人教A版高中數(shù)學必修三《6.3.1二項式定理》教案

1、6.3.1 二項式定理 本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學選擇性必修第三冊，第六章計數(shù)原理，本節(jié)課主本節(jié)課主要學習二項式定理二項式定理的形成過程是組合知識的應用，同時也為隨后學習的概率知識及概率與統(tǒng)計，作知識上的鋪墊。二項展開式與多項式乘法有密切的聯(lián)系，本節(jié)知識的學習，必然從更廣的視角和更高的層次來審視初中學習的關于多項式變形的知識。運用二項式定理可以解決一些比較典型的數(shù)學問題，例如近似計算、整除問題、不等式的證明等。本課數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)：多項式乘法的深化與再認識。課程目標學科素養(yǎng)A. 利用計數(shù)原理分析二項式的展開過程，歸納、猜想出二項式定理，并用計數(shù)原理加以證明；B.會應用二項式定理求解二項展

2、開式；C.通過經(jīng)歷二項式定理的探究過程，體驗“歸納、猜想、證明”的數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程，提高自己觀察、分析、概括的能力，以及 “從特殊到一般”、“從一般到特殊”等數(shù)學思想的應用能力.1.數(shù)學抽象：二項式定理 2.邏輯推理：運用組合推導二項式定理3.數(shù)學運算：運用二項式定理解決問題4.數(shù)學建模： 在具體情境中運用二項式定理重點： 應用二項式定理求解二項展開式難點：利用計數(shù)原理分析二項式的展開式多媒體教學過程教學設計意圖核心素養(yǎng)目標問題探究上一節(jié)學習了排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，本節(jié)我們用它們解決一個在數(shù)學上有著廣泛應用的a+bn展開式的問題。問題1：我們知道 a+b2=a2+2ab+b2,a+b3=a3+3

3、a2b+3ab2+b3（1）觀察以上展開式，分析其運算過程，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你能寫出a+b4的展開式嗎？（3）進一步地，你能寫出a+bn的展開式嗎？我們先來分析的展開過程，根據(jù)多項式乘法法則，a+b2=a+ba+b=aa+b+ba+b=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2可以看到，a+b2是2個a+b相乘，只要從一個a+b中選一項（選a或b），再從另一個a+b中選一項（選a或b），就得到展開式的一項，于是，由分步乘法計數(shù)原理，在合并同類項之前，a+b2的展開式共有C21C21=22項，而且每一項都是a2-kbk（ k=0,1,2）的形式.我們來分析一下形如a2-

4、kbk的同類項的個數(shù).當k=0時，a2-kbk=a2，這是由2個a+b中都不選b得到的，因此，a2出現(xiàn)的次數(shù)相當于從2個a+b中取0個b（即都取a）的組合數(shù)C20，即a2只有1個；當k=1時，a2-kbk= ab，這是由1個a+b中選a，另一個a+b中選b得到的，由于b選定后，a的選法也隨之確定，因此， ab出現(xiàn)的次數(shù)相當于從2個a+b中取1個b的組合數(shù)C21，即ab只有2個；當k=2時，a2-kbk= b2，這是由2個a+b中選b得到的，因此，b2出現(xiàn)的次數(shù)相當于從2個a+b中取2個b的組合數(shù)C22，即b2只有1個；由上述分析可以得到a+b2=C20a2+C21ab+C22b2問題2：仿照上

5、述過程，你能利用計數(shù)原理，寫出a+b3，a+b4的展開式嗎？類似地，用同樣的方法可知a+b3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3a+b4=C40a4+C41a3b+C42a2b2+C43ab3+C44b41二項式定理(ab)n_ (nN*)(1)這個公式所表示的規(guī)律叫做二項式定理(2)展開式：等號右邊的多項式叫做(ab)n的二項展開式，展開式中一共有_項(3)二項式系數(shù)：各項的系數(shù)_ (k0,1,2，n)叫做二項式系數(shù)Ceq oal(0,n)anCeq oal(1,n)an1bCeq oal(2,n)an2b2Ceq oal(k,n)ankbkCeq oal(n,n)bnn1

