人教A版高中數(shù)學選擇性必修二《4.1數(shù)列的概念（第2課時）》教案

1、4.1數(shù)列的概念（2） 本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學選擇性必修二第四章數(shù)列，本節(jié)課主要學習數(shù)列的遞推公式及數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系。“數(shù)列的概念與簡單表示法”，主要涉及數(shù)列的概念、表示方法、分類、通項公式、數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系、數(shù)列的遞推公式及數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系等。數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是刻畫離散現(xiàn)象的數(shù)學模型，是一種離散型函數(shù)，在日常生活中有著重要的應用.學習數(shù)列對深化函數(shù)的學習有著積極地意義，數(shù)列是以后學習極限的基礎(chǔ)，因此，數(shù)列在高中數(shù)學中占有重要位置。數(shù)列的概念是學習數(shù)列的起點與基礎(chǔ)，因而建立數(shù)列的概念是本章教學的重點，更是本節(jié)課教學的重點。學生主動自我建構(gòu)概念，需要經(jīng)

2、歷辨析、抽象、概括等過程，影響概念學習過程的因素又是多樣的，所以，數(shù)列特征的感知和描述，函數(shù)意義的概括和理解，是教學的難點.課程目標學科素養(yǎng)A. 理解數(shù)列遞推公式的含義,會用遞推公式解決有關(guān)問題.B.會利用數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系求通項公式.1.數(shù)學抽象：數(shù)列遞推公式 2.邏輯推理：數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系 3.數(shù)學運算：用遞推公式求數(shù)列的特定項及通項 重點：數(shù)列遞推公式及數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系難點：用遞推公式解決有關(guān)問題、用數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系求通項公式多媒體教學過程教學設(shè)計意圖核心素養(yǎng)目標課前小測1數(shù)列an的通項公式為aneq f(1,2)(n1)(n1)，則a5()A10

3、B12 C14 D16B解析：由題意，通項公式為aneq f(1,2)(n1)(n1)，則a5eq f(1,2)(51)(51)12.故選B.2由數(shù)列前四項：，則通項公式_【詳解】由題意，該數(shù)列前四項可變?yōu)椋海纱丝蓺w納得到數(shù)列的通項公式為3已知數(shù)列的前幾項是、，寫出這個數(shù)列的一個通項公式是_【詳解】該數(shù)列的前四項可表示為，因此，該數(shù)列的一個通項公式為.二、新知探究例4. 圖中的一系列三角形圖案稱為謝賓斯基三角形，在圖中4個大三角形中，著色的三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前4項，寫出這個數(shù)列的通項公式解：在圖中（1）（2）（3）（4）中，著色三角形個數(shù)依次為 1,3,9,27即所求數(shù)列的前4項

4、都是3的指數(shù)冪，指數(shù)為序號減1，因此這個數(shù)列的通項公式是an=3n-1 換個角度觀察圖中的4個圖形，可以發(fā)現(xiàn)a1=1，且每個圖形中的著色三角形都在下一個圖形中分裂為3個著色小三角形和1個無色小三角形，于是從第2個圖形開始，每個圖形中著色三角形的個數(shù)都是前一個圖形中著色三角形個數(shù)的三倍，這樣，例4中的數(shù)列的前4項滿足a1=1，a2=3a1，a3=3a2，a4=3a3由此猜測，這個數(shù)列滿足公式an=1，n=13an-1,n2通項公式和遞推公式的區(qū)別通項公式直接反映了an與n之間的關(guān)系,即已知n的值,就可代入通項公式求得該項的值an;遞推關(guān)系則是間接反映數(shù)列的式子,它是數(shù)列任意兩個(或多個)相鄰項之

5、間的推導關(guān)系,要求an,需將與之聯(lián)系的各項依次求出.一、數(shù)列的遞推公式 像an=3an-1n2這樣，如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式，知道了首項和遞推公式就能求出數(shù)列的每一項了1.設(shè)數(shù)列an滿足a1=1,an=1+1an-1(nN*,n1),則a3=.解析:由已知,得a2=1+1a1=2,a3=1+1a2=32.答案:32二、數(shù)列的通項與前n項和1.數(shù)列an從第1項起到第n項止的各項之和,稱為數(shù)列an的前n項和,記作Sn,即Sn=a1+a2+an.如果數(shù)列an的前n項和Sn與它的序號n之間的對應關(guān)系可以用一個式子來表示,那么這個式子

6、叫做這個數(shù)列的前n項和公式.2.an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n2.點睛(1)已知數(shù)列an的前n項和Sn,求an,一般使用公式an=Sn-Sn-1(n2),但必須注意它成立的條件(n2且nN*).(2)由Sn-Sn-1求得的an,若當n=1時,a1的值不等于S1的值,則數(shù)列的通項公式應采用分段表示,即an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n2.2.判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)遞推公式也是表示數(shù)列的一種方法( )(2)所有數(shù)列都有遞推公式( )(3)anSnSn1成立的條件是nN*.( )（1）（2）（3） 3.已知數(shù)列an的前n項和Sn=n2+2,求數(shù)列an的通項公式.解:a1

