīng)端點(diǎn)值作差得出該市機(jī)動(dòng)車(chē)出租車(chē)的總數(shù)為7806；（這兩種方法貌似得去掉一個(gè)）將兩種方法（去掉）|所求的該市機(jī)動(dòng)車(chē)總數(shù)均值作為該市機(jī)動(dòng)車(chē)最終數(shù)量N=7928。然后，把樣本的車(chē)牌號(hào)每隔1000進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到每1000個(gè)車(chē)牌號(hào)中的出租車(chē)車(chē)牌數(shù)量，對(duì)得到的數(shù)據(jù)用SPSS軟件進(jìn)行檢驗(yàn)，顯示呈正態(tài)分布并得其均值y=17，采用極大似然估計(jì)法求得正態(tài)分布總體N（PQ2）中參數(shù)卩=y=17，即該市每1000輛機(jī)動(dòng)車(chē)出租車(chē)中有17輛出租車(chē)屬于分配在該小鎮(zhèn)。最后計(jì)算出該小鎮(zhèn)有出租車(chē)n=153輛綜合兩種模型，模型一對(duì)機(jī)動(dòng)車(chē)車(chē)牌號(hào)范圍的區(qū)間估計(jì)不夠精確，而模型二在估算機(jī)動(dòng)車(chē)牌號(hào)范圍的

4、區(qū)間時(shí)，恰當(dāng)運(yùn)用盟軍估計(jì)德軍坦克數(shù)量模型與極大似然估計(jì)法，比較精確地求得該市機(jī)動(dòng)車(chē)的數(shù)量。另外，模型二對(duì)車(chē)牌號(hào)分區(qū)間考慮使得估算更為合理。模型檢驗(yàn)中偏態(tài)系數(shù)與峰度系數(shù)對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析使得模型更為完善。（改為）最后我們對(duì)兩種模型的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了討論。關(guān)鍵字：極大似然估計(jì)正態(tài)分布SPSS軟件偏態(tài)系數(shù)峰度系數(shù)一、問(wèn)題重述小張寒假回到他的家鄉(xiāng)某小鎮(zhèn)，在出門(mén)探親訪友過(guò)程中，他發(fā)現(xiàn)小鎮(zhèn)的出租車(chē)，存在諸多問(wèn)題。他打算從小鎮(zhèn)的出租車(chē)數(shù)量入手，解決這些問(wèn)題。在接下來(lái)的幾天時(shí)間里，他隨機(jī)的記錄了133輛出租車(chē)車(chē)牌號(hào)的后5位見(jiàn)（附錄1。他只知道車(chē)牌號(hào)是按順序排列的，但他不知道車(chē)牌的起始號(hào)，也不知道車(chē)牌的終止號(hào)，他希望

5、通過(guò)上述數(shù)據(jù)估計(jì)出小鎮(zhèn)的出租車(chē)數(shù)量。要求幫助小張?jiān)O(shè)計(jì)一種或多種數(shù)學(xué)模型，來(lái)估計(jì)小鎮(zhèn)出租車(chē)的數(shù)量，并分析方法的可靠性。二、模型假設(shè)1、樣本統(tǒng)計(jì)過(guò)程中沒(méi)有考慮外來(lái)車(chē)輛2、該市機(jī)動(dòng)車(chē)的車(chē)牌號(hào)連續(xù)。3、該市機(jī)動(dòng)車(chē)與車(chē)牌號(hào)一一對(duì)應(yīng)。4、該市機(jī)動(dòng)車(chē)車(chē)牌號(hào)的后五位均由數(shù)字組成三、符號(hào)說(shuō)明符號(hào)含義N該市機(jī)動(dòng)車(chē)數(shù)量X(0)(i)i二1,2,133原始車(chē)牌號(hào)序列X(i)(i)i二2,-,133樣本相鄰車(chē)牌號(hào)的差值序列X差值的平均值A(chǔ)x倆車(chē)牌號(hào)的間隔n小鎮(zhèn)出租車(chē)數(shù)量卩樣本均值I、/._I_-2_S-樣本方差方差a樣本中最小的車(chē)牌號(hào)b樣本中最大的車(chē)牌號(hào)k樣本中車(chē)牌號(hào)的數(shù)量p該市機(jī)動(dòng)車(chē)下限的最大似然估計(jì)值q該市機(jī)動(dòng)車(chē)上