6、；Ceq oal(k,n)2二項展開式的通項公式(ab)n展開式的第_項叫做二項展開式的通項，記作Tk1_.k1 ；Ceq oal(k,n)ankbk二項式定理形式上的特點(1)二項展開式有n+1項,而不是n項.(2)二項式系數(shù)都是Cnk(k=0,1,2,n),它與二項展開式中某一項的系數(shù)不一定相等.(3)二項展開式中的二項式系數(shù)的和等于2n,即Cn0+Cn1+Cn2+Cnn=2n.(4)在排列方式上,按照字母a的降冪排列,從第一項起,次數(shù)由n次逐項減少1次直到0次,同時字母b按升冪排列,次數(shù)由0次逐項增加1次直到n次.1判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)(ab)n展開式中共有n項 ()

7、(2)在公式中，交換a，b的順序?qū)Ω黜棝]有影響 ()(3)Ceq oal(k,n)ankbk是(ab)n展開式中的第k項 ()(4)(ab)n與(ab)n的二項式展開式的二項式系數(shù)相同 ()解析(1)因為(ab)n展開式中共有n1項(2)因為二項式的第k1項Ceq oal(k,n)ankbk和(ba)n的展開式的第k1項Ceq oal(k,n)bnkak是不同的，其中的a，b是不能隨便交換的(3)因為Ceq oal(k,n)ankbk是(ab)n展開式中的第k1項(4)因為(ab)n與(ab)n的二項式展開式的二項式系數(shù)都是Ceq oal(r,n).答案(1)(2)(3)(4)二、典例解析例1

8、.求x+1x6的展開式.解：根據(jù)二項式定理x+1x6=x+x-16=C60 x6+C61x5x-1+C62x4x-2+C63x3x-3+C64x2x-4+C65x1x-5+C66x-6=x6+6x4+15x2+20+15x-2+6x-4+x-61.(a+b)n的二項展開式有n+1項,是和的形式,各項的冪指數(shù)規(guī)律是:(1)各項的次數(shù)和等于n.(2)字母a按降冪排列,從第一項起,次數(shù)由n逐項減1直到0;字母b按升冪排列,從第一項起,次數(shù)由0逐項加1直到n.2.逆用二項式定理可以化簡多項式,體現(xiàn)的是整體思想.注意分析已知多項式的特點,向二項展開式的形式靠攏.跟蹤訓練1 (1)求3x+1x4的展開式;

9、(2)化簡:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).解:(1)方法一3x+1x4=C40(3x)4+C41(3x)31x+C42(3x)21x2+C433x1x3+C441x4=81x2+108x+54+12x+1x2.方法二3x+1x4=(3x+1)4x2=1x2(81x4+108x3+54x2+12x+1)=81x2+108x+54+12x+1x2.(2)原式=C50(x-1)5+C51(x-1)4+C52(x-1)3+C53(x-1)2+C54(x-1)+C55(x-1)0-1=(x-1)+15-1=x5-1.例2.（1）求1+2x7的展開式的第4

10、項的系數(shù)；（2）求2x-1x6的展開式中x2的系數(shù).解：1+2x7的展開式的第4項是T3+1=C7317-3 (2x)3 =C7323 x3=358 x3=280 x3因此,展開式第4項的系數(shù)是280.（2）2x-1x6 的展開式的通項是C6k(2x12)6-k(x-12)k=C6k26-kx6-k2-k2=C6k26-kx3-k根據(jù)題意，得3-k=2，k=1，因此，x2的系數(shù)是（-1）25C61=-192.二項式系數(shù)與項的系數(shù)的求解策略 (1)二項式系數(shù)都是組合數(shù)Cnk(k0,1,2,n),它與二項展開式中某一項的系數(shù)不一定相等,要注意區(qū)分“二項式系數(shù)”與二項展開式中“項的系數(shù)”這兩個概念.

