大學數(shù)學與中學數(shù)學的關系及其對中學數(shù)學教學的作用

1、大學數(shù)學與中學數(shù)學的關系及其對中學數(shù)學教學的作用【摘要】大學數(shù)學專業(yè)的主要任務是培養(yǎng)合格的中學數(shù)學教師,然而在大學數(shù)學的教學活動中,常常有學生向教師提出:“大學數(shù)學在中學數(shù)學教學中用不上”,甚至有的中學教師也持此種看法。這不僅影響了大學數(shù)學專業(yè)學生學習大學數(shù)學的主動性也挫傷了一些在職教師教授、進修大學數(shù)學的積極性。讓此看法漫延,無疑將影響我國的數(shù)學教育工作。我們認為,持此類看法的大學學生和在職教師,恰恰是對數(shù)學的理解比較膚淺,對大學數(shù)學課對中學數(shù)學教學工作的指導作用認識不夠所造成的;另一方面也使我們大學教師認識到,應當努力改革大學數(shù)學課的教學工作,提高學生對大學數(shù)學課對中學數(shù)學教學的指導工作的

2、認識?！娟P鍵詞】大學數(shù)學中學數(shù)學聯(lián)系指導作用.Universitymathematicsrelationshipwiththemiddleschoolmathematicsanditseffectonmiddleschoolmathematicsteaching【Abstract】Themaintaskofmathematicsinnormaluniversitiesistocultivatequalifiedmiddleschoolmathematicsteachers,incollegemathematicsteachingactivity,however,oftenhaveastuden

3、taskedtheteacher:notinthemiddleschoolmathematicsteachinginhighermathematics,andevensomemiddleschoolteachersalsoholdthisview.Thisnotonlyaffectstheinitiativeofstudentlearningofmathematicsinnormaluniversitiesofhighermathematicsprofessoralsodampenedsomein-serviceteachers,studytheenthusiasmofhighermathem

4、atics.Letthisview,willundoubtedlyaffectourcountrysmathematicseducationwork.Webelievethatwiththeviewofcollegestudentsandteachers,itistheunderstandingofmathematicsissuperficialandmathinmiddleschoolmathematicsteachinginthenormaluniversitiesworkcausedbytheguidancetoknowenough;Ontheotherhandalsotomakeour

5、collegeteachersrealizethatshouldstrivetoreformcollegemathematicsteaching,improvestudentsmathinmiddleschoolmathematicsteachinginthenormaluniversitiesguidanceworkKeywords】Universitymathematicsmiddleschoolmathematicsguidingfunctionconnection.目錄1.引言52初等數(shù)學與高等數(shù)學的聯(lián)系52.1初等數(shù)學是高等數(shù)學的基礎，二者有本質(zhì)的聯(lián)系62.2知識方面的聯(lián)系82.3思

6、想方面的聯(lián)系83大學數(shù)學教學與中學數(shù)學教學的主要差異93.1內(nèi)容上的差異93.2教師教學方法上的差異93.3學生學習方法上的差異94高師數(shù)學課對中學數(shù)學教學的指導作用104.1從初等數(shù)學與高等數(shù)學的聯(lián)系看高等數(shù)學對中學數(shù)學教學的指導作用104.2從教師素質(zhì)看高等數(shù)學對中學數(shù)學教學的指導作用104.3從數(shù)學教育教學的研究看高等數(shù)學對中學數(shù)學教學的指導作用114.4從中學數(shù)學的教學過程看高等數(shù)學對中學數(shù)學教學的指導作用125數(shù)學分析課程對中學數(shù)學教學的指導作用125.1數(shù)學分析為中學數(shù)學中的一些問題和方法提供了理論依據(jù)125.2數(shù)學分析的學習有助于記憶公式，證明等式，研究變量關135.3用高觀點分

