得意忘形——教材處理的最高境界

1、高度相關的論文蘇教版函數(shù)的圖像的教材處理建議發(fā)表于中學數(shù)學月刊2015年10期“得其意，忘其形”蘇教版函數(shù)的圖像的教材處理建議吳寶瑩 （江蘇省錫山高級中學，江蘇無錫 214174）普通高中數(shù)學課程標準（實驗）（以下簡稱課標）是由教育部制訂的綱要性文件，從課程基本理念、設計思路、內(nèi)容標準、實施建議（教學、評價、教材編寫）等方面進行了闡述它是教材編寫、教學組織、考試評價的重要依據(jù)，是課程改革實踐的方向在課標框架下，允許“一標多版”（人教A版、人教B版、蘇教版、北師大版、湘教版和華師大版等），各種版本的教材編寫的風格各不相同，以適應個性選擇這種“一標多版”實際上是“得其意”領悟與把握標準的本質(zhì)精神而

2、“ 忘其形”不拘泥于教材的版本形式同樣，教師在使用某種版本的教材進行教學設計時，也可以在充分吃透教材根本要義的前提下“得其意，忘其形”， 根據(jù)所教授學生的實際情況，不拘泥于教材內(nèi)容的安排，創(chuàng)造性的使用教材，用教材教，而不是教教材，這是數(shù)學教學的最高境界下面就以蘇教版高中數(shù)學教材必修4中函數(shù)的圖象為例說明教材的組織形式問題情境意義建構(gòu)數(shù)學理論數(shù)學運用學生活動蘇教版高中數(shù)學教材的組織形式一般是：本節(jié)課也不例外，教材首先創(chuàng)設問題情境：物理和工程技術的許多實際問題中，經(jīng)常會遇到形如的函數(shù)，如物體做簡諧運動時，物體的位移S與時間t的關系為： 教材由實際問題引起認知需求，引入課題然后提出問題：函數(shù)的圖像與

3、的圖像有什么關系？通過具體例子，學生逐步研究這一問題，得到三種三角函數(shù)圖像變換（平移變換、周期變換、振幅變換）的基本理論，最后是數(shù)學運用教材研究的順序（1）平移變換：由的圖象如何變換得到的圖象；（2）振幅變換：由的圖象如何變換得到的圖象；（3）周期變換：由的圖象如何變換得到的圖象；（4）研究由的圖象如何變換得到的圖象領悟教材之“意”本節(jié)課的數(shù)學具體應用是研究由的圖象如何變換得到的圖象，教材研究函數(shù)的圖象的策略與方法是由特殊到一般、化整為零、分解難點、各個擊破這就是教材之“意”所在！教材的處理建議筆者在充分研究教材，“得其意”的前提下，“忘其形”，對教材的上述安排做了以下處理：平移變換：把“”改

4、為“”教材用“由函數(shù)的圖象的圖象”作為平移變換的例子，最大的好處是，在用五點法列表時，明顯地可以看出函數(shù)的圖象上點的橫坐標減去1后對應于函數(shù)的圖象上的點（縱坐標不變），所以，函數(shù)的圖象可以看作是由函數(shù)的圖象上的所有的點向左平移1個單位而得到的但是，用這個例子也有其明顯的缺點，就是在“五點法”作圖中，函數(shù)的五個點的橫坐標分別是，學生在描點時不太容易準確地確定點的位置，從而圖像畫不好，可能會誤導平移變換正確結(jié)論的形成筆者把教材中的平移變換的例子換成“由函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象”就很解決了這個問題，而且從列表中也容易看出二者相應的點橫坐標之間的關系，更重要的是，這個平移變換就是本節(jié)課的數(shù)學具體應用（研究

5、由的圖象如何變換得到的圖象）的其中一步，很好地體現(xiàn)了研究問題的連續(xù)性與整體性把教材第二步研究振幅變換與第三步研究周期變換互調(diào)教材中研究由的圖象如何變換得到的圖象，無論是先作周期變換后平移變換，還是先作平移變換后周期變換，都是由的圖象變換到的圖象以后，最后再作振幅變換：由的圖象得到的圖象所以，把振幅變換調(diào)后比較符合學生的認知順序把教材第四步研究內(nèi)容前置，使同類問題及時解決，為后面知識整合掃除障礙其一，把“由函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象”的研究置前到第一步平移變換中，因為它實際上屬于平移變換，不是什么新的變換，當然這個問題有一定的難度，這里要舍得給學生時間，讓他們充分思考與討論，也可以做一個鋪墊：“由函數(shù)

