2018年度高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題

1、；|a| + b0；a-b-b；_1 ln?2其中正確的不等式的個(gè)數(shù)是（）1個(gè)2個(gè)2018年淅川二高二年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題、選擇題：本題共 6小題，每小題5分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有項(xiàng)是符合題目要求的。1 1111 .若ab+ y 4.x ay 2.則A.對(duì)任意實(shí)數(shù)aB.對(duì)任意實(shí)數(shù)a(2, 1)C.當(dāng)且僅當(dāng)a0, q0,前n項(xiàng)和為Sn,則一與一的大小關(guān)系為 a3 a5.已知a,b,c分別為 ABC的三個(gè)內(nèi)角 A, B,C的對(duì)邊，a =2,且(2 b)(sinA sin B) (c b)sin C ,則 ABC面積的最大值為 三、解答題：每題15分，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明、證

2、明過程或演算步驟。.(本小題滿分15分)已知數(shù)列aJ滿足電二，犯i設(shè):、二上11 n(1)求bJ；(2)判斷數(shù)列、；是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3)求的通項(xiàng)公式.(本小題滿分15分)已知中 國(guó)某手機(jī)品牌公司生產(chǎn)某款手機(jī)的年固定成本為40萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)部還需另投入16萬(wàn)元.設(shè)公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機(jī)X萬(wàn)部并全部銷量完，每萬(wàn)部的銷售收入? 400- 6x,0 40? x x(1)寫出年利潤(rùn) W (萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量 x (萬(wàn)部)的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)部時(shí)，公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).(本小題滿分15分)ABC的內(nèi)角 A, B, C 的對(duì)邊分別為 a, b

3、, c,已知 2cosc(acosB+b cosA) c.(I)求 C;,一,3.3(II)若c V7, AABC的面積為 ，求 ABC的周長(zhǎng).212 (本小題滿分15分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且an Sn 1 2 (n 2) , a1 2.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；，、1,.(2)設(shè)bn , Tn bn 1 bn 23n ,是否存在最大的正整數(shù) k,使得對(duì)10g2 ank于任意的正整數(shù)n,有Tn 恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.12四、附加題，每題10分，計(jì)入總分。.解下列不等式：ax2 (a + 1)x+ 1 v 0(a0).(本小題13分)設(shè)an和bn是兩個(gè)等差

4、數(shù)列，記 Cn maxb an,b2 a? ,bn ann (n 1,2,3,),其中maxx,x2, ,Xs表示,X2, ,Xs這s個(gè)數(shù)中最大的數(shù).(l)若an n , bn 2n 1 ,求G,C2, Q的值，并證明Cn是等差數(shù)列；(n)證明：或者對(duì)任意正數(shù)M ,存在正整數(shù) m,當(dāng)n m時(shí)，4 M ；或者存在n正整數(shù)m ,使得Cm,Cm 1,Cm 2,是等差數(shù)列.2018年淅川二高二年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題答一、1.C 2. A 3. D 4.C 5.D 6.A1.解析：選 C 法一：因?yàn)?110 ,故可取 a= - 1, b = 2.顯然|a|+b = 1 2 = 10 ,所以錯(cuò)誤，綜上所述，可排

5、除A、B、D,故選C.法二：由 110 ,可知 ba0. a b中，因?yàn)閍+b0 ,所以;一，故正確；a+ b ab中，因?yàn)閎 a a0 ,故一b| a|,即|a| + b0 ,故錯(cuò)誤；中，因?yàn)閎a0 ,又11 -10 ,所以a-1b-,故正確； a ba ba b中，因?yàn)閎 a a20 ,而y= In x在定義域（0, +8）上為增函數(shù)，所以in b2m a2,故錯(cuò)誤.由以上分析，知 正確。.【答案】D【解析】分析：求出八及（工|）盡八所對(duì)應(yīng)的集合，利用集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行求解.詳解：若（2,1） e），則且叱Q,即若匕1）ea|,則此命題的逆否命題為：若:,則有嗝WA,故選D.集合法是判

6、斷充分條件與必點(diǎn)睛：此題主要結(jié)合充分與必要條件考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,要條件的一種非常有效的方法，根據(jù)p.q成立時(shí)對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷設(shè)人田國(guó)父前,若AUB,則p=q；若A B,則*當(dāng)一個(gè)問題從正面思考很難入手時(shí)，可以考慮其逆否命題形式.【答案】A【解析】分析：首先利用正方體的棱是3組每組有互相平行的 4條棱，所以與12條棱所成從而判斷出面的位置，截正方角相等，只需與從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所成角相等即可, 體所得的截面為一個(gè)正六邊形，且邊長(zhǎng)是面的對(duì)角線的一半，應(yīng)用面積公式求得結(jié)果 詳解：根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，所以在正方體八BCD,匕嗎匚口：中，平面與線AApA1B