7、析和處理中學數(shù)學中的一些問題135.4用數(shù)學分析的理論和思想指導，編擬中學數(shù)學練習題136總結13參考文獻141引言近幾年來大學師范院校數(shù)學系的不少大學生對學習大學數(shù)學存在不少看法如“現(xiàn)在學的大學數(shù)學好像與中學數(shù)學沒有多大聯(lián)系”,“學習大學數(shù)學對今后當中學數(shù)學教師作用不大”,有的甚至提出“大學數(shù)學在中學教學里根本用不上”等等.這些看法正如著名數(shù)學家克萊因早已指出的那樣“新的大學生一入學就發(fā)現(xiàn)他面對的問題好像和中學里學過的東西一點也沒有聯(lián)系似的，但是畢業(yè)以后當了老師，他們又突然發(fā)現(xiàn)要他們按老師的教法來教傳統(tǒng)的中學數(shù)學，卻由于缺乏指導，他們很難辨明當前數(shù)學內(nèi)容和所受大學數(shù)學訓練之間的聯(lián)系，于是很快

8、墜入相沿成習的教學方法，而他們所受的大學訓練至多成為一種愉快的回憶，卻對他們對教學毫無影響.”然而現(xiàn)在在新的數(shù)學教材中已經(jīng)出現(xiàn)了一些基礎的高等數(shù)學知識，這可以說是數(shù)學發(fā)展的一種必然趨勢，所以現(xiàn)在的中學數(shù)學教師必須掌握大學數(shù)學的基礎知識以適應數(shù)學發(fā)展和教材改革.所以大學數(shù)學知識在開闊視野、指導數(shù)學解題、指導數(shù)學教學、對初等數(shù)學問題加以詮釋等方面的作用就尤為突出了.中學數(shù)學與大學數(shù)學的聯(lián)系一般說來,數(shù)學史家把數(shù)學的發(fā)展分成四個階段（萌芽時期、初等數(shù)學時期、古典高等數(shù)學時期、現(xiàn)代高等數(shù)學時期）或五個時期（再加上“當代時期”）.無論何種方法都把第二發(fā)展時期叫做“初等數(shù)學時期”這個時期的數(shù)學知識和經(jīng)驗就

9、是“初等數(shù)學”,而把第三、第四或第三、四、五階段叫做“高等數(shù)學時期”,這些階段的數(shù)學知識和經(jīng)驗就是“高等數(shù)學”理論意義下的初等數(shù)學和高等數(shù)學是按照恩格斯（Engles）的經(jīng)典分法所謂初等數(shù)學就是指常量數(shù)學，高等數(shù)學就是指變量數(shù)學，并把笛卡爾（RDescartes）1637年發(fā)明的解析幾何看成為出現(xiàn)高等數(shù)學或進入高等數(shù)學時期的標志，而教育意義下的初等數(shù)學和高等數(shù)學是依據(jù)教育的發(fā)展歷程和教育的等級加以區(qū)分的即視普通初等、中等教育（即中、小學教育）階段的數(shù)學主要內(nèi)容為初等數(shù)學，視高等教育階段的數(shù)學主要內(nèi)容為高等數(shù)學.當然由于社會和教育的思想、方法、手段尤其是教育內(nèi)容都在不斷發(fā)展“初等數(shù)學”和“高等數(shù)

10、學”也是一個變化的客體對象兩者沒有嚴格的概念區(qū)別.事實上，數(shù)學科學是一個不可分割的整體，它的生命力在于各部分之間的有機聯(lián)系，只從學科表面上看難以看清兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系，這就需要深入研究初等數(shù)學，理清其中最基本的思想和方法，努力尋求初等數(shù)學和高等數(shù)學的結合點.初等數(shù)學是高等數(shù)學的基礎，二者有本質(zhì)的聯(lián)系將高等數(shù)學的理論應用于初等數(shù)學，使其內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系得以體現(xiàn)，進而去指導初等數(shù)學的教學工作是一個值得研究的課題.俗話說，站得高才能看得遠.2)因此筆者認為,作為中學教師除掌握中學數(shù)學各種類型題的已熟知的初等方法外,還應善于用高等數(shù)學方法解決中學數(shù)學問題,特別是一些用初等數(shù)學方法難以解決或雖能解決但顯得