6、限的最大似然估計(jì)值卩總體均值Xi組中值Fi對(duì)應(yīng)比重a3a4偏態(tài)系數(shù)峰度系數(shù)、問(wèn)題分析本題屬于概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題。要估算出該小鎮(zhèn)出租車(chē)的數(shù)量，首先需要估算出該市機(jī)動(dòng)車(chē)出租車(chē)的數(shù)量。考慮到題目所給樣本數(shù)據(jù)是隨機(jī)的，通過(guò)MATLAB軟件作圖，發(fā)現(xiàn)區(qū)間間隔為100時(shí)，落在每個(gè)區(qū)間車(chē)牌號(hào)數(shù)量是均勻分布的，即車(chē)牌號(hào)服從于均勻分布。我們可以采用點(diǎn)估計(jì)，即以實(shí)際樣本指標(biāo)數(shù)值作為總體參數(shù)的估計(jì)值，估算出該市機(jī)動(dòng)車(chē)的數(shù)量，進(jìn)而估計(jì)出小鎮(zhèn)出租車(chē)數(shù)量。我們可以從以下兩種思路來(lái)求解：思路一：由于樣本中的車(chē)牌號(hào)均勻分布，考慮到所在地為小鎮(zhèn)且車(chē)牌號(hào)是按順序排列的，所給車(chē)牌號(hào)碼的最小值與最大值就非常趨近于起初號(hào)和終止號(hào)，所以假設(shè)車(chē)

7、牌號(hào)區(qū)間為24000，31999。經(jīng)過(guò)后減運(yùn)算，剔除壞數(shù)據(jù)，得出每?jī)奢v車(chē)牌號(hào)之間相差的個(gè)數(shù)，從而得出小鎮(zhèn)出租車(chē)的數(shù)量。思路二：對(duì)思路一中確定總體車(chē)牌號(hào)區(qū)間存在的不精確性，我們將其進(jìn)行優(yōu)化，可以用點(diǎn)估計(jì)1與極大似然函數(shù)（和摘要對(duì)應(yīng)，去掉一種方法）確定總體的車(chē)牌號(hào)區(qū)間。參照點(diǎn)估計(jì)中最小無(wú)偏估計(jì)，采用較為準(zhǔn)確的計(jì)算公式確定車(chē)牌號(hào)區(qū)間，即為該市機(jī)動(dòng)車(chē)總數(shù)，當(dāng)然，我們還可以利用極大似然函數(shù)確定車(chē)牌號(hào)區(qū)間。（與上對(duì)應(yīng)，去掉一種方法）其次，將樣本的車(chē)牌號(hào)每隔1000進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)求其平均值，把所得平均值與機(jī)動(dòng)車(chē)總數(shù)的千分之一的乘積作為該小鎮(zhèn)出租車(chē)數(shù)量的估計(jì)值。五、模型建立與求解5.1模型一：對(duì)于隨

8、機(jī)分布的樣本數(shù)據(jù)，若其服從于均勻分布，可取接近樣本最大值與最小值的數(shù)據(jù)作為總體區(qū)間的上下限，即區(qū)間a,b,進(jìn)而可得總體的數(shù)量為N二b-a+1據(jù)問(wèn)題分析知樣本中的車(chē)牌號(hào)均勻分布，且已設(shè)車(chē)牌號(hào)區(qū)間為24000,31999,故得總的車(chē)牌號(hào)數(shù)量，即該市機(jī)動(dòng)車(chē)的數(shù)量N二8000。由題目已給條件知原始車(chē)牌號(hào)序列：x(0)=x(o)(1),x(o)(2),，x(o)(133)即：x(0)二24176,24231,31982由后減運(yùn)算計(jì)算，即求出后前兩個(gè)數(shù)據(jù)之差：x(1)(i)二x(0)(i)x(0)(i-1)，其中i=2,-,133；可得一個(gè)新的序列：x(1)=x(1)(2),xw(3),x(1)(133)

9、利用EXCEL軟件，以此新序列排序作為縱坐標(biāo)并作圖1:數(shù)據(jù)差值圖017131925313743495561677379859197103109115121127圖1觀察圖1，發(fā)現(xiàn)中間部分有很多均勻的差值，兩端出現(xiàn)較大的波動(dòng)，忽略?xún)啥藰O端差值，即剔除40以下和90100以上的差值，其余求平均值，經(jīng)EXCEL軟件計(jì)算得平均值約為X=55，即兩車(chē)牌號(hào)之間間隔Ax=55。由此估計(jì)出出租車(chē)數(shù)量為：Nn=-Ax結(jié)合以上數(shù)據(jù)，估計(jì)出該小鎮(zhèn)共有出租車(chē)146輛。5.2模型二（去掉一種方法，建議去掉盟軍模型）估計(jì)樣本對(duì)應(yīng)總體的取值空間（該市機(jī)動(dòng)車(chē)數(shù)量）：方法一：在統(tǒng)計(jì)學(xué)理論的估計(jì)中，用不放回抽樣來(lái)估計(jì)離散型均勻分