7、=S1=1+2=3,而n2時,an=Sn-Sn-1=(n2+2)-(n-1)2+2=2n-1.在中,當n=1時,21-1=1,故a1不適合式.數(shù)列an的通項公式為an=3,n=1,2n-1,n2.三、典例解析例1已知數(shù)列an,a1=1,且滿足an=3an-1+(-1)n2(nN*,且n1),寫出數(shù)列an的前5項.分析:由a1的值和遞推公式,分別逐一求出a2,a3,a4,a5的值. 解:由題意,得a2=3a1+(-1)22,而a1=1,所以a2=31+(-1)22=72.同理a3=3a2+(-1)32=10,a4=3a3+(-1)42=612,a5=3a4+(-1)52=91. 由遞推公式寫出數(shù)

8、列的項的方法 根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項,要弄清楚公式中各部分的關(guān)系,依次代入計算即可.另外,解答這類問題時還需注意:若已知首項,通常將所給公式整理成用前面的項表示后面的項的形式;若已知末項,通常將所給公式整理成用后面的項表示前面的項的形式.跟蹤訓練1 已知數(shù)列an滿足an=4an-1+3,且a1=0,則此數(shù)列的第5項是()A.15B.255 C.16 D.63解析:因為a1=0,所以a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.答案:B跟蹤訓練2.已知數(shù)列an，a12，an12an，寫出數(shù)列的前5項，并猜想通項公式解：由a12，an12an

9、，得：a22a122422，a32a224823，a42a3281624，a52a42163225，猜想an2n(nN*)例2 若數(shù)列an的前n項和Sn=-2n2+10n,求數(shù)列an的通項公式.解:Sn=-2n2+10n, Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1),an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n2).當n=1時,a1=-2+10=8=-41+12.此時滿足an=-4n+12,an=12-4n.變式探究：試求本例中Sn的最大值. 解:Sn=-2n2+10n=-2n-522+252, 又nN*,當n=2或n=3時,Sn最大,即S2或S3最

10、大.已知數(shù)列an的前n項和Sn，求通項公式的步驟：(1)當n1時，a1S1.(2)當n2時，根據(jù)Sn寫出Sn1，化簡anSnSn1.(3)如果a1也滿足當n2時，anSnSn1的式子，那么數(shù)列an的通項公式為anSnSn1；如果a1不滿足當n2時，anSnSn1的式子，那么數(shù)列an的通項公式要分段表示為aneq blcrc (avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2.)跟蹤訓練3.已知數(shù)列an的前n項和Sn3n22n1，則an_.解析：Sn3n22n1，Sn13(n1)22(n1)13n28n6.當n2時，anSnSn1(3n22n1)(3n28n6)6n5.又當n1時，a1S12不

11、適合上式，aneq blcrc (avs4alco1(2，n1，,6n5，n2.)通過課前小測，進步深化學生對數(shù)列概念的理解和運用。發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。 通過具體問題的思考和分析，幫助學生認識數(shù)列中的遞推公式。發(fā)展學生數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。通過數(shù)列的通項與前n項和的認識，幫助學生理解數(shù)列求和概念。發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。 通過典型例題，加深學生對數(shù)列遞推公式的理解和運用，發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素通過典型例題，幫助靈活運用數(shù)列前n項和與通項公式的關(guān)系，發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)

12、。三、達標檢測1.已知數(shù)列an,a1=1,an+1=12an+12n,則該數(shù)列的第3項等于()A.1B.14 C.34D.58解析:a2=12a1+12=1,a3=12a2+122=34.答案:C 2.已知數(shù)列an,an-1=man+1(n1),且a2=3,a3=5,則實數(shù)m等于()A.0 B. 25 C.2 D.5解析:由題意,得a2=ma3+1,即3=5m+1,解得m=25.答案:B 3.若數(shù)列an的通項公式為an=-2n2+25n,則數(shù)列an的各項中最大項是()A.第4項B.第5項 C.第6項 D.第7項解析:因為an=-2n2+25n=-2n-2542+6258,且nN*,所以當n=6

13、時,an的值最大,即最大項是第6項.答案:C 4.已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且Sn=n-5an+23,nN*,則數(shù)列an的通項公式an=()A.356n-1-1B.356n-1C.356n-1+1D.356n+1解析:當n=1時,a1=1-5a1+23,解得a1=4.當n2時,an=Sn-Sn-1=n-5an+23-(n-1-5an-1+23),即an=56an-1+16,即an-1=56(an-1-1),故數(shù)列an-1是以3為首項,56為公比的等比數(shù)列,則an-1=356n-1,所以an=356n-1+1.故選C.答案:C 5. (1)已知數(shù)列an滿足a1=-1,an+1=an+1n-1

14、n+1,nN*,求數(shù)列的通項公式an.(2)在數(shù)列an中,a1=1,an=1-1nan-1(n2),求數(shù)列an的通項公式.分析:(1)先將遞推公式化為an+1-an=1n-1n+1,再利用累加法求通項公式;(2)先將遞推公式化為anan-1=n-1n,再利用累乘法求通項公式.解:(1)an+1-an=1n-1n+1,a2-a1=11-12,a3-a2=12-13,a4-a3=13-14,an-an-1=1n-1-1n(n2),將以上n-1個式子相加,得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(an-an-1)=1-12+12-13+1n-1-1n,即an-a1=1-1n(n2,nN*).an=a1+1-1n=-1+1-1n=-1n(n2,nN*).又當n=1時,a1=-1也符合上式.an=-1n.(2)因為a1=1,an=1-1nan-1(n2),所以anan-1=n-1n,所以an=anan-1an-1an-2an-2an-3a3a2a2a1a1=n-1nn-2n-1n-3n-223121=1n.又因為當n=1時,a1=1,符合上式,所以an=1n.通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推