11、難、繁而用高等數(shù)學方法則易于解決的中學數(shù)學問題,從而拓廣解題思路和技巧,提高教師專業(yè)水平,促進中學數(shù)學教學.下面略舉幾例說明.例1.證明：當a,b,c0時，有不等式a3+b3+c33abc.證明：設f(x)=x3+b3+c3-3bcx,xg(0,),f(x)=3x2一3bc令f(x)=0，即3x2-3bc二0,解得駐點x=，且%g(0,、bc),有f(x)0，知函數(shù)f(x)在點x=莎取極小值，其極小值為fGbc)=(bc)3+b3+c3-3bc*bc=b3一2bc、bc+c3=(yb3：c3)0.由于f(x)在(0,上連續(xù)，且只有一個極小點，因此這個極小點就是最小點，則Vxg(0,+s)，有f

12、If(x)二x3+b3+c33bcx(Ib3vc3)20.令x二a，于是，a3+b3+c33abc0,即a3+b3+c33abc.例2.已知數(shù)列a滿足a=1,a=a+2n-1,求數(shù)列通項a.n1n+1nn解：設f(x)=a,xg1,+s),且f(1)=1,f(x+1)=f(x)+2x-1.x1)顯然當x=n(GN)時，有f(n+1)f(n)+2n1或aa+2n1.n+1n當x1時，有f(1+1)f(1)+2-12.對(1)式兩邊關于x求導，得-勿+2丄刊/232-2nln2.從而fn)廣(n1)+2n-1ln2f(1)+2ln2+2n-2ln2+2n-1ln2故f(x)f(1)+2xln2-2

13、ln2的原函數(shù)為2g-1-1)f(x)Jf(x)dxJfdx+f2xln2dx-2Ai2dxf(1)+2nln2-2ln2,將f(1)1,f-2代入(2)式，得方程組J2ln21f(1)+c4ln222廣(1)+c解此方程組，得廣二21n2-1,c二0并將其代入(2),且令x=n,f(n)(2ln21)n+2n2ln2n2nn,C0C1Cn即n+n+l.12n+1高等數(shù)學的許多方法和技巧都能直接應用于中學數(shù)學解題,它常能起到以簡馭繁并能使問題得以深化和拓廣的作用.以上只是給出兩個實例說明高等數(shù)學能指導中學數(shù)學解決初等代數(shù)和初等幾何且收到了很好的效果.在教學過程中結合具體內(nèi)容不失時機地介紹給學生

14、對于豐富學生的解題方法特別是作為教師在將來的數(shù)學教學中用它來預測答案確定初等解法的路線構造習題檢驗結果都有重要的作用。知識方面的聯(lián)系高等代數(shù)在知識上是中學數(shù)學的繼續(xù)和提高它能解釋許多中學數(shù)學未能說清楚的問題如多項式的根及因式分解理論、線性方程組理論等從以下幾個方面說明首先中學代數(shù)講多項式的加、減、乘、除運算法則.高等代數(shù)在拓寬多項式的含義嚴格定義多項式的次數(shù)及加法、乘法運算的基礎上接著講多項式的整除理論,最大公因式理論.中學代數(shù)給出了多項式因式分解的常用方法.高等代數(shù)首先用不可約多項式的嚴格定義解釋了“不可再分”的含義,接著給出了不可約多項式的性質(zhì)、唯一因式分解定理及不可約多項式在三種常見數(shù)域

15、上的判定.中學代數(shù)講一元一次方程、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根與系數(shù)的關系.高等代數(shù)接著講一元n次方程根的定義,復數(shù)域上一元n次方程根與系數(shù)的關系及根的個數(shù)實系數(shù)一元n次方程根的特點,有理系數(shù)一元n次方程有理根的性質(zhì)及求法,一元n次方程根的近似解法及公式解簡介中學代數(shù)講二元一次、三元一次方程組的消元解法,高等代數(shù)講線性方程組的行列式解法和矩陣消元解法、講線性方程組解的判定及解與解之間的關系中學代數(shù)學習的整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)、復數(shù)為高等代數(shù)的數(shù)環(huán)、數(shù)域提供例子,中學代數(shù)學習的有理數(shù)、實數(shù)、復數(shù)、平面向量為高等代數(shù)的向量空間提供例子,中學代數(shù)中的坐標旋轉(zhuǎn)公式成為高等代數(shù)中坐標變換公式的例子