11、(2)第k+1項的系數(shù)是此項字母前的數(shù)連同符號,而此項的二項式系數(shù)為Cnk.例如,在(1+2x)7的展開式中,第4項是T4=C7317-3(2x)3,其二項式系數(shù)是C73=35,而第4項的系數(shù)是C7323=280.跟蹤訓練2. (1)求二項式2x-1x6的展開式中第6項的二項式系數(shù)和第6項的系數(shù);(2)求x-1x9的展開式中x3的系數(shù).解:(1)由已知得二項展開式的通項為Tk+1=C6k(2x)6-k-1xk=26-kC6k(-1)kx3-3k2,T6=-12x-92.第6項的二項式系數(shù)為C65=6,第6項的系數(shù)為C65(-1)52=-12.(2)設展開式中的第k+1項為含x3的項,則Tk+1

12、=C9kx9-k-1xk=(-1)kC9kx9-2k,令9-2k=3,得k=3,即展開式中第4項含x3,其系數(shù)為(-1)3C93=-84.學生帶著問題去觀察展開式，引發(fā)思考積極參與互動，說出自己見解。發(fā)展學生邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。這個過程讓學生親身經(jīng)歷了從“繁雜計算之苦”到領悟“分步乘法原理與組合數(shù)的簡潔美”，這也是一個內(nèi)化的過程，鞏固已有思想方法，建立猜想二項式定理的認知基礎。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。通過典例解析，讓學生體會利用二項式定理模型進行計算，感受數(shù)學模型在數(shù)學應用中的價值。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的

13、核心素養(yǎng)。三、達標檢測1.(a+b)2n的展開式的項數(shù)是()A.2nB.2n+1 C.2n-1D.2(n+1)解析:易知二項式(a+b)2n的展開式中有2n+1項,故展開式的項數(shù)為2n+1.答案:B2.(2a+b)5的展開式的第3項是()A.23C52B.23C52a3b2C.23C53D.23C53a2b3解析:T2+1=C52(2a)3b2=23C52a3b2.答案:B 3.二項式(x+1x)6的展開式中有理項共有項.解析:根據(jù)二項式定理的通項Tk+1=C6k(x)6-k1xk=C6kx6-3k2.當取有理項時,6-3k2為整數(shù),此時k=0,2,4,6.故共有4項.答案:4 4.如果(3x

14、2+1x)n的展開式中,含x2的項為第三項,則自然數(shù)n=.解析:Tk+1=Cnk(3x2)n-k(1x)k=Cnkx2n-5k3,由題意知當k=2時,2n-5k3=2,解得n=8. 答案:8 5.已知m,nN*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展開式中x的系數(shù)為19,求x2的系數(shù)的最小值及此時展開式中x7的系數(shù).解:由題設知m+n=19,又m,nN*,1m18. x2的系數(shù)為Cm2+Cn2=12(m2-m)+12(n2-n)=m2-19m+171.當m=9或10時,x2的系數(shù)的最小值為81,此時x7的系數(shù)為C97+C107=156.6.已知在3x-123xn的展開式中,第6項為常數(shù)項.(

15、1)求n;(2)求含x2的項的系數(shù);(3)求展開式中所有的有理項.分析:先利用二項展開式的通項,求出當x的次數(shù)為0時n的值,再求解第(2)問、第(3)問.解:(1)由通項知,展開式中第k+1項為Tk+1=Cnk(3x)n-k-123xk=Cnk(x13)n-k-12x-13k=-12kCnkxn-2k3.第6項為常數(shù)項,k=5,且n-52=0,n=10.(2)由(1)知Tk+1=-12kC10kx10-2k3.令10-2k3=2,則k=2.x2的系數(shù)為-122C102=1445=454.(3)當Tk+1項為有理項時,10-2k3為整數(shù),0k10,且kN.令10-2k3=z,則k=5-32z,z為偶數(shù),從而求得當z=2,0,-2時,相應地k=2,5,8符合條件.有理項為T3=C102-122x2=454x2,T6=C105-125=-638,T9=C108-128x-2=45256x-2.通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)五、課時練通過總結(jié)，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內(nèi)容，提高概括能力。這一節(jié)課面對的是高