新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)講義 考點(diǎn)33 冪函數(shù)（教師版含解析）

1、20/20考點(diǎn)33 冪函數(shù)知識理解一冪函數(shù)的概念一般地，形如yx(R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中底數(shù)x是自變量，為常數(shù)冪函數(shù)的特征(1)自變量x處在冪底數(shù)的位置，冪指數(shù)為常數(shù)(2)x的系數(shù)為1(3)只有一項(xiàng)二五種常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)yxyx2yx3yxeq sup6(f(1,2)yx1圖象定義域RRRx|x0 x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增(，0)減，(0，)增增增(，0)和(0，)減公共點(diǎn)(1，1)考向分析考向一 冪函數(shù)的定義【例1】(2021四川資陽市)已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則( )ABCD【答案】B【解析】冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則，解得：，故

2、選：B.【舉一反三】1(2020四川達(dá)州市)如果冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，那么的值是( )ABCD【答案】D【解析】將點(diǎn)代入可得，即，可得：，解得：，故選：D2(2021福建三明市)若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的值為( )ABCD【答案】D【解析】設(shè)冪函數(shù)，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，解得，所以，所以，故選：D3(2021浙江麗水市)已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則_.【答案】【解析】由函數(shù)為冪函數(shù)，可知，故，由函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，故，故答案為：考向二 冪函數(shù)的定義域值域【例2】(2020全國課時(shí)練習(xí))(1)函數(shù)的定義域是_，值域是_；(2)函數(shù)的定義域是_，值域是_；(3)函數(shù)的定義域是_，值域是_；(

3、4)函數(shù)的定義域是_，值域是_.【答案】R 【解析】(1)的定義域是，值域是；(2)的定義域是，值域是；(3)的定義域是，值域是；(4)的定義域是，值域是；故答案為：；【舉一反三】1(2020全國課時(shí)練習(xí))在函數(shù)；中定義域與值域相等的有_個(gè).【答案】3【解析】的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?的定義域?yàn)?，值域?yàn)?的定義域?yàn)?，值域?yàn)?的定義域?yàn)?，值域?yàn)?的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?的定義域?yàn)?，值域?yàn)?故定義域與值域相等的有, 和故答案為：32(2020全國課時(shí)練習(xí))已知冪函數(shù)，該函數(shù)的值域?yàn)開.【答案】【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義，得，函數(shù)為，由圖象得函數(shù)的值域?yàn)?，故答案為?(2020全國高一課時(shí)練習(xí))5個(gè)冪函數(shù)：；.

4、其中定義域?yàn)榈氖? )A只有B只有C只有D只有【答案】C【解析】的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，故選：C.考向三 冪函數(shù)的性質(zhì)【例3-1】(2021河北邯鄲市)已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的值為( )ABC1D或1【答案】A【解析】由于為冪函數(shù)，所以或；又函數(shù)在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)符合條件，故選：A【例3-2】(2020河南高三期中)已知冪函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為( )A4或3B2或3C3D2【答案】D【解析】是冪函數(shù)，解得或3，當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，.故選：D.【例3-3】(2021江蘇南通市海門市第一中學(xué))已知，則a，b，c的大小關(guān)系為( )A

5、BCD【答案】D【解析】，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，所以，即故選：D.【舉一反三】1(2021繁昌縣第一中學(xué))已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，則_.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)，不合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)，所以.故答案為：.2(2021沙坪壩區(qū)重慶南開中學(xué))已知冪函數(shù)為定義在R上的偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)_.【答案】0【解析】為冪函數(shù)， ，解得：或；當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，不滿足題意；綜上所述：；故答案為：0.3(多選)(2020全國課時(shí)練習(xí))已知冪函數(shù)(m，m，n互質(zhì))，下列關(guān)于的結(jié)論正確的是( )Am，n是奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是奇函

6、數(shù)Bm是偶數(shù)，n是奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是偶函數(shù)Cm是奇數(shù)，n是偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是偶函數(shù)D時(shí)，冪函數(shù)在上是減函數(shù)E.m，n是奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)的定義域?yàn)椤敬鸢浮緼CE【解析】，當(dāng)m，n是奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是奇函數(shù)，故A中的結(jié)論正確；當(dāng)m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，冪函數(shù)/在時(shí)無意義，故B中的結(jié)論錯(cuò)誤當(dāng)m是奇數(shù)，n是偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是偶函數(shù)，故C中的結(jié)論正確；時(shí)，冪函數(shù)在上是增函數(shù)，故D中的結(jié)論錯(cuò)誤；當(dāng)m，n是奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)在上恒有意義，故E中的結(jié)論正確.故選：ACE.4(2021江西景德鎮(zhèn)市景德鎮(zhèn)一中)已知，則的大小關(guān)系是( )ABCD【答案】B【解析】， ，,故選：B5(2021重慶九龍坡區(qū)高一期末)已知，則a，b，c，