16、.思想方面的聯(lián)系中學數(shù)學思想和方法主要體現(xiàn)為三個層次第一層次指數(shù)學各分科的具體解題方法和解題模式如代數(shù)中的加減消元法、代入消元法、韋達法、判別式法、公式法、非負數(shù)法、放縮法、錯位相消法、復數(shù)法、數(shù)學歸納法等等,幾何中的平移、旋轉(zhuǎn)、對稱、相似、輔助線及輔助面的作法、面積方法、體積方法、圖形及幾何體的割補方法、三角形奠基法等等還有在解題教學中教師概括出來的具體解題模式、教科書給出的各種具體的解題程序和模式；第二層次指適用面很廣的一些“通法”如配方法、換元法、待定系數(shù)法、分離系數(shù)法、消元法、降次法、數(shù)形結合法、一般化與特殊化法、參數(shù)法、反證法、同一法、觀察與實驗、比較與分類、分解與組合、分析與綜合、

17、歸納與演繹、類比與聯(lián)想、抽象與概括等等；第三層次指數(shù)學觀念即人們對數(shù)學的基本看法和概括認識如推理意識、整體意識、抽象意識、化歸意識、數(shù)學美的意識等等在高等數(shù)學教育活動中，上述數(shù)學思想和方法將得到進一步強化.高等數(shù)學各分支學科中幾乎滲透了三個層次的思想和方法在空間解析幾何、高等幾何、微分幾何等學科中明顯滲透著第一層次的思想和方法,第二、第三層次的思想和方法是數(shù)學學習和研究的重要方法,在各層次的數(shù)學教學活動中都應該重視這些思想和方法的訓練.除上述所舉的思想和方法外,高等數(shù)學各分支學科中也滲透著許多新的思想和方法如分析中的極限法、微分法、積分法等等;代數(shù)中的求公因式法、線性方程組的矩陣解法、二次型的

18、正負判定法、線性變換法等等現(xiàn)代中學數(shù)學和高等數(shù)學教學的一個顯著特征就是注重知識形成過程的教學形成和發(fā)展學生的數(shù)學思想和方法,會用數(shù)學思想和方法來解決問題.大學數(shù)學教學與中學數(shù)學教學的主要差異內(nèi)容上的差異大學數(shù)學較之中學數(shù)學,其概念更具抽象性.中學數(shù)學是常量數(shù)學,它所研究的對象基本上是常量關系和平面,空間的直線形與簡單的曲線、曲面,其概念較為簡單、直觀,容易被接受理解.大學數(shù)學是變量數(shù)學,研究的對象是客觀世界中更為廣泛、抽象的空間形式與數(shù)量關系,很多概念較為抽象,難于理解.大學數(shù)學理論更為堅深,縱橫聯(lián)系更為緊密、廣闊,應用更具有廣泛性、綜合性.中學生一般聽課后就能做作業(yè),而大學生僅把課堂內(nèi)容聽懂

19、了,不一定就能做作業(yè),只有融會貫通之后才能完成作業(yè).教師教學方法上的差異中學數(shù)學教師非常重視課堂教學,講究,用生動、形象的語言吸引學生.每堂課基本上采用邊講邊練邊討論的方法,講授的內(nèi)容較少,在講了典型例題和方法之后,一般安排相同類型的習題,讓學生當堂掌握、鞏固,對概念、理論較少作詳細討論和拓廣.特別近幾年一些中學為了追求升學率,教師都將知識嚼得細細的,然后一口一口喂給學生,搞題海戰(zhàn)術,使學生的主觀能動性受到壓抑,造成高分低能現(xiàn)象.而大學數(shù)學教師在課堂上基本上是滿堂灌,與學生討論少,講授的內(nèi)容多.教師在知識的深化、拓廣上下的功夫較多,非常強調(diào)數(shù)學語言的準確性.對概念的討論、定理的條件和結論以及嚴