10、布最大值問(wèn)題是著名的德國(guó)坦克問(wèn)題1。針對(duì)該問(wèn)題，建立盟軍估計(jì)德軍坦克數(shù)量模型。對(duì)于點(diǎn)估計(jì)（實(shí)際樣本指標(biāo)數(shù)值作為總體參數(shù)的估計(jì)值），最小方差無(wú)偏估計(jì)由下式給出并以此確定總體取值區(qū)間：Mk+1N二b-aka是樣本最小值，b是樣本最大值，k是樣本大小。題目中所給車(chē)牌號(hào)為隨機(jī)抽取的一組數(shù)據(jù)，其為離散均勻分布,結(jié)合題目已知，樣本中出租車(chē)車(chē)牌號(hào)的最小值a二24176，出租車(chē)車(chē)牌號(hào)的最大值b=31982，出租車(chē)數(shù)量k二133，代入以上公式求得N二8046。即在車(chē)牌號(hào)連續(xù)的情況下，可估計(jì)該市機(jī)動(dòng)車(chē)數(shù)量N=8046方法二：再者，我們可以以極大似然估計(jì)來(lái)確定總體取值區(qū)間：設(shè)總體C在p,q上服從于均勻分布，x,x,

11、，x是一個(gè)樣本值，我們來(lái)確p,q的最12n大似然估計(jì)量：記x=min(x,x,x)，x=max(x,x，x)，C的概率密度是(1)12n(n)12n1,pxqf(x；p,q)=q-P0,elseqx。似然函數(shù)為（n）由于p&FT,q，等價(jià)于pxa）L(p,q)二1(q-p)n1(x-x)nn1即L(p,q)在p=x,q=x時(shí)取到最大值(x-x)-n。(1)(n)(n)(1)故p,q的最大似然估計(jì)值為：p=x=minx,q二x二max1in1(n)1in即：p=minX,q=maxX1ini1i0因此指定區(qū)間出租車(chē)車(chē)牌數(shù)量為左偏分布，即在總體區(qū)3間確定的情況下，推理說(shuō)明機(jī)動(dòng)車(chē)車(chē)牌號(hào)大多分布于前半

12、區(qū)間24000,27999。2.峰度及其測(cè)度：峰度是分布集中于高峰的形態(tài)。它通常是與正態(tài)分布相比較來(lái)說(shuō)的，在歸化到同一方差時(shí)，若分布的形狀比正態(tài)分布更瘦更高（太口語(yǔ)化），則稱(chēng)為尖峰，若比正態(tài)分布更矮更胖（太口語(yǔ)化），則稱(chēng)為平峰分布。峰度系數(shù)是離差四次方的平均數(shù)，再除以標(biāo)準(zhǔn)差的四次方，其計(jì)算公式為：f（X-y）4Fiia=i-i4Ng4式中：a表示峰度系數(shù)，g4是標(biāo)準(zhǔn)差的四次方。已知正態(tài)分布的峰度系數(shù)為3，當(dāng)4a3時(shí)為尖峰分布，當(dāng)a3時(shí)為扁平分布。44在模型二（2）統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中16,18,13為對(duì)應(yīng)區(qū)間出租車(chē)車(chē)牌數(shù)量，利用EXCEL軟件可求得峰度系數(shù)a-0.99（求解過(guò)程見(jiàn)附錄3）。4由于偏態(tài)系數(shù)

13、a-0.99=3，因此指定區(qū)間出租車(chē)車(chē)牌數(shù)量為扁平分布，且扁平程度4相當(dāng)大，推理說(shuō)明機(jī)動(dòng)車(chē)車(chē)牌號(hào)趨于均勻分布，與題目所給數(shù)據(jù)隨機(jī)性相符。七、模型評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)：1、模型二在計(jì)算機(jī)動(dòng)車(chē)牌號(hào)范圍的區(qū)間時(shí)，分別用了點(diǎn)估計(jì)和極大似然估計(jì)法，較為精確。2、對(duì)樣本數(shù)據(jù)處理時(shí)，觀測(cè)發(fā)現(xiàn)區(qū)間為1000時(shí)的出租車(chē)牌號(hào)大致呈正態(tài)分布，但模型二將數(shù)據(jù)通過(guò)SPSS軟件驗(yàn)證，結(jié)果確為正態(tài)分布，這樣就增加了模型的精確程度。3、模型一簡(jiǎn)單易懂，計(jì)算簡(jiǎn)潔，具有直觀性。缺點(diǎn)：1、模型一對(duì)機(jī)動(dòng)車(chē)牌號(hào)范圍的區(qū)間估計(jì)不甚精確。2、模型沒(méi)有考慮非本地的出租車(chē)的混入，從而對(duì)結(jié)果造成了誤差八、模型應(yīng)用與推廣基于以上模型的建立，我們得到了一個(gè)以給定一組樣本數(shù)據(jù)為基準(zhǔn)，來(lái)估計(jì)出總體數(shù)量的模型，并且還可以分析模型的可靠性，增加了模型的實(shí)用性。不難想象，可以將此模型應(yīng)用于交通流量的測(cè)量、電器可靠性的分析、