7、d的大小關(guān)系是( )ABCD【答案】B【解析】因?yàn)闉樯系臏p函數(shù)，故，故，又為上的增函數(shù)，故，故，而為上的增函數(shù)，故，故，故，故選：B.考向四 冪函數(shù)的圖像【例4】(2021山東濱州市)已知冪函數(shù) 在第一象限的圖象如圖所示，則( )ABCD【答案】B【解析】由圖象可知，當(dāng)時(shí)，則故選：B【舉一反三】1(2021浙江)冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)是生活中三類常見基本的初等函數(shù)，可以刻畫客觀世界不同的變化規(guī)律已知函數(shù)，的圖像如圖所示，則( )ABCD【答案】A【解析】由圖象可得曲線為對數(shù)函數(shù)，在定義域?yàn)闉樵龊瘮?shù)，則，曲線為指數(shù)函數(shù)，為減函數(shù)，則 曲線為冪函數(shù)，在上為減函數(shù)，則 所以 故選：A2(2020

8、福建寧德市)已知函數(shù)：；則下列函數(shù)圖象(第一象限部分)從左到右依次與函數(shù)序號的對應(yīng)順序是( )ABCD【答案】D【解析】：函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，且圖象過點(diǎn)，因此從左到右第三個(gè)圖象符合；：函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)，且圖象過點(diǎn)，因此從左到右第四個(gè)圖象符合；：函數(shù)在第一象限內(nèi)是減函數(shù)，因此從左到右第二個(gè)圖象符合；：函數(shù)在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，因此從左到右第一個(gè)圖象符合，故選：D3(2021西安高新唐南中學(xué))在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象可能是( )ABCD【答案】D【解析】函數(shù)，與，選項(xiàng)A：沒有冪函數(shù)圖像；選項(xiàng)B：中，中，不符合；選項(xiàng)C：中，中，不符合；選項(xiàng)D：中，中，符合.故選：D.4(2020威海

9、市文登區(qū)教育教學(xué)研究培訓(xùn)中心高三期中)函數(shù)與的圖象如圖，則下列不等式一定成立的是( )ABCD【答案】C【解析】由圖可知，單調(diào)遞增，則；單調(diào)遞減，則，A：0不一定成立，如；B：不一定成立，如；C：，成立；D：不成立，.故選：C.強(qiáng)化練習(xí)1(2021湖北鄂州市)“函數(shù)是冪函數(shù)”是“函數(shù)值域?yàn)椤钡? )A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】B【解析】“函數(shù)是冪函數(shù)”等價(jià)于：，即，故或，即取值集合為；“函數(shù)值域?yàn)椤钡葍r(jià)于：中，且，即，故，即取值集合為.故是的真子集，“或”是“”的必要不充分條件，即“函數(shù)是冪函數(shù)”是“函數(shù)值域?yàn)椤钡谋匾怀浞謼l件.故選：B.2(202

10、1渝中區(qū)重慶巴蜀中學(xué)高一期末)已知冪函數(shù)在其定義域內(nèi)不單調(diào)，則實(shí)數(shù)m=( )AB1CD【答案】A【解析】由冪函數(shù)定義，解得：或，又在定義域內(nèi)不單調(diào)，所以，故選：A3(2021陜西榆林市高三一模)下列四個(gè)函數(shù)：；，其中定義域與值域相同的函數(shù)的個(gè)數(shù)為( )A1B2C3D4【答案】C【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，值域也為；即定義域和值域相同；函數(shù)的定義域?yàn)?，值域也為；即定義域和值域相同；指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，即定義域和值域不同；冪函數(shù)的定義域?yàn)?，值域也為，即定義域和值域相同；故選：C.4(2020全國課時(shí)練習(xí))設(shè)，則使函數(shù)的定義域?yàn)榍液瘮?shù)為奇函數(shù)的所有的值為( )ABCD【答案】C【解析】時(shí)，函數(shù)解

11、析式為滿足題意；時(shí)，函數(shù)解析式為，偶函數(shù)，不符合題意；時(shí)，函數(shù)解析式為滿足題意；時(shí)，函數(shù)解析式為，定義域?yàn)?，不符合題意；時(shí)，函數(shù)解析式為，定義域?yàn)椋环项}意.故選：C.5(2020全國課時(shí)練習(xí))已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則 的值域是( )ABCD【答案】D【解析】冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，解得， 的值域是.故選：D.6(2021內(nèi)蒙古包頭市)已知函數(shù)(，且)的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則冪函數(shù)的圖象大致是( )ABCD【答案】B【解析】由得，即定點(diǎn)為，設(shè)，則，所以，圖象為B故選：B7(2021浙江溫州市溫州中學(xué)高三開學(xué)考試)在同一個(gè)直角坐標(biāo)系下，函數(shù)，且)圖象可能是( )ABCD【答案】B【解