20、格論證都比較重視,而對語言的形象化、板書等考慮得少一些,許多問題留給學生自己考慮,給學生的自學留下了很大的余地.學生學習方法上的差異中學生一般不做數(shù)學筆記,很少讀書,上課只注意聽講,然后是完成老師布置的作業(yè).采用的是“背”（即背公式和定理）和“套”（即做題套公式或例題）的學習方法,很少作前后內(nèi)容的相互聯(lián)系、比較,對老師的依賴性很大.大學生的學習則主要由自己完成.課前做好預習,課堂上抓住重點、難點,做好筆記,課后搞好復習,通過反復閱讀教材、參考書,加深對概念和定理的理解和掌握,善于在學習中摸索規(guī)律,尋求適合自己的學習方法,逐步培養(yǎng)較強的獨立工作能力.高師數(shù)學課對中學數(shù)學教學的指導作用4.1從初等

21、數(shù)學與高等數(shù)學的聯(lián)系看高等數(shù)學對中學數(shù)學教學的指導作用一般說來,中學數(shù)學課中的數(shù)學內(nèi)容屬于初等數(shù)學,大學數(shù)學課中的數(shù)學內(nèi)容屬于高等數(shù)學。它們既有區(qū)別又有聯(lián)系,更是不可分割的。初等數(shù)學的內(nèi)容是十七世紀以前人類所創(chuàng)造的數(shù)學成果。其主要內(nèi)容是算術、初等代數(shù)、初等幾何以及三角學等。高等數(shù)學的內(nèi)容是十七世紀以后發(fā)展的近現(xiàn)代數(shù)學。從數(shù)學發(fā)展的歷史看,由于人類受其認識力所限夕就其創(chuàng)造的初等數(shù)學內(nèi)容和方法,表現(xiàn)為形而上學的、靜止的、孤立片面的,正如恩格斯所指出的:“由于笛卡爾變量的發(fā)明,辯證法和運動進入了數(shù)學領域,而這立即引起無窮小概念的發(fā)展”。從這種意義上講,高等數(shù)學是數(shù)學的高級形態(tài),它的內(nèi)容和方法更抽象且

22、對事物的認識更深刻、更本質(zhì),對客觀事物的運動規(guī)律描述得更準確。例如,圓面積公式、球面積公式、球體積公式以及描述物體運動的速度與加速度等都只有在高等數(shù)學中得到圓滿解決,因為都要用到極限思想。日本數(shù)學家米山國藏指出:“離開極限思想初等數(shù)學內(nèi)容便所剩無九了”。可見初等數(shù)學是粗糙的,也是沒有多少實際用場的。高等數(shù)學與初等數(shù)學是一般與特殊的關系,一般概括了特殊但又寓于特殊之中,高等數(shù)學方法更能反映一般物質(zhì)的運動過程:而特殊性構成了各種不同物質(zhì)運動的特殊本質(zhì)。為了有效地描述事物的靜止狀態(tài),又必須掌握初等方法,因此初等數(shù)學也是不可忽視的,沒有它也就不可能產(chǎn)生高等數(shù)學。由上可知,無論是傳道、授業(yè)、解惑的傳統(tǒng)教

23、師,還是引導學生進行數(shù)學活動的現(xiàn)代教師,都必須學習高等數(shù)學、深諧高等數(shù)學的內(nèi)容、精神、思想和方法。很難想象連圓面積公式的來龍去脈都不知道的人,能成為一個優(yōu)秀的中學教師,至多是一個對中學數(shù)學知識、內(nèi)容和解題方法比較熟悉,只能將教材內(nèi)容較為準確地_轉(zhuǎn)告給學生的教師罷了,所造就的學生恐怕也只能是背誦概念、解題的機器。從教師素質(zhì)看高等數(shù)學對中學數(shù)學教學的指導作用人們常說:“師高弟子強”,只有高水平的教師才能培養(yǎng)出高水平的學生,只有高素質(zhì)的教師才能培養(yǎng)出高素質(zhì)的學生。而教師素質(zhì)包括從事教學所必備的素質(zhì)和專業(yè)素質(zhì),就數(shù)學教師而言,這種專業(yè)素質(zhì)表現(xiàn)為:有一個合理的高效能的知識結構和良好的智能結構。下面我們從