7、rA1D1所成的角是相等的,所以平面AB|Dj與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理平面gRD也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個(gè)面陶|口1與UBD中間的,且過棱的中點(diǎn)的正六邊形，且邊長(zhǎng)為所以其面積為42學(xué)故選A.首要任務(wù)是需要先點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)平面被正方體所截得的截面多邊形的面積問題,確定截面的位置，之后需要從題的條件中找尋相關(guān)的字眼，從而得到其為過六條棱的中點(diǎn)的正六邊形，利用六邊形的面積的求法，應(yīng)用相關(guān)的公式求得結(jié)果二、7.解析：當(dāng)q = 1時(shí),S3=3 a3S5S3 S5一=5,所以一一a5a3 a5當(dāng)q 0且q w1時(shí)

8、，S3 S5 a11 - q3aia3 a5aiq2q2 1 -q31qi-qaiq451 q51-qq4 1 -qS3S5所以一一 a3a5S3 S5綜上可知一v a3 a5S3 S5 答案：一 一 a3 a58. 33 ( 2014)三、9.詳解：（1）由條件可得an+1 =將 n=1 代入得，a2=4 a1,而 a1=1 ,所以，a2=4 .將n=2代入得，a3=3a2,所以，a3=12 .從而 b1=1 , b2=2 , b3=4 . 5分（2） bn是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.由條件可得又bl=1 ,所以bn是首項(xiàng)為4十1 A,即 bn+1 =2 b n 1 n1,公比為2的等比

9、數(shù)列 5分3（3）由（2）可得- = 2,U,所以n10.（本小題滿分15分）解：（1 ）當(dāng) 040時(shí)， W = xR(x)-(16x + 40) = - 16x+7360 4 分x?-6x2 +384x- 40,0 40? x(2)當(dāng)當(dāng)040 時(shí)， W = xR( x) - (16x + 40) =- 16x + 7360,x40000 “ 目“ ：40000 “,由于+16x 陽(yáng)J 16x =1600 ,當(dāng)且僅當(dāng)x40000所以xW取最大值為5760 .二 16x,即x = 50?（40, ?）時(shí)，等號(hào)成立13分14分15分綜合知，當(dāng)x = 32時(shí)， W取得最大值6104萬(wàn)元.11.試題解

10、析：（I）由已知及正弦定理得，2cosc sin cos sin cos sinC ,sinC .2cosCsin故 2sinCcosC sinC .八 1八可得cosC 3 ,所以C -(id由esth 1口白也匚二出.22霓 J又C = 1 J所以僅5 = 6 .由已知及余弦定理得r+2zjcosC = 7.故/十 二13,從而S+W=25 .斫以ABC的周長(zhǎng)為5 + 0.an+1 =S n+2 ,12 .(本小題滿分15分)解：(1)由已知an=Sn 1+2 ,，得 an+1 - an =S n - Sn 1(n 2 ),. an+1 =2a n (n 2).又 a1=2, .a2=a

11、1+2=4=2a 1,- an+1 =2a n (n=1 , 2, 3 ,)數(shù)列an是一個(gè)以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)歹I,. an=2?2n 1=2n.16分(2) bn=- Tn=b n+1 +b n+2 + - +b 2n =+ - +I -=,12nTn+1 =b n+2 +b n+3 + +b 2 (n+1 ) Tn+1 Tn=+京12n+l +2n+2 .1n+L2(n+l)+(2n+l) - 2(2n+l)2(2n+l) (n+1)1= 2(2n+l)(n+l) , n 是正整數(shù)，. Tn+1 -Tn0,即 Tn+1 Tn.數(shù)列Tn是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，又 T1 =b 2= 要使T

12、n12包成立，則有1215分四、附加題，每題10分13.原不等式變?yōu)?ax 1)(x1) 0 ,所以 a x (x-1) 1,即一1 時(shí)，解為 1vx一. aa綜上，當(dāng)0vav1時(shí)，不等式的解集為x 1 x1時(shí)，不等式的解集為x -x訃一皿凝+；1)一(&-叼)= (&+ 4-成七+11必 =2 k1.所以Sk (k=1 , 2 ,，n -1)中的兩個(gè)元素不可能同時(shí)是集合B的元素.所以B中元素的個(gè)數(shù)不超過 n+1.取 ek=( X1 , X 2 ,，Xn) S Sk 且 Xk+1 = 二 Xn=0 ( k=1 , 2 ,，nT).令B= (e1, e2,，en-1)U SnU Sn+1 ,則集