6、的圖象函數(shù)的圖象”，再進一步總結(jié)，一般地由函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象的變換方法 其二，“由函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象”的研究放在第二步周期變換的研究中，因為這個變換同樣屬于一種變換，不是新變換，最后總結(jié)出，一般地由函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象的變換方法（） 增加結(jié)論的逆用與變用為了全面地對學生的思維進行訓練，比教材上多增加了一些結(jié)論逆用和變用的練習如逆用題組：為了得到y(tǒng)=sinx的圖象，只需把y=sin(x+)的圖象上所有的點向_平移_個單位；為了得到y(tǒng)=sinx的圖象，只需把y=sin2x的圖象上所有的點_；為了得到y(tǒng)=sinx的圖象，只需把y=2sinx的圖象上所有的點_ _再如變用題組：把函數(shù)的圖象向右平移

7、個單位，所到得的圖象的函數(shù)解析式為 ，再將圖象上的所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），則所到得的圖象的函數(shù)解析式為 為了得到y(tǒng)=cosx的圖象，只需把y=sinx的圖象上的所有的點 （） 布置挑戰(zhàn)性的探究問題鼓勵學生從的圖像變換到的圖像，推廣到一般意義上的函數(shù)圖像變換：從函數(shù)的圖象變換到函數(shù)的圖像,（其中）；教學中注重學生的理解性學習“理解”即“解其理也”，教學中注重學生理解性學習本節(jié)課的重點和難點在于第一步平移變換，這一種變換理解清楚了，其他的幾種圖象變換完全可以類比，就容易多了 如果把平移變換的例子改為“”按照原來的平移變換的例子“”，教材應當這樣處理：“函數(shù)圖象上橫坐標為的點的縱坐標

8、，與函數(shù)圖象上橫坐標為的點的縱坐標相同因此，函數(shù)的圖象可以看作是由函數(shù)的圖象上的所有的點向右平移個單位而得到的”這種處理方法過于學術化，學生不易理解為了幫助學生理解，筆者運用了“相當于”的方法：教師引導學生觀察分析與兩個函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特點，不難發(fā)現(xiàn)，從結(jié)構(gòu)上看，中的作為一個整體相當于中的，而縱坐標不變，即點的高度不變，這說明是左右平移，而且平移后的橫坐標要大，而且大（因為它減去后才相當于中的），所以，函數(shù)的圖象可以看作是由函數(shù)的圖象上的所有的點向右平移個單位而得到的事實上，就是令，函數(shù)的圖象上的點對應于函數(shù)圖象上的點，但這種換元法是冷冰冰的學術形態(tài)，遠不如“相當于”的方法更接近于學生容易理解

9、的教育形態(tài)6 引導學生數(shù)學地思考現(xiàn)實事物由函數(shù)的圖象變換到函數(shù)（其中）的圖象，先作周期變換后作平移變換與先作平移變換后作周期變換，兩種不同的方法中平移的幅度不一樣,為什么？能不能從生活中舉例說明？關于以上問題可以這樣理解：周期變換實際上是伸壓變換，要比平移變換高一個等級，周期變換變換得更“厲害”一些，所以，先作周期變換后作平移變換比先作平移變換后作周期變換，平移的幅度要來得小一些正如一件純棉長褲，先縮水（相當于周期變換）再裁剪（相當于平移變換）與先裁剪再縮水，兩種不同的方法中，因為縮水較為厲害，前者裁剪的幅度要小一些才能與后者最終達到相同的大小尺寸事實證明，以上“得其意，忘其形”，不拘泥于教材

10、內(nèi)容的安排的使用方法取得較好的教學效果但是，要注意的是不拘泥于教材內(nèi)容的安排的前提是“得其意”，即要準確領悟把握教材內(nèi)容安排的根本要義，否則可能是弄巧成拙如橢圓的標準方程是解析幾何中圓錐曲線的起始課，新課標實驗教材的設計意圖是遵循了橢圓發(fā)展的歷史：公元前3世紀，古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯（Apollonius，約公元前262年約公元前190年）在 HYPERLINK /view/1182424.htm t _blank 圓錐曲線論中采用平面截對頂?shù)膱A錐得到橢圓，并由多個命題導出橢圓的兩個焦半徑之和等于常數(shù)這一性質(zhì)17世紀荷蘭數(shù)學家舒騰（FvanSchooten,16151660）利用橢圓的兩個焦半徑之和等于常數(shù)這一性質(zhì)，給出橢圓的畫法直到1822年比利時數(shù)學家旦德林（GPDandelin，17941