24、知識結構和智能結構來談談高師數(shù)學課對中學數(shù)學教學的指導作用。我們知道,教師應具備廣博的知識,實際上要求教師應具備一個良好的知識結構,而一個合理的高效能釣知識結構應有一個核心,保護層知識及最外層的常識性知識。就數(shù)學教師而言,數(shù)學、教育學和心理學是核心,哲學、美學、計算機科學、系統(tǒng)論、信息論、控制論等是保護層歷史、文學藝術、社會學等是最外層的常識性知識,這樣既有助于生活,也有助于創(chuàng)造性地從事數(shù)學教學活動。鑒于高師院校的學制年限,高師院校不可能通過教育給學生形成一個完整的知識結構夕通常只能給學生一個合理的高效能的知識結構的內(nèi)核夕學生可圍繞這個知識結構的內(nèi)核通過自學和其它形式的學習活動而獲得。由于數(shù)學

25、教師知識結構的內(nèi)核由數(shù)學、教育學和心理學構成,而數(shù)學可以說是核心的核心。由于初等數(shù)學的內(nèi)容和方法是不系統(tǒng)的、粗糙的,這就決定了居數(shù)學教師知識結構核心地位的數(shù)學不能由初等數(shù)學來承擔,事實上數(shù)學知識本身也有一個知識結構的問題,它包括數(shù)學基本理論類、數(shù)學史數(shù)學哲學類和數(shù)學教育類?？傊?數(shù)學教師的數(shù)學知識起碼要求就是對初等數(shù)學中的問題的來龍去脈都必須知道。我們不妨考察一下中學數(shù)學中的代數(shù)式及解方程的內(nèi)容,這兩方面的討論在中學都是不系統(tǒng)的、不全面,只有在高等代數(shù)中才能較為系統(tǒng)地研究它們夕并用統(tǒng)一的方法去處理它們,因而才能解決初等數(shù)學中無法講或只能含糊講的問題。舉幾個簡單例子:如在復數(shù)域、實數(shù)域和有理數(shù)域

26、上分解因式,什么時候才算分解到了最后呢?在中學教學中是無法給學生講述清楚的,但做為教師,卻不能不清楚復數(shù)域、實數(shù)域和有理數(shù)域上的不可約多項式的形式以及判別方法吧。又如對數(shù)的認識，汀是一個無理數(shù)其反證法在中學數(shù)學中有所論及,但用同樣的方法是否可以證明丫3、宀、n：P（P為素數(shù)）也是無理數(shù)嗎?再如（一1）X（一1）為什么等于1呢?象這樣的問類，雖然學生不一定提到，但做為教師是不是應該清楚呢重所有這些例子說明數(shù)學教師的數(shù)學知識不能僅有初等數(shù)學知識，他必須學習一定的高等數(shù)學知識。那么是不是只學習對中學知識有用的零散的一些高等數(shù)學知識就夠了呢?我們認為象這樣實用的想法同樣是行不通的。數(shù)學的發(fā)展告訴我們，