13、合B的元素個(gè)數(shù)為n+1,且滿足條件.故B是一個(gè)滿足條件且元素個(gè)數(shù)最多的集合.點(diǎn)睛：解決新定義問題的兩個(gè)著手點(diǎn)(1)正確理解新定義.耐心閱讀，分析含義，準(zhǔn)確提取信息是解決這類問題的前提，剝?nèi)バ露x、新法則、新運(yùn)算的外表，利用所學(xué)的知識(shí)將陌生的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的性質(zhì)，是解決這類問題的突破口.(2)合理利用有關(guān)性質(zhì)是破解新定義型問題的關(guān)鍵.在解題時(shí)要善于從題設(shè)條件給出的數(shù)式中發(fā)現(xiàn)可以使用性質(zhì)的一些因素，并合理利用.15. (12分)(2016 山東ftAABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c.已知 2(tan A + tan B) = tanJAL + en”.cos B cos A

14、(1)證明：a+b = 2c；(2)求cos C的最小值.解析：(1)證明：由題意知2(sn_A + sn旦戶一sin-A一十一sin-B, cos A cos B cos Acos B cos Acos B化簡(jiǎn)得 2(sin Acos B+sin Bcos A) = sin A+sin B,即 2sin(A+B) = sin A+sin B.因?yàn)锳 + B+C=兀,所以 sin(A + B) = sin(九一C) = sin C.從而 sin A + sin B=2sinC.由正弦定理得a + b = 2c.a2 + b2-c2所以cos C =2aba2+ b2 a+ b222ab3ab1

15、 1=_(_+_)_8 b a4 2當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立故cos C的最小值為一.2答案：（1）見解析17.（本小題滿分12分）已知數(shù)列 an滿足a1=1an 13an(I)證明 an是等比數(shù)列,并求an的通項(xiàng)公式;（n）證明：1.+Ja117.（本小題滿分a212分)an（I）證明：由an 13an1 得 an 13(an 3an121232 3n 金1 -、，所以an -是首項(xiàng)為223-,公比為3的等比數(shù)列2()由(I )因?yàn)楫?dāng)n因此an的通項(xiàng)公式為an23n 11 時(shí)，3n 13n13n 112 3n 1工工La2 a3an11 L3132 L13n-13,1.1 31 123n2

16、1-31所以一aia2a313an 25. (2018 河南百校聯(lián)盟模擬)已知正實(shí)數(shù)a, b滿足a + b = 4,則+ 的最小 a+1 b + 3值為 L解析：,a+b=4, ，a+1+b + 3= 8,+= (a+1) +(b +a + 1 b + 383)- 2 +hX(2 + 2)=-,當(dāng)且僅當(dāng) a+1=b + 3,即 a = 3,8 a+1 b+382b = 1時(shí)取等號(hào),a+ 111+ b的最小值為2.1答案：2 TOC o 1-5 h z 3Wta *口4.數(shù)列an滿足 aj+Saj+S a3-b- + 3貝U an= ( B )I11 nA, 32n一1 B, 2,3n l C,

17、齊 * 一，211一, 一14、若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn= -an -,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是 4=. 33【命題意圖】本題主要考查等比數(shù)列定義、通項(xiàng)公式及數(shù)列第 n項(xiàng)與其前n項(xiàng)和的關(guān)系,是容易題. HYPERLINK l bookmark36 o Current Document 1 一【解析】當(dāng)n =1時(shí)，a1 = S| = a1 -,解得a1 =1 ,321. 21.22r 一 八當(dāng) n /時(shí)，an= SnSn1 = an ( 一 Hn1 )= Hn Hn1，即 an =2an1 ,333333n 1an是首項(xiàng)為1,公比為一2的等比數(shù)列，an=( 2)16.在等比數(shù)列an中anC R,

18、且a3an是方程3x2-25x+27=0 的兩根，a7=16.3若S6S7S5,則滿足Sn 0的n的最大值(C )1.設(shè)等 差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為SnB.有一個(gè)內(nèi)角是 30的直角三角形OC. 12D. 13C.等邊三角形D.有一個(gè)內(nèi)角是 30的等腰三角形D.有一個(gè)內(nèi)角是30的等腰三角形3.數(shù)列an滿足色+ 332+3巳34+ 31r則an =A.B.2, 3n-lC.i2 rl4.在AABC 中，已知 a=2 , b=2 近，A=3 0A. 60或 120B. 30 或 150 C. 60 D. 30sin B ,16.若ABC的內(nèi)角A,B滿足 2cos(A B).則當(dāng)B取最大值時(shí)，角C大小sin A16. 23215.已知 x0 , y0 ,且一 x1,c2 c