人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修一《2.2.2直線的兩點式方程》教案

1、2.2.2直線的兩點式方程本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第二章直線和圓的方程，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)直線的兩點式方程。本節(jié)課的關(guān)鍵是關(guān)于兩點式的推導(dǎo)以及斜率k不存在或斜率k=0時對兩點式的討論及變形。直線方程的兩點式可由點斜式導(dǎo)出，若已知兩點恰好在坐標(biāo)軸上(非原點)，則可用兩點式的特例截距式寫出直線的方程。由于由截距式方程可直接確定直線與x軸和y軸的交點的坐標(biāo)，因此用截距式畫直線比較方便。在解決與截距有關(guān)或直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積、周長等問題時，經(jīng)常使用截距式。解決問題的關(guān)鍵是理解理解直線方程的兩點式和截距式的形式特點及適用范圍。教學(xué)中應(yīng)充分體現(xiàn)坐標(biāo)法建立方程的一般思路，為后續(xù)

2、學(xué)習(xí)圓的方程及圓錐曲線的方程奠定基礎(chǔ)。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.掌握直線的兩點式方程和截距式方程.B.會選擇適當(dāng)?shù)姆匠绦问角笾本€方程.C.能用直線的兩點式方程與截距式方程解答有關(guān)問題.1.數(shù)學(xué)抽象：直線的兩點式方程和截距式方程 2.邏輯推理：直線方程之間的關(guān)系 3.數(shù)學(xué)運算：用直線的兩點式方程與截距式方程求直線方程4.直觀想象：截距的幾何意義 1.教學(xué)重點：掌握直線方程的兩點式及截距式 2.教學(xué)難點：會選擇適當(dāng)?shù)姆匠绦问角笾本€方程多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、情境導(dǎo)學(xué) 我們知道在直角坐標(biāo)系內(nèi)確定一條直線的幾何要素：點和傾斜角（斜率

3、），即已知直線上的一點和直線的斜率可以確定一條直線，或已知兩點也可以確定一條直線。 這樣，在直角坐標(biāo)系中，給定一個點p0(x0,y0)和斜率k,可得出直線方程。若給定直線上兩點p1(x1,y1)p2(x2,y2),你能否得出直線的方程呢?二、探究新知1直線的兩點式方程(1)直線的兩點式方程的定義 _就是經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1x2，y1y2)的直線方程，我們把它叫做直線的兩點式方程，簡稱兩點式eq f(yy1,y2y1)eq f(xx1,x2x1)點睛：1.當(dāng)兩點(x1,y1),(x2,y2)的直線斜率不存在(x1=x2)或斜率為0(y1=y2)時,不能用兩點式

4、方程表示,即兩點式方程不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線.2.對于兩點式中的兩個點,只要是直線上的兩個點即可;另外,兩點式方程與這兩個點的順序無關(guān),如直線過點P1(1,1),P2(2,3),由兩點式可得y-13-1=x-12-1,也可以寫成y-31-3=x-21-2.1. 把由直線上已知的兩點坐標(biāo)得到的直線方程化為整式形式(y-y1)(x2-x1)=(y2-y1)(x-x1),對兩點的坐標(biāo)還有限制條件嗎?答案:這個方程對兩點的坐標(biāo)沒有限制,即它可以表示過任意兩點的直線方程.2.已知直線l過點A(3,1),B(2,0),則直線l的方程為.解析:由兩點式,得y-10-1=x-32-3,化簡得x-y-2=0

5、.答案:x-y-2=0 二、直線的截距式方程 點睛：直線的截距式方程是直線的兩點式方程的特殊情況,由直線的截距式方程可以直接讀出直線在x軸和y軸上的截距,所以截距式在解決直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積和周長問題時非常方便.3在x，y軸上的截距分別是3,4的直線方程是()Aeq f(x,3)eq f(y,4)1 Beq f(x,3)eq f(y,4)1Ceq f(x,3)eq f(y,4)1 Deq f(x,4)eq f(y,3)1答案A解析：由截距式方程知直線方程為eq f(x,3)eq f(y,4)1.選A.4.直線xa2-yb2=1(ab0)在y軸上的截距是()A.a2B.b2 C.-b2