27、數(shù)學有其自身的發(fā)展規(guī)律，特別是數(shù)學發(fā)展到今天，已形成了一個具有幾十個甚至上百個分支的龐大科學體系，而每一個分支可以說都是一個特別的演繹體系，有其自身的思想和方法，任何想把“有用知識”獨立.出來的想法都是行不通的，只有一步一個腳印地從最基礎的理論開始，系統(tǒng)地學習它。如球的體積公式不系統(tǒng)地學習數(shù)學分析能認識嗎?顯然不行，只有我們系統(tǒng)地學習高等數(shù)學并融匯貫通各門數(shù)學知識，才能理解數(shù)學的精神、思想和方法，才能“看清”初等數(shù)學知識，這也是高師數(shù)學專業(yè)必須學習十幾門數(shù)學課的原因所在。而且一個好的數(shù)學教師還應該樹葵心終身教育的思想，活到老學到老，不斷豐富更新自己的數(shù)學知識結構。,另一方面就是數(shù)學教師應有一個

28、良好的智能結構。一般說來,一個合格的中學數(shù)學教師的良好智能結構包括如下一些能力:敏銳的觀察能力,高度發(fā)展的思維能力孚良好的想象力,以及數(shù)學表達能力（口頭和書面的）,數(shù)學審美能力、自學能力、組織管理能力、科研能力等,而數(shù)學活動是人類的精神活動,數(shù)學成果是人類最高超的智力成就,因此數(shù)學材料包含著豐富的智能價值。但是應當看到數(shù)學的發(fā)展實際上也受到人類認識力的限制,正因為如此初等數(shù)學中所反映的觀察力、思維力和想象力都是初級的。就思維力而言,良好的思維力應有如下一些特點:目的性、廣泛性、深刻性、批判性、創(chuàng)造性、條理性、靈活性和敏捷性,思維力的這些特性的培養(yǎng)能否通過初等數(shù)學來培養(yǎng)呢?我們認為由于初等數(shù)學的

29、內(nèi)容和方法是形而上學的、靜止的、孤立的,它們一般是不可能提供上述特性的。從這個意義上講,只有通過學習高等數(shù)學,才能提高中學數(shù)學教師的思維力,因而才能提高中學數(shù)學教師的智能。從上面不難看出,要具備一個合格中學數(shù)學教師的素質(zhì),必須學習高等數(shù)學。從數(shù)學教育教學的研究看高等數(shù)學對中學數(shù)學教學的指導作用中學數(shù)學教育教學研究包括兩個方面的內(nèi)容:對教材所載的數(shù)學材料的教育價值的研究以及怎樣才能在教學過程中有效地、高效率地實現(xiàn)這些數(shù)學材料的教育價值。而數(shù)學的教育價值包括知識價值、智能價值和思想教育價值三個方面,它是我們在備課中制定教學目的基礎,一般說來,一個數(shù)學材料的知識價值容易理解,而對數(shù)學的智能價值與思想

30、教育價值卻要求教師必須深諧數(shù)學的創(chuàng)造與發(fā)展過程,以及在數(shù)學創(chuàng)造過程中所表現(xiàn)出來的人類精神活動的種種特征,深刻理解數(shù)學的思想和方法,所有這些都要求從事數(shù)學教學的教師具有很高的數(shù)學造詣。日本數(shù)學家米山國藏的名著數(shù)學的精神、思想和方法,井中、沛生的從數(shù)學教育到教育數(shù)學以及張景中的數(shù)學家的眼光都是這方面的典型例子。從中學數(shù)學的教學過程看高等數(shù)學對中學數(shù)學教學的指導作用數(shù)學教學過程是實現(xiàn)中學數(shù)學教學目的的根本途徑。而中學數(shù)學教學目的包括傳授知識、發(fā)展智能和提高思想等三個方面的內(nèi)容,首要的是要發(fā)展學生的智能。這就決定了中學數(shù)學教學過程中教師不再是按部就班地、機械地傳授知識,而是努力實現(xiàn)智能化、創(chuàng)造化、審美

