2021新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題練：專題三 立體幾何 第1講 空間幾何體的表面積和體積

1、專題三立體幾何ZHUANTISAN第1講空間幾何體的表面積和體積高考定位簡單幾何體的表面積與體積計(jì)算，主要以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，在解答題中，有時(shí)與空間線、面位置證明相結(jié)合，面積與體積的計(jì)算作為其中的一問.真題感1SI考處整合璃海向用要心真題感悟1.（2020.全國I卷）已知A,B,C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，O為“ABC的外接圓.若OO1的面積為4n,AB=BC=AC=OO1，貝吐求O的表面積為（）A.64nB.48nC.36nD.32n解析如圖所示，設(shè)球O的半徑為R,OO1的半徑為r,因?yàn)镺的面積為4n,AB所以4兀=兀您，解得r2,又AB=BC=AC=OO,所以60=2廠，解得AB=2

2、;3,故OO=2百，所以R2=OO2+r2=（2V3）2+22=16，所以球O的表面積S=4nR2=64n.故選A.答案A2.（2020.全國III卷）已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.POPB解析圓錐內(nèi)半徑最大的球即為圓錐的內(nèi)切球，設(shè)其半徑為r.作出圓錐的軸截面PAB,如圖所示，則APAB的內(nèi)切圓為圓錐的內(nèi)切球的大圓.在APAB中，PA=PB=3,D為AB的中點(diǎn)，AB=2,E為切點(diǎn)，則PD=2逗,PEOPDB,故DBE即空2二=1，解得r全，故內(nèi)切球的體積為答案辜3.（2020.新高考山東卷）已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2,ZBAD=60

3、.以D1為球心，審為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為.解析如圖，設(shè)B1C1的中點(diǎn)為E,球面與棱BB1，CC1的交點(diǎn)分別為P,Q,連接DB,D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，由ZBAD=60，AB=AD，知AABD為等邊三角形，D1B1=DB=2，D1B1C1為等邊三角形，則D、E=啟且D1E丄平面BCCB,E為球面截側(cè)面BCC1B1所得截面圓的圓心，設(shè)截面圓的半徑為r,則r=；RrD1E2=：戸=厲可得EP=EQ=2,球面與側(cè)面BCC1B1的交線為以E為圓心的圓弧PQ.又DP=5,B1P=；D1P2DB1=1,同理C1Q=1,nP,Q分別為BB1,CC1的中點(diǎn)，ZPEQ=2，知PQ的

4、長為22=字.答案尋4.（2019全國II卷）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖）半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美圖是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1，則該半正多面體共有個(gè)面，其棱長為-I2解析依題意知，題中的半正多面體的上部分有9個(gè)面，中間部分有8個(gè)面，下部分為9個(gè)面，共有9+8+9=26(個(gè))面，因此題中的半正多面體共有26個(gè)面注意到該半正多面體的俯視圖的輪廓是一個(gè)正八邊形，設(shè)題中的半正

5、多面體的棱長為x,則x+x+x=l，解得X=l/2l,故題中的半正多面體的棱長為1./21.答案26,21考點(diǎn)整合空間幾何體的兩組常用公式(1)柱體、錐體、臺(tái)體、球的表面積公式：圓柱的表面積S=2nr(r+l)；圓錐的表面積S=nr(r+l)；圓臺(tái)的表面積S=n(rU+rY+rl)；球的表面積S=4nR2.(2)柱體、錐體和球的體積公式：V=Sh(S為底面面積，h為高)；柱體V=3sh(S為底面面積，h為高)；錐體3V球=為人3.球的簡單組合體中幾何體度量之間的關(guān)系，如棱長為a的正方體的外接球、內(nèi)切球、棱切球的半徑分別為#a,2，#a.熱點(diǎn)聚Ift類窩破硏迪點(diǎn)析魚處熱點(diǎn)一空間幾何體的表面積【例