6、 D.|b|答案:C 解析:原直線方程化為截距式方程為x2a2+y2-b2=1,故在y軸上的截距是-b2.三、典例解析例1 已知三角形的三個頂點A(-4,0),B(0,-3),C(-2,1),求:(1)BC邊所在的直線方程;(2)BC邊上中線所在的直線方程.思路分析:已知直線上兩個點的坐標(biāo),可以利用兩點式寫出直線的方程.解:(1)直線BC過點B(0,-3),C(-2,1),由兩點式方程得y+31+3=x-0-2-0,化簡得2x+y+3=0.(2)由中點坐標(biāo)公式,得BC的中點D的坐標(biāo)為0-22,-3+12,即D(-1,-1).又直線AD過點A(-4,0),由兩點式方程得y+10+1=x+1-4+

7、1,化簡得x+3y+4=0.延伸探究例1已知條件不變,求:(1)AC邊所在的直線方程;(2)AC邊上中線所在的直線方程.解:(1)由兩點式方程,得y-01-0=x-(-4)-2-(-4),化簡得x-2y+4=0.(2)由中點坐標(biāo)公式得AC邊的中點E(-3,12),中線BE所在直線的方程為y-(-3)12-(-3)=x-0-3-0,化簡得7x+6y+18=0. 兩點式方程的應(yīng)用 用兩點式方程寫出直線的方程時,要特別注意橫坐標(biāo)相等或縱坐標(biāo)相等時,不能用兩點式.已知直線上的兩點坐標(biāo),也可先求出斜率,再利用點斜式寫出直線方程.例2過點P(1,3),且與x軸、y軸的正半軸圍成的三角形的面積等于6的直線方

8、程是()A.3x+y-6=0B.x+3y-10=0 C.3x-y=0 D.x-3y+8=0思路分析:設(shè)出直線的截距式方程,然后利用點P在直線上以及三角形的面積列出參數(shù)所滿足的條件,解方程求出參數(shù).解析:設(shè)所求的直線方程為xa+yb=1(a0,b0),由于過點P(1,3)且與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形面積等于6,因此有1a+3b=1,12ab=6,解得a=2,b=6,故所求直線的方程為3x+y-6=0.答案:A 總結(jié)歸納：在涉及直線與兩個坐標(biāo)軸的截距問題時,常把直線方程設(shè)為截距式,由已知條件建立關(guān)于兩截距的方程,解得截距的值,從而確定方程.訓(xùn)練跟蹤1 直線l過點(-3,4),且在兩坐標(biāo)軸上的

9、截距之和為12,求直線l的方程.解:由于直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12,因此直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距都存在且不過原點,故可設(shè)為截距式直線方程.設(shè)直線l的方程為xa+yb=1,則a+b=12.又直線l過點(-3,4),所以-3a+4b=1.由解得a=9,b=3或a=-4,b=16.故所求的直線方程為x9+y3=1或x-4+y16=1,即x+3y-9=0或4x-y+16=0.跟蹤訓(xùn)練2將變式訓(xùn)練1中的條件“在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12”改為“在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等”,求直線l的方程.解:設(shè)直線l在x軸、y軸上的截距分別為a,b.(1)當(dāng)a0,b0時,設(shè)l的方程為xa+yb=1,因為點(-

10、3,4)在直線上,所以-3a+4b=1.若a=b,則a=b=1,直線方程為x+y-1=0;若a=-b,則a=-7,b=7,直線方程為x-y+7=0.(2)當(dāng)a=b=0時,直線過原點,且過(-3,4),所以直線方程為4x+3y=0.綜上所述,所求直線方程為:x+y-1=0或x-y+7=0或4x+3y=0.金題典例 如圖,某小區(qū)內(nèi)有一塊荒地ABCDE,已知BC=210 m,CD=240 m,DE=300 m,EA=180 m,AECD,BCDE,C=90,今欲在該荒地上劃出一塊長方形地面(不改變方位)進行開發(fā).問如何設(shè)計才能使開發(fā)的面積最大?最大開發(fā)面積是多少?思路分析將問題轉(zhuǎn)化為在線段AB上求一