31、化,因而數(shù)學教師的勞動是一種創(chuàng)造性勞動。蘇聯(lián)數(shù)學教育家AA斯托利亞爾指出：“數(shù)學教育是數(shù)學活動的教育”隨著教育改革的深入,這一現(xiàn)代數(shù)學教育觀也日益深入人心,在這種教育觀念下,數(shù)學教學過程便是教師引導學生從事數(shù)學活動夕它要求學生參與到數(shù)學教學過程中從事一定的數(shù)學活動。這一教學過程觀就是要求數(shù)學教師從“主要演員”角色逐漸變成“編劇”和“導演”,并在一定程度上仍充當“主演”角色,然而無論是作“編劇”、“導鎮(zhèn)”和“主演”都要求中學數(shù)學教師必須具備很高的數(shù)學素質(zhì)和數(shù)學修養(yǎng)。“編導”和“演奏”得好不好將直接影響到自己的學生,正如一位數(shù)學教師所說:“一個數(shù)學教師就象一個獨奏表演者,憑著自己的理解、領會和功力

32、去演繹音樂作品,但要演繹得美妙,表演者本人必須先了解作品。所以不論你喜歡也好,不喜歡也好;自覺也好,不自覺也好;你對數(shù)學的看法一定流露反映于教學中。這說明了數(shù)學本質(zhì)的探討雖是哲學上的問題,卻并非與日常教學毫不相干的。一個把數(shù)學看成單單是工具的教師,他只會給出大量的公式和刻板的例題;一個把數(shù)學看成單單是邏輯體系的教師,他會依循一種有條不紊卻異常乏味的“定義一一公理一一定理系”方式去教授;一個把數(shù)學看成單單是智力游戲的教師,他會偏愛刁鉆難題而忽視基本功夫;一個認為數(shù)學除了包括以上各方面外還有更豐富內(nèi)涵的教師,他的教學風格自然有別”。此看來,一個數(shù)學教師除了要有必備的專業(yè)知識和良好的智能外,還應對數(shù)

33、學有深刻的認識,由于初等數(shù)學和高等數(shù)學的區(qū)別和聯(lián)系不難看出,只材努力學習高等數(shù)學才可能不斷提高對數(shù)學的認識,從這個意義上講,在高師數(shù)學過程中學到的數(shù)學知識還是不夠的,有可能的話,還應努力學習一些現(xiàn)代數(shù)學知識,不斷從數(shù)學學習中吸取營養(yǎng),充實自己,努力實現(xiàn)教學過程的最優(yōu)化。綜上所述,我們看到高等數(shù)學對中學數(shù)學教學是具有指導作用的,那種認為高等數(shù)學在中學數(shù)學教學中用不上的觀點是站不住腳的。需要指出的是:高等數(shù)學對中學數(shù)學教學的指導作用不是說高等數(shù)學對中學數(shù)學教學有何直接作用,而主要是指高等數(shù)學對中學數(shù)學教學有著不可估量的間接作用,正是這種間接作用是每個中學數(shù)學教師不可缺少的。數(shù)學分析課程對中學數(shù)學教

34、學的指導作用5.1數(shù)學分析為中學數(shù)學中的一些問題和方法提供了理論依據(jù)比如說，在中學數(shù)學中，要作出函數(shù)的圖像，除了利用極易判斷出來的函數(shù)的單調(diào)及可明顯看出的一些極值點等性質(zhì)外，最主要還要依靠描點法做出函數(shù)的圖形，如此作出的圖形究竟是不是該函數(shù)的真正圖形，是無法肯定的。另外，可能還會有學生會問，為什么描繪出來的圖像時一條平滑的曲線？在坐標系中應該描出哪些點作出的圖像更準確？中學教材本身并不能回答這些問題。學了數(shù)學分析就知道中學階段所學的幾個函數(shù)都是基本初等函數(shù)，而基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)可微的，所以它的圖像不僅是連續(xù)曲線而且在每一點都有切線，故可用平滑曲線連接。在數(shù)學分析中，則可利用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性，求出極值點和拐點，再利用極限求出漸近線，再描出極值點、拐點，、與坐標軸的交點等“關鍵點”，把描出的點用平滑的曲線連接起來，即可精確地畫出函數(shù)的草圖。中學數(shù)學教師在講授上述這些內(nèi)容時，則可先用數(shù)學分析的方法求出答案，做到心中有數(shù)，然后再根據(jù)中學數(shù)學知識，結合學生的實際