6、1】(1)如圖所示的幾何體是從棱長為2的正方體中截去以正方體的某個(gè)頂點(diǎn)為球心，2為半徑的8球體后的剩余部分，則該幾何體的表面積為()A.243nB.24nC.24+nD.24+5n(2)(多選題)等腰直角三角形的直角邊長為1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積可以為()A.q2nB.(l+/2)nC.2、遼nD.(2+：0)n解析由題意知該幾何體的表面積S=6X22-3X1XnX22+8X4XnX22=24n.故選B.(2)如果是繞直角邊旋轉(zhuǎn)，則形成圓錐，圓錐底面半徑為1,高為1,母線就是直角三角形的斜邊，長為盪，所以所形成的幾何體的表面積S=nX1Xt./2+nX12=

7、(；2+l)n如果繞斜邊旋轉(zhuǎn)，則形成的是上、下兩個(gè)圓錐，圓錐的半徑是直角三角形斜邊上的高#,兩個(gè)圓錐的母線都是直角三角形的直角邊，母線長是1,所以形成的幾何體的表面積S,=2XnX22X1.2n.綜上可知，形成幾何體的表面積是&2+l)n或冷On.故選AB.答案(1)B(2)AB探究提高1.求空間幾何體的表面積，首先要掌握幾何體的表面積公式，其次把不規(guī)則幾何體分割成幾個(gè)規(guī)則的幾何體.2.(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用.【訓(xùn)練1】已知圓柱的上、下底面的中心分別為O,O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截

8、面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A.12：2nB.12nC.8：2nD.lOn(2)(2020.衡水金卷)一個(gè)圓錐的軸截面是邊長為4的等邊三角形，在該圓錐中有一個(gè)內(nèi)接圓柱(下底面在圓錐底面上，上底面的圓周在圓錐側(cè)面上)，則當(dāng)該圓柱側(cè)面積取最大值時(shí)，該圓柱的高為()TOC o 1-5 h zA.lB.2C.3D.J3解析(1)因?yàn)檫^直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2羽，底面圓的直徑為2羽.所以S表面頭2XnX(Q)2+2nX；2x2/2=12n.h2r(2)如圖，設(shè)圓柱底面半徑為r(0VrV2)，高為h,則硏60=丁,即h=./3(2r)，其側(cè)面

9、積為S=2；3n廠(2廠)=2吋3n(r2+2r)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)r=1時(shí)，側(cè)面積取得最大值，此時(shí)h=i./3.答案(1)B(2)D熱點(diǎn)二空間幾何體的體積n【例2】(1)(2020濟(jì)南模擬)已知三棱錐S-ABC中，ZSAB=ZABC=2，SB=4,SC=2屈,AB=2,BC=6,則三棱錐S-ABC的體積是()A.4B.6C4./3D.6羽(2)(2020.長沙模擬)如圖，在四面體PBCD中，點(diǎn)A是CD的中點(diǎn)，PA=AD,ABC為等邊三角形，邊長為6,PB=8,PC=10，則APBD的面積為，四面體PABC的體積為.n解析（1）TZABC=2，AB=2，BC=6，:.AC=JAB2+BC2

10、=22+62=To.VZSAB=2,ab=2,SB=4,.AS=pSB2AB2=j42_22=2召.由SC=2jl3，得AC2+AS2=SC2,AACXAS.又SAAB,ACHAB=A,:.AS丄平面ABC,AS為三棱錐SABC的高，匕棱錐s_abc=3x2x2X6X2書=4曲.故選C.(2)因?yàn)锳BC為等邊三角形，邊長為6,點(diǎn)A為CD的中點(diǎn)，所以AD=AB=6,所以AADB為等腰三角形.又ZDAB=180。一ZCAB=120。，所以ZADB=|(180120)=30，所以ZADB+ZDCB=90，所以ZDBC=90，所以CB丄DB，所以DB=-CD2BC2=：14436=6遼.因?yàn)镻B=8，