12、析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)，可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)為定義域上的單調(diào)的遞減函數(shù)，函數(shù)為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)且上凸，所以ACD項(xiàng)不符合，B項(xiàng)符合；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為定義域上的單調(diào)的遞增函數(shù)，函數(shù)為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)且下凸，所以ABCD項(xiàng)都不符合.故選：B.8(2020湖北高三學(xué)業(yè)考試)已知函數(shù)，的圖像如圖所示，則( )A，B，C，D，【答案】D【解析】由的圖象關(guān)于軸對稱可知為偶函數(shù)，故，由的圖象可知，為非奇非偶函數(shù)，故，由的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱可知為奇函數(shù)，故.故選：D9.(2021全國高一)如圖所示，給出4個(gè)冪函數(shù)的圖象，則圖象與函數(shù)的大致對應(yīng)是( )A，B，C，D，【答案】B【解析】對于圖

13、，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，為奇函數(shù)，且在上遞增，故只有符合；對于圖，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，為偶函數(shù)，且在上遞增，故只有符合；對于圖，函數(shù)的定義域?yàn)?，且為增函?shù)，故符合；對于圖，函數(shù)的定義域?yàn)椋覟槠婧瘮?shù)，并且在上遞減，故符合.故選：B10(2021湖北武漢市高三月考)設(shè)，則()ABCD【答案】C【解析】，所以，故有.故選：C11(2021江蘇南通市高三期末)已知，則，的大小關(guān)系為( )ABCD【答案】B【解析】，.故選：B.12(2021江西宜春市高安中學(xué))設(shè)實(shí)數(shù)滿足， 則的大小關(guān)系是( )ABCD【答案】B【解析】解：因?yàn)?，函?shù)在上為減函數(shù)，所以，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，所以，

14、所以，故選：B13(2021四川涼山彝族自治州)已知冪函數(shù)，滿足在為減函數(shù)，則的值為( )A或BCD【答案】C【解析】由于冪函數(shù)在為減函數(shù)，所以，解得.故選：C.14(2021云南玉溪市)已知冪函數(shù)，在上是減函數(shù)，則的值為( )ABCD或【答案】A【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)，在上是減函數(shù)，所以，解得.故選：A.15(2021江西贛州市高三期末(理)若，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則( )ABCD【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以；，由時(shí)，即在單調(diào)遞減，故，即，從而得故.故選：A16(2021吉林長春市長春外國語學(xué)校高一開學(xué)考試)若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則_.【答案】【解析】由題知：，所以.故答案為：

15、.17(2021新疆烏蘇市第一中學(xué))若函數(shù)是冪函數(shù)，且其圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_.【答案】【解析】函數(shù)是冪函數(shù)，則，解得，又，則，解得，即令，解得，則的單調(diào)增區(qū)間為故答案為：18(2021重慶高一期末)已知函數(shù)是冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)=_.【答案】【解析】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得，故答案為：19(2021上海上外浦東附中)已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，與軸及軸均無交點(diǎn)，則由的值構(gòu)成的集合是_【答案】【解析】由冪函數(shù)與軸及軸均無交點(diǎn)，得，解得，又，即，的圖像關(guān)于軸對稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，故為偶數(shù)，所以，故答案為：.20(2021山東濟(jì)寧市)已知函數(shù)(且)的圖象恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_.【答案】【解析

16、】時(shí)，所以函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)故答案為：21(2021沙坪壩區(qū)重慶一中)已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則_.【答案】【解析】由題意，解得或，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，故答案為：22(2021湖南衡陽市八中高一期末)若冪函數(shù)在單調(diào)遞減，則_【答案】【解析】為冪函數(shù)故，故或或在單調(diào)遞減，故故答案為：23(2021貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三一模)函數(shù)是冪函數(shù)且為奇函數(shù)，則的值為_【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，滿足條件；當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，不滿足條件；故.故答案為：24(2020湖南婁底市)已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則滿足的實(shí)數(shù)的值構(gòu)成的集合為_.【答案】【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，此時(shí)函數(shù)為為偶函數(shù)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，此時(shí)函數(shù)為奇函數(shù)，符合題意，又由不等式可轉(zhuǎn)化為等價(jià)于，解得.即實(shí)數(shù)的值構(gòu)成的集合為.故答案為：.259(2020上海高一課時(shí)練習(xí))研究下列函數(shù)的定義域、值域、奇偶性和單調(diào)性，并作出其大致圖像(1)； (2)； (3)； (4)【答案】(1)定義域：；值域：；偶函數(shù)；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；圖像見解析；定義域：；值域：；奇函數(shù)：在和