11、點P,使矩形面積最大,根據(jù)圖形特征,可建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求出AB的方程.這里設(shè)點P的坐標(biāo)是關(guān)鍵.解:以BC所在直線為x軸,AE所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖),由已知可得A(0,60),B(90,0),AB所在直線的方程為x90+y60=1,即y=60(1-x90).y=60-23x.從而可設(shè)P(x,60-23x),其中0 x90,所開發(fā)部分的面積為S=(300-x)(240-y).故S=(300-x)(240-60+23x)=-23x2+20 x+54 000(0 x90),當(dāng)x=-202(-23)=15,且y=60-2315=50時,S取最大值為-23152+2015+54 000

12、=54 150(m2).因此點P距AE 15 m,距BC 50 m時所開發(fā)的面積最大,最大面積為54 150 m2.歸納總結(jié) 二次函數(shù)最值問題,一方面要看頂點位置,另一方面還要看定義域的范圍.結(jié)合圖形求解,有時并非在頂點處取得最值.通過對直線幾何要素及點斜式方程的回顧，提出問題，讓學(xué)生初步體會坐標(biāo)法的思想方法，并提出問題，明確研究問題運用方程思想，求解直線兩點=點式方程。由坐標(biāo)系中的直線，讓學(xué)生理解已知直線兩個要素，建立直線方程的過程。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。 通過典型例題的分析和解決，讓學(xué)生加深對利用兩點式和截距式求解直線方程的方法，提升運用能力。發(fā)展學(xué)生數(shù)

13、學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過典例解析，進一步讓理解運用兩點式和截距式方程的方法，并能合理選擇直線的方程形式，進一步體會坐標(biāo)法解決問題的基本思想。三、達標(biāo)檢測1.過P1(2,0),P2(0,3)兩點的直線方程是() A.x3+y2=0B.x2+y3=0C.x2+y3=1D.x2-y3=1解析:由截距式,得所求直線的方程為x2+y3=1.答案:C 2.已知ABC三頂點A(1,2),B(3,6),C(5,2),M為AB的中點,N為AC的中點,則中位線MN所在的直線方程為()A.2x+y-8=0B.2x-y+8=0C.2x+y-12=0D.2x-y-12=0解析:點M的坐標(biāo)為(2,4),

14、點N的坐標(biāo)為(3,2),由兩點式方程得y-24-2=x-32-3,即2x+y-8=0.答案:A 3過點P(4，3)且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線有() A1條 B2條 C3條 D4條解析：過原點時，直線方程為yeq f(3,4)x.直線不過原點時，可設(shè)其方程為eq f(x,a)eq f(y,a)1，eq f(4,a)eq f(3,a)1，a1.直線方程為xy10.所以這樣的直線有2條，選B.答案：B4.若點P(3,m)在過點A(2,-1),B(-3,4)的直線上,則m=. 解析:由兩點式方程得,過A,B兩點的直線方程為y-(-1)4-(-1)=x-2-3-2,即x+y-1=0.又點P(3,m)在直

15、線AB上,所以3+m-1=0,得m=-2.答案:-2 5.直線ax+by=1(ab0)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是.解析:直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為1a與1b,所以直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為12|ab|.答案:12|ab|6.已知三角形的三個頂點A(0,4)，B(2,6)，C(8,0)(1)求三角形三邊所在直線的方程；(2)求AC邊上的垂直平分線的方程解析(1)直線AB的方程為eq f(y4,64)eq f(x0,20)，整理得xy40；直線BC的方程為eq f(y0,60)eq f(x8,28)，整理得xy80；由截距式可知，直線AC的方程為eq f(x,8)eq f(y,4)1，整理得x2y80.(2)線段AC的中點為D(4,2)，直線AC的斜率為eq f(1,2)，則AC邊上的垂直平分線的斜率為2，所以AC邊的垂直平分線的方程為y22(x4)，整理得2xy60.通過練習(xí)鞏固本