11、PC=10，BC=6，所以PC2=PB2+BC2,所以CB丄PB.又DBAPB=B，DBu平面PBD，PBu平面PBD,所以CB丄平面PBD.因?yàn)镈A=AC=AP=6，所以APDC為直角三角形，且ZDPC=90,所以PD=JCD2C2=斤石二10=2、JH.又DB=6./3,PB=8,所以DB2=PD2+PB2,即MBD為直角三角形，所以PBD=2X8XWil=.H.因?yàn)辄c(diǎn)A為DC的中點(diǎn)，所以VPabc=1vPCBD=2VCPBD=1x1xSAPBDXCB=2X3X8jnX6=8J11,即四面體PABC的體積為&,：T1.答案(1)C(2).T183不合題意.球與三棱柱的上、下底面相切時(shí),球的

12、半徑R最大.3由2R=3,即R=2故球的最大體積V=(2)在四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PA丄底面ABCD,且底面為矩形，將該“陽馬”補(bǔ)成長方體,貝肝2R)2=AB2+AD2+AP2=16+16+9=41,因此R=岑.依題意RtARAB竺RtARAD,則內(nèi)切球O在側(cè)面PAD內(nèi)的正視圖是APAD的內(nèi)切圓，144故內(nèi)切球的半徑r=2(3+4-5)=1,則#=3廠3=羅.414合案(1)b巧3n探究提高1.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題.2.若

13、球面上四點(diǎn)P,A,B,C且PA,PB,PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正方體確定直徑解決外接問題.【訓(xùn)練3】（1）（2020太原模擬）如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AB=BC=1,點(diǎn)D為側(cè)棱BB1上的動(dòng)點(diǎn).若ADC1周長的最小值為書+百，則三棱錐C1-ABC的外接球的體積為（）A.2nB爭C5n2D.3n（2）（2020.煙臺(tái)診斷）已知點(diǎn)A，B，C在半徑為2的球面上，滿足AB=AC=1，BC=73,若S是球面上任意一點(diǎn)，則三棱錐S-ABC體積的最大值為.解析（1）將側(cè)面ABB1A1和側(cè)面BCC1B1展開在同一平面內(nèi)，示意圖如圖所示

14、，易知當(dāng)D為側(cè)棱BB1的中點(diǎn)時(shí),ADC1的周長最小，此時(shí)設(shè)BD=x（x0）,則2寸1+x2+;2+4兀2=腫+鼻勺，解得x=|,所以Cq=1,AC=為.又三棱錐C-ABC的外接球的球心為AC1的中點(diǎn)，所以外接球的半徑R=，于是三棱錐CABC的44外接球的體積為#=3兀人3=3兀乂2n.（2）設(shè)球心為0,ABC的外心為D，則OD丄平面ABC.在AABC中，由余弦定理,得cosA+；打;f1,貝寸sinA=.所以SABCIaBACsinA=|X1X1X且ABC的外接圓半徑DABC2sinA.32X1.因此在RtAOAD中，OD=；OA2DA2=f2212=.,；空.當(dāng)三棱錐S-ABC的高最大時(shí)，三

15、棱錐SABC的體積取最大值，而三棱錐SABC的高的最大值為-J3+2,所以三棱錐SABC的體積的最大值為*X亨X（73+2）=3+|/答案（i）b耳存求落實(shí)即高落A級鞏固提升一、選擇題8n1母線長為5的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于則該圓錐的體積為（）A.16nB.8nC16兀C38nDg8n解析母線長為5的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于丁，側(cè)面展開圖的弧長r，*.r=4,：圓錐的8n為5X5=8n,設(shè)底面圓半徑為r,弧長8兀=底面周長=2nr,高力=詁5242=3,圓錐體積V=|xnXr2Xh=16n.答案A2.（2020全國百校聯(lián)考）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB丄BC,M是AC的中點(diǎn)

16、，則三棱錐BABM的外接球的表面積為（35A.B.2n。.才兀AB=BC=BB=1，B.2n小9D/gn解析取AB的中點(diǎn)D,取B1A1的中點(diǎn)D1,連接DD,設(shè)O是線段DD1的中點(diǎn)，在ABC中，AB丄BC,AB=BC,M為AC中點(diǎn)，ABM1AC.因此BD=DM=DA=D1B1,從而OB=OB=OA=OM，故O為三棱錐B-ABM的外接球心，/.R2221、=OB2=OD2+BD2+怎丿=2，故三棱錐外接球的表面積S=4nR2=2n.答案B3.（2020.濟(jì)南檢測）已知球O是三棱錐P-ABC的外接球，PA=AB=PB=AC=2,CP=2、匹，點(diǎn)D是PB的中點(diǎn)，且CD=0，則球O的體積為（）28n14

17、nA丁B28回兀C.2716nD.3解析依題意，由PA=AC=2,CP=2、忍，得APIAC.連接AD,由點(diǎn)D是PB的中點(diǎn)且PA=AB=PB=2,得AD=Q3,又CD=陰,AC=2,可知AD丄AC,又APQAD=A,APu平面PAB,ADu平面PAB,所以AC丄平面PAB.以APAB為底面，AC為側(cè)棱補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，則球O是該三棱柱的外接球，球心O到底面APAB的距離d=1AC=1.由正弦定理得APAB的外接圓半徑PA2r=2sin60。所以球O的半徑R=yd2+r2447故球O的體積V=3nR3=3nXgX戸_28213=27兀答案C4.（多選題）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱

18、長為1,線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F,且EF=2,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.AC1AFEF平面ABCD三棱錐A-BEF的體積為定值DAAEF的面積與ABEF的面積相等解析由題意及圖形知，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B1重合時(shí)，ZCAF=60,故A錯(cuò)誤；由正方體ABCD-A1B1C1D1的兩個(gè)底面平行，EFu平面A1B1C1D1,知EF平面ABCD,故B正確；由幾何體的性質(zhì)及圖形知,三角形BEF的面積是定值,點(diǎn)A到平面DDBB的距離是定值，故可得三棱錐A-BEF的體積為定值，故C正確；由圖形可以看出，B到直線EF的距離與A與直線EF的距離不相等，故AAEF的面積與BEF的面積不相等，故D錯(cuò)誤.故選AD.答案A

19、D5.（多選題）長方體ABCD-A1B1C1D1的長、寬、高分別為3,2,1,貝胚）長方體的表面積為20長方體的體積為6沿長方體的表面從A到C1的最短距離為3羽沿長方體的表面從A到C1的最短距離為2爲(wèi)解析長方體的表面積為2X（3X2+3X1+2X1）=22,A錯(cuò)誤.長方體的體積為3X2X1=6,B正確.如圖1所示，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=3,BC=2,BB=1,將側(cè)面ABB1A1和側(cè)面BCC1B1展開，如圖2所示.圖I圖2連接AC.則有AC=j52+12=：無，即經(jīng)過側(cè)面ABB1A1和側(cè)面BCC1B1時(shí)，A到C1的最短距離是;丟；將側(cè)面ABB1A1和底面A1B1C1D1展開，

20、如圖3所示，連接AC.則有AC=32+32=3羽，即經(jīng)過側(cè)面ABB1A1和底面A1B1C1D1時(shí)，A到c1的最短距離是3./2；將側(cè)面ADD1A1和底面A1B1C1D1展開，如圖4所示.連接AC.則有AC=j42+22=25，即經(jīng)過側(cè)面ADD1A1和底面A1B1C1D1時(shí)，A到C1的最短距離是2J5.因?yàn)?遼2、5遼6，所以沿長方體表面由A到C1的最短距離是3寸2C正確，D錯(cuò)誤.故選BC.答案BC二、填空題6.（2020.浙江卷）已知圓錐的側(cè)面積（單位：cm2）為2n,且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑（單位：cm）是.解析如圖，設(shè)圓錐的母線長為L,底面半徑為R,則圓錐的側(cè)面積S

21、側(cè)二n=2n.7.如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則四棱錐A-BBfl的體積為.解析法一連接A1C1交B1D1于點(diǎn)E,則A1EIB。,AE丄BB1,則AE丄平面BB1D1D，所以A1E為四棱錐A1-BB1D1D的高，且A、E=，矩形BBRD的長1J21和寬分別為羽，1,故VABBDD=3氷1氷黑氷號=3.法二連接BD1，將四棱錐A1-BB1D1D分成兩個(gè)三棱錐B-A1DD1與B-A1B1D1，VABBDD=VB-ADD+VB-AdWX1X1X1+|x|x1X1X1=3.答案38.(2020.沈陽一監(jiān))農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)俗，粽子又稱“粽籺”，故稱“角黍”

22、，是端午節(jié)大家都會(huì)品嘗的食品，傳說這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國時(shí)期楚國大臣、愛國主義詩人屈原.如圖(1)的平行四邊形形狀的紙片是由六個(gè)邊長為1的正三角形組成的，將它沿虛線折起來，可以得到如圖(2)的粽子形狀的六面體，則該六面體的體積為；若該六面體內(nèi)有一球，則該球的體積的最大值為解析由對稱性可知該六面體是由兩個(gè)全等的正四面體合成的，正四面體的棱長為312屮，所以正四面體的體積為|x2x1X-2-因?yàn)樵摿骟w的體積是正四面體體積的2倍，所以該六面體的體積是要使球的體積達(dá)到最大，則球與該六面體的六個(gè)面都要相切.連接球心和六面體的五個(gè)頂點(diǎn)，把六面體分成了六個(gè)全等的三棱錐設(shè)球的半徑為R,則二6XgxgxiXXR丿，

23、解得R=，所以球的體積V=R3=X6=卑2罷答案點(diǎn)8In答案6729三、解答題9.(2020.全國I卷)如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，ABC是底面的(2)設(shè)D0=2，圓錐的側(cè)面積為3n，求三棱錐P_ABC的體積.證明由題設(shè)可知，PA=PB=PC.由ABC是正三角形，可得FAgFAB，F(xiàn)ACQFBC.又ZAPC=90。，故ZAPB=90，ZBPC=90.從而PB丄PA，PB丄PC，又PA，PC平面PAC，PAnPC=P，故PB丄平面PAC,又PBu平面PAB,所以平面PAB丄平面PAC.(2)解設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為1,由題設(shè)可得廠1=/3,12廠2=2，解得r=1,1=百.

24、從而AB=：3.由(1)可得PA2+PB2=AB2，故PA=PB=PC=26.所以三棱錐PABC的體積為討PA-PB-PC=|x|x(fl再10.如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAB丄平面ABCD,PA=PB,ADBC,AB=AC,AD=|bC=1,PD=3,ZBAD=120,M為PC的中點(diǎn).證明：DM平面PAB；求四面體MABD的體積.證明取PB中點(diǎn)N連接MN,AN.VM為PC的中點(diǎn)，:MN/BC且MN=BC,又AD/BC，且AD=|bC，得MN綉AD.：ADMN為平行四邊形，:DM/AN.又ANu平面PAB,DM平面PAB,：DM平面PAB.解取AB中點(diǎn)O,連接PO,VPA=PB,：PO

25、丄AB,又V平面PAB丄平面ABCD，平面PABA平面ABCD=AB,POu平面PAB,則PO丄平面ABCD,取BC中點(diǎn)H,連接AH,AB=AC,：AH丄BC，又VADBC,ZBAD=120。，：.ZABC=60,RtABH中，BH=|bC=1,AB=2,AO=1,又AD=1,AOD中，由余弦定理知，OD=/3.RtPOD中，po=、JPD2OD2=、J6.1a/3又Sn=2ABADsin120。=+,ABD22v=1.s丄尸0=謔VM-ABD3SaABD2PO4B級能力突破11.（2019全國I卷）已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC,AABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，ZCEF=90。,則球O的體